【330868】人教版第13章 轴对称 测试卷（1）

第13章 轴对称 测试卷（1）

一、选择题

1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

3．如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（　　）

A．形状没有改变，大小没有改变

B．形状没有改变，大小有改变

C．形状有改变，大小没有改变

D．形状有改变，大小有改变

4．正方形的对称轴的条数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A₁、B₁、C₁，使AA₁=BB₁=CC₁=1，则△A₁B₁C₁的面积是（　　）

A． B． C． D．

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=（　　）

A．5 B． C． D．6

7．观察下列图形，是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

8．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（　　）

A． B． C． D．

9．以下图形中对称轴的数量小于3的是（　　）

A． B． C． D．

10．下列图案中，轴对称图形是（　　）

A． B． C． D．

11．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

12．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

13．下列图案是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

14．如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

15．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（　　）

A． B．2 C． D．2

16．P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P₁、P₂，连接OP₁、OP₂，则下列结论正确的是（　　）

A．OP₁⊥OP₂ B．OP₁=OP₂

C．OP₁⊥OP₂且OP₁=OP₂ D．OP₁≠OP₂

17．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为（　　）

A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm

18．已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（　　）

A．1+tan∠ADB= B．2BC=5CF

C．∠AEB+22°=∠DEF D．4cos∠AGB=

　

二、填空题

19．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是　　cm．

20．如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请在试卷上补全字母，在答题卡上写出这个单词所指的物品　　．

21．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选做的第一题计分．

A．一个正五边形的对称轴共有　　条．

B．用科学计算器计算： +3tan56°≈　　（结果精确到0.01）

22．如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4 ，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为　　．

23．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　　度．

24．如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是　　．

25．如图，点B₁是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB₁为一边，构造等边△OB₁A₁（点O，B₁，A₁按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B₂是△OB₁A₁的两条中线的交点，再以OB₂为一边，构造等边△OB₂A₂（点O，B₂，A₂按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OB_nA_n的边OA_n与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是　　．

26．已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB₁为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB₁C₁，再以等边三角形AB₁C₁的B₁C₁边上的高AB₂为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB₂C₂，再以等边三角形AB₂C₂的边B₂C₂边上的高AB₃为边作等边三角形，得到第三个等边AB₃C₃；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形AB_nC_n的面积为　　．

27．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0， ），点A在第一象限且AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，则点M的坐标是（　　，　　）．

28．已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是　　．

　

三、解答题

29．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．

（1）求∠F的度数；

（2）若CD=2，求DF的长．

30．如图，O为△ABC内部一点，OB=3 ，P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点．

（1）请指出当∠ABC在什么角度时，会使得PR的长度等于7？并完整说明PR的长度为何在此时会等于7的理由．

（2）承（1）小题，请判断当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度是小于7还是会大于7？并完整说明你判断的理由．

　

参考答案与试题解析

一、选择题

1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；

B、不是轴对称图形，故B不符合题意；

C、不是轴对称图形，故C不符合题意；

D、不是轴对称图形，故D不符合题意．

故选：A．

【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

　

2．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

【考点】生活中的轴对称现象；平行线的性质．

【专题】压轴题．

【分析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，则∠2=60°，根据∠1、∠2对称，则能求出∠1的度数．

【解答】解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，

∠2+∠3=90°，

∵∠3=30°，

∴∠2=60°，

∴∠1=60°．

故选：C．

【点评】本题是考查图形的对称、旋转、分割以及分类的数学思想．

　

3．如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（　　）

A．形状没有改变，大小没有改变

B．形状没有改变，大小有改变

C．形状有改变，大小没有改变

D．形状有改变，大小有改变

【考点】轴对称的性质．

【分析】根据轴对称不改变图形的形状与大小解答．

【解答】解：∵轴对称变换不改变图形的形状与大小，

∴与原图形相比，形状没有改变，大小没有改变．

故选：A．

【点评】本题考虑轴对称的性质，是基础题，熟记轴对称变换不改变图形的形状与大小是解题的关键．

　

4．正方形的对称轴的条数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】轴对称的性质．

【分析】根据正方形的对称性解答．

【解答】解：正方形有4条对称轴．

故选：D．

【点评】本题考查了轴对称的性质，熟记正方形的对称性是解题的关键．

　

5．正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A₁、B₁、C₁，使AA₁=BB₁=CC₁=1，则△A₁B₁C₁的面积是（　　）

A． B． C． D．

【考点】等边三角形的判定与性质．

【专题】压轴题．

【分析】依题意画出图形，过点A₁作A₁D∥BC，交AC于点D，构造出边长为1的小正三角形△AA₁D；由AC₁=2，AD=1，得点D为AC₁中点，因此可求出S_△AA1C1=2S_△AA1D= ；同理求出S_△CC1B1=S_△BB1A1= ；最后由S_△A1B1C1=S_△ABC﹣S_△AA1C1﹣S_△CC1B1﹣S_△BB1A1求得结果．

【解答】解：依题意画出图形，如下图所示：

过点A₁作A₁D∥BC，交AC于点D，易知△AA₁D是边长为1的等边三角形．

又AC₁=AC﹣CC₁=3﹣1=2，AD=1，

∴点D为AC₁的中点，

∴S_△AA1C1=2S_△AA1D=2× ×1²= ；

同理可求得S_△CC1B1=S_△BB1A1= ，

∴S_△A1B1C1=S_△ABC﹣S_△AA1C1﹣S_△CC1B1﹣S_△BB1A1= ×3²﹣3× = ．

故选B．

【点评】本题考查等边三角形的判定与性质，难度不大．本题入口较宽，解题方法多种多样，同学们可以尝试不同的解题方法．

　

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=（　　）

A．5 B． C． D．6

【考点】等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】连结CD，直角三角形斜边上的中线性质得到CD=DA=DB，利用半径相等得到CD=CB=DB，可判断△CDB为等边三角形，则∠B=60°，所以∠A=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系先计算出BC，再计算AC．

【解答】解：连结CD，如图，

∵∠C=90°，D为AB的中点，

∴CD=DA=DB，

而CD=CB，

∴CD=CB=DB，

∴△CDB为等边三角形，

∴∠B=60°，

∴∠A=30°，

∴BC= AB= ×10=5，

∴AC= BC=5 ．

故选C．

【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质：三边都相等的三角形为等边三角形；等边三角形的三个内角都等于60°．也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及含30度的直角三角形三边的关系．

　

7．观察下列图形，是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；

B、不是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项错误．

故选A．

【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

　

8．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（　　）

A． B． C． D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，

B、不是轴对称图形，

C、不是轴对称图形，

D、是轴对称图形，

故选：D．

【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．

　

9．以下图形中对称轴的数量小于3的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据对称轴的概念求解．

【解答】解：A、有4条对称轴；

B、有6条对称轴；

C、有4条对称轴；

D、有2条对称轴．

故选D．

【点评】本题考查了轴对称图形，解答本题的关键是掌握对称轴的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

　

10．下列图案中，轴对称图形是（　　）

A． B． C． D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，故此选项正确；

故选；D．

【点评】本题考查了轴对称图形，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，轴对称图形的关键是寻找对称轴．

　

11．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、不是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，故本选项正确．

故选D．

【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

　

12．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；

B、不是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项错误．

故选A．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

　

13．下列图案是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念对个图形分析判断即可得解．

【解答】解：A、是轴对称图形，

B、不是轴对称图形，

C、不是轴对称图形，

D、不是轴对称图形，

故选：A．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

　

14．如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】轴对称的性质．

【分析】根据轴对称的性质作出选择．

【解答】解：如图所示，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在第一象限．

故选：A．

【点评】本题考查了轴对称的性质．此题难度不大，采用了“数形结合”的数学思想．

　

15．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（　　）

A． B．2 C． D．2

【考点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的应用；正方形的性质．

【分析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得．

【解答】解：如图1，

∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，

∴四边形ABCD是正方形，

连接AC，则AB²+BC²=AC²，

∴AB=BC= = = ，

如图2，∠B=60°，连接AC，

∴△ABC为等边三角形，

∴AC=AB=BC= ．

【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质，利用勾股定理得出正方形的边长是关键．

　

16． P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P₁、P₂，连接OP₁、OP₂，则下列结论正确的是（　　）

A．OP₁⊥OP₂ B．OP₁=OP₂

C．OP₁⊥OP₂且OP₁=OP₂ D．OP₁≠OP₂

【考点】轴对称的性质．

【专题】压轴题．

【分析】作出图形，根据轴对称的性质求出OP₁、OP₂的数量与夹角即可得解．

【解答】解：如图，∵点P关于直线OA、OB的对称点P₁、P₂，

∴OP₁=OP₂=OP，

∠AOP=∠AOP₁，∠BOP=∠BOP₂，

∴∠P₁OP₂=∠AOP+∠AOP₁+∠BOP+∠BOP₂，

=2（∠AOP+∠BOP），

=2∠AOB，

∵∠AOB度数任意，

∴OP₁⊥OP₂不一定成立．

故选：B．

【点评】本题考查了轴对称的性质，是基础题，熟练掌握性质是解题的关键，作出图形更形象直观．

　

17．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为（　　）

A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm

【考点】轴对称的性质．

【专题】几何图形问题．

【分析】利用轴对称图形的性质得出PM=MQ，PN=NR，进而利用MN=4cm，得出NQ的长，即可得出QR的长．

【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，

∴PM=MQ，PN=NR，

∵PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，

∴RN=3cm，MQ=2.5cm，

即NQ=MN﹣MQ=4﹣2.5=1.5（cm），

则线段QR的长为：RN+NQ=3+1.5=4.5（cm）．

故选：A．

【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质，得出PM=MQ，PN=NR是解题关键．

　

18．已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（　　）

A．1+tan∠ADB= B．2BC=5CF

C．∠AEB+22°=∠DEF D．4cos∠AGB=

【考点】轴对称的性质；解直角三角形．

【专题】几何图形问题；压轴题．

【分析】连接CE，设EF与BD相交于点O，根据轴对称性可得AB=AE，并设为1，利用勾股定理列式求出BE，再根据翻折的性质可得DE=BF=BE，再求出BC=1，然后对各选项分析判断利用排除法求解．

【解答】解：如图，连接CE，设EF与BD相交于点O，

由轴对称性得，AB=AE，设为1，

则BE= = ，

∵点E与点F关于BD对称，

∴DE=BF=BE= ，

∴AD=1+ ，

∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE，

∴四边形ABCE是正方形，

∴BC=AB=1，

1+tan∠ADB=1+ =1+ ﹣1= ，故A正确；

CF=BF﹣BC= ﹣1，

∴2BC=2×1=2，

5CF=5（ ﹣1），

∴2BC≠5CF，故B错误；

∠AEB+22°=45°+22°=67°，

∵BE=BF，∠EBF=∠AEB=45°，

∴∠BFE= =67.5°，

∴∠DEF=∠BFE=67.5°，故C错误；

由勾股定理得，OE²=BE²﹣BO²=（ ）²﹣（ ）²= ，

∴OE= ，

∵∠EBG+∠AGB=90°，

∠EBG+∠BEF=90°，

∴∠AGB=∠BEF，

又∵∠BEF=∠DEF

∴cos∠AGB= = = ，4cos∠AGB=2 ，故D错误．

故选：A．

【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，设出边长为1可使求解过程更容易理解．

　

二、填空题

19．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是　18　cm．

【考点】等边三角形的判定与性质．

【专题】应用题．

【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可．

【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB=OA=OB=18cm，

故答案为：18

【点评】此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行分析．

　

20．如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请在试卷上补全字母，在答题卡上写出这个单词所指的物品　书　．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的性质，组成图形，即可解答．

【解答】解：如图，

这个单词所指的物品是书．

故答案为：书．

【点评】本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是根据轴对称的性质，作出图形．

　

21．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选做的第一题计分．

A．一个正五边形的对称轴共有　5　条．

B．用科学计算器计算： +3tan56°≈　10.02　（结果精确到0.01）

【考点】轴对称的性质；计算器—数的开方；计算器—三角函数．

【专题】常规题型；计算题．

【分析】A．过正五边形的五个顶点作对边的垂线，可得对称轴．

B．先用计算器求出 、tan56°的值，再计算加减运算．

【解答】解：（A）如图，

正五边形的对称轴共有5条．

故答案为：5．

（B） ≈5.5678，tan56°≈1.4826，

则 +3tan56°≈5.5678+3×1.4826≈10.02

故答案是：10.02．

【点评】A题考查了轴对称的性质，熟记正五边形的对称性是解题的关键．B题考查了计算器的使用，要注意此题是精确到0.01．

　

22．如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4 ，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为　 　．

【考点】等边三角形的判定与性质；三角形的重心；三角形中位线定理．

【专题】压轴题．

【分析】根据等边三角形的性质，可得AD的长，∠ABG=∠HBD=30°，根据等边三角形的判定，可得△MEH的形状，根据直角三角形的判定，可得△FIN的形状，根据面积的和差，可得答案．

【解答】解：如图所示：

，

由△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4 ，得

AD=BE= BC=6，∠ABG=∠HBD=30°．

由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°．

由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°

由BG=2，得EG=BE﹣BG=6﹣2=4．

由GE为边作等边三角形GEF，得

FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，

△MHE是等边三角形；

S_△ABC= AC•BE= AC×EH×3

EH= BE= ×6=2．

由三角形外角的性质，得∠BIG=∠FGE﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，

由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，

由线段的和差，得IF=FG﹣IG=4﹣2=2，

由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，

由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，

由锐角三角函数，得FN=1，IN= ．

S_五边形NIGHM=S_△EFG﹣S_△EMH﹣S_△FIN

= ×4²﹣ ×2²﹣ × ×1= ，

故答案为： ．

【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定，利用图形的割补法是求面积的关键．

　

23．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　15　度．

【考点】等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．

【专题】几何图形问题．

【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，

∵CG=CD，

∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，

∵DF=DE，

∴∠E=15°．

故答案为：15．

【点评】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．

　

24．如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是　400　．

【考点】等边三角形的判定与性质；平移的性质．

【专题】规律型．

【分析】先证出阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个，据此求出第100个图形中等边三角形的个数．

【解答】解：如图①

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，

∵A′B′∥AB，BB′=B′C= BC，

∴B′O= AB，CO= AC，

∴△B′OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形．

又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，

第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，

第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，…

依次可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个．

故第100个图形中等边三角形的个数是：2×100+2×100=400．

故答案为：400．

【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质，解题的关键是据图找出规律．

　

25．如图，点B₁是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB₁为一边，构造等边△OB₁A₁（点O，B₁，A₁按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B₂是△OB₁A₁的两条中线的交点，再以OB₂为一边，构造等边△OB₂A₂（点O，B₂，A₂按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OB_nA_n的边OA_n与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是　 　．

【考点】等边三角形的性质．

【专题】压轴题；规律型．

【分析】由于点B₁是△OBA两条中线的交点，则点B₁是△OBA的重心，而△OBA是等边三角形，所以点B₁也是△OBA的内心，∠BOB₁=30°，∠A₁OB=90°，由于每构造一次三角形，OB_i 边与OB边的夹角增加30°，所以还需要（360﹣90）÷30=9，即一共1+9=10次构造后等边△OB_nA_n的边OA_n与等边△OBA的边OB第一次重合；又因为任意两个等边三角形都相似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，由△OB₁A₁与△OBA的面积比为 ，求得构造出的最后一个三角形的面积．

【解答】方法一：

解：∵点B₁是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，

∴点B₁是△OBA的重心，也是内心，

∴∠BOB₁=30°，

∵△OB₁A₁是等边三角形，

∴∠A₁OB=60°+30°=90°，

∵每构造一次三角形，OB_i 边与OB边的夹角增加30°，

∴还需要（360﹣90）÷30=9，即一共1+9=10次构造后等边△OB_nA_n的边OA_n与等边△OBA的边OB第一次重合，

∴构造出的最后一个三角形为等边△OB₁₀A₁₀．

如图，过点B₁作B₁M⊥OB于点M，

∵cos∠B₁OM=cos30°= = ，

∴ = = = ，即 = ，

∴ =（ ）²= ，即S_△OB1A1= S_△OBA= ，

同理，可得 =（ ）²= ，即S_△OB2A2= S_△OB1A1=（ ）²= ，

…，

∴S_△OB10A10= S_△OB9A9=（ ）¹⁰= ，即构造出的最后一个三角形的面积是 ．

故答案为 ．

方法二：

∵∠AOA₁=30°，∠A₁OA₂=30°，∠AOB=60°，

∴每构造一次增加30°，

∴n= =10，

∵△OBA∽△OB₁A₁，

∴ ⇒ ，

∵S_△OBA=1，

∴S_△OB1A1= ，q= ，

∴S_△OB10A10= ．

【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角函数的定义，相似三角形的判定与性质等知识，有一定难度．根据条件判断构造出的最后一个三角形为等边△OB₁₀A₁₀及利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出△OB₁A₁与△OBA的面积比为 ，进而总结出规律是解题的关键．

　

26．已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB₁为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB₁C₁，再以等边三角形AB₁C₁的B₁C₁边上的高AB₂为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB₂C₂，再以等边三角形AB₂C₂的边B₂C₂边上的高AB₃为边作等边三角形，得到第三个等边AB₃C₃；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形AB_nC_n的面积为　 （ ）ⁿ　．

【考点】等边三角形的性质．

【专题】压轴题；规律型．

【分析】由AB₁为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B₁为BC的中点，求出BB₁的长，利用勾股定理求出AB₁的长，进而求出第一个等边三角形AB₁C₁的面积，同理求出第二个等边三角形AB₂C₂的面积，依此类推，得到第n个等边三角形AB_nC_n的面积．

【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB₁⊥BC，

∴BB₁=1，AB=2，

根据勾股定理得：AB₁= ，

∴第一个等边三角形AB₁C₁的面积为 ×（ ）²= （ ）¹；

∵等边三角形AB₁C₁的边长为 ，AB₂⊥B₁C₁，

∴B₁B₂= ，AB₁= ，

根据勾股定理得：AB₂= ，

∴第二个等边三角形AB₂C₂的面积为 ×（ ）²= （ ）²；

依此类推，第n个等边三角形AB_nC_n的面积为 （ ）ⁿ．

故答案为： （ ）ⁿ．

【点评】此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．

　

27．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0， ），点A在第一象限且AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，则点M的坐标是（　1　，　 　）．

【考点】轴对称的性质；坐标与图形性质；解直角三角形．

【专题】压轴题．

【分析】根据点B的坐标求出OB的长，再连接ME，根据轴对称的性质可得OB=OE，再求出AO的长度，然后利用勾股定理列式求出AB的长，利用∠A的余弦值列式求出AM的长度，再求出BM的长，然后写出点M的坐标即可．

【解答】解：∵点B（0， ），

∴OB= ，

连接ME，

∵点B和点E关于直线OM对称，

∴OB=OE= ，

∵点E是线段AO的中点，

∴AO=2OE=2 ，

根据勾股定理，AB= = =3，

cosA= = ，

即 = ，

解得AM=2，

∴BM=AB﹣AM=3﹣2=1，

∴点M的坐标是（1， ）．

故答案为：（1， ）．

【点评】本题考查了轴对称的性质，坐标与图形性质，解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质并作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

　

28．已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是　1，7　．

【考点】等边三角形的性质；平行线之间的距离．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】根据题意画出相应的图形，直线DM与直线NF都与AB的距离为1，直线NG与直线ME都与AC的距离为2，当P与N重合时，HN为P到BC的最小距离；当P与M重合时，MQ为P到BC的最大距离，根据题意得到△NFG与△MDE都为等边三角形，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出DB与FB的长，以及CG与CE的长，进而由DB+BC+CE求出DE的长，由BC﹣BF﹣CG求出FG的长，求出等边三角形NFG与等边三角形MDE的高，即可确定出点P到BC的最小距离和最大距离．

【解答】解：根据题意画出相应的图形，直线DM与直线NF都与AB的距离为1，直线NG与直线ME都与AC的距离为2，

当P与N重合时，HN为P到BC的最小距离；当P与M重合时，MQ为P到BC的最大距离，

根据题意得到△NFG与△MDE都为等边三角形，

∴DB=FB= = ，CE=CG= = ，

∴DE=DB+BC+CE= + + = ，FG=BC﹣BF﹣CG= ，

∴NH= FG=1，MQ= DE=7，

则点P到BC的最小距离和最大距离分别是1，7．

故答案为：1，7．

【点评】此题考查了等边三角形的性质，以及平行线间的距离，作出相应的图形是解本题的关键．

　

三、解答题

29．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．

（1）求∠F的度数；

（2）若CD=2，求DF的长．

【考点】等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．

【专题】几何图形问题．

【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；

（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．

【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°，

∵DE∥AB，

∴∠EDC=∠B=60°，

∵EF⊥DE，

∴∠DEF=90°，

∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；

（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，

∴△EDC是等边三角形．

∴ED=DC=2，

∵∠DEF=90°，∠F=30°，

∴DF=2DE=4．

【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．

　

30．如图，O为△ABC内部一点，OB=3 ，P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点．

（1）请指出当∠ABC在什么角度时，会使得PR的长度等于7？并完整说明PR的长度为何在此时会等于7的理由．

（2）承（1）小题，请判断当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度是小于7还是会大于7？并完整说明你判断的理由．

【考点】轴对称的性质；三角形三边关系．

【分析】（1）连接PB、RB，根据轴对称的性质可得PB=OB，RB=OB，然后判断出点P、B、R三点共线时PR=7，再根据平角的定义求解；

（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边解答．

【解答】解：（1）如图，∠ABC=90°时，PR=7．

证明如下：连接PB、RB，

∵P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点，

∴PB=OB=3 ，RB=OB=3 ，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=∠ABC=90°，

∴点P、B、R三点共线，

∴PR=2×3 =7；

（2）PR的长度是小于7，

理由如下：∠ABC≠90°，

则点P、B、R三点不在同一直线上，

∴PB+BR＞PR，

∵PB+BR=2OB=2×3 =7，

∴PR＜7．

【点评】本题考查了轴对称的性质，三角形的任意两边之和大于第三边的性质，熟记各性质是解题的关键．