期中试卷（1）
一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号.本大题共15小题，每题3分，计45分）
1．（3分）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．11
2．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
5．（3分）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（3分）如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD
7．（3分）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．108° B．90° C．72° D．60°
8．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
9．（3分）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：
①AC⊥BD；②AO=CO=
AC；③△ABD≌△CBD，
其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
11．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠BAC=70° B．∠DOC=90° C．∠BDC=35° D．∠DAC=55°
12．（3分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
13．（3分）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（ ）
A．AM=BM B．AP=BN C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠BNM
14．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（ ）
A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC
15．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上； ②AS=AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．解答题（共9小题）
16．（6分）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=80°，∠ABC=70°．求∠BAD，∠AOF．
17．（6分）如图，AB=AD，CB=CD，求证：AC平分∠BAD．
18．（7分）如图，已知AC=AE，∠BAD=∠CAE，∠B=∠ADE，求证：BC=DE．
19．（7分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．
求证：DE=DF．
20．（8分）如图，一艘轮船以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得小岛C在北偏东75°方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛C在北偏东60°方向上，在小岛周围15海里处有暗礁，若轮船仍然按18海里/时的速度向东航行，请问是否有触礁危险？并说明理由．
21．（8分）如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC，分别以BC和AC为直角边向上作等腰直角三角形△BCD和△ACE，AE与BD相交于点F，连接CF并延长交AB于点G．求证：CG垂直平分AB．
22．（10分）如图，在等边△ABC中，点F是AC边上一点，延长BC到点D，使BF=DF，若CD=CF，求证：
（1）点F为AC的中点；
（2）过点F作FE⊥BD，垂足为点E，请画出图形并证明BD=6CE．
23．（11分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
24．（12分）在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC边上一点，BN⊥AD交AD的延长线于点N．
（1）如图1，若CM∥BN交AD于点M．
①直接写出图1中所有与∠MCD相等的角： ；（注：所找到的相等关系可以直接用于第②小题的证明过程
②过点C作CG⊥BN，交BN的延长线于点G，请先在图1中画出辅助线，再回答线段AM、CG、BN有怎样的数量关系，并给予证明．
（2）如图2，若CM∥AB交BN的延长线于点M．请证明：∠MDN+2∠BDN=180°．
参考答案与试题解析
一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号.本大题共15小题，每题3分，计45分）
1．（3分）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．11
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断．
【解答】解：设第三边长为x，由题意得：
7﹣3＜x＜7+3，
则4＜x＜10，
故选：C．
【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
2．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选A．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【考点】三角形的外角性质．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：由三角形的外角性质的，∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
5．（3分）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定得出点P的位置即可．
【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，
故选C
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是利用全等三角形的判定进行判定点P的位置．
6．（3分）如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．
【解答】解：由题意，得∠ABC=∠BAD，AB=BA，
A、∠ABC=∠BAD，AB=BA，AC=BD，（SSA）三角形不全等，故A错误；
B、在△ABC与△BAD中，
，△ABC≌△BAD（ASA），故B正确；
C、在△ABC与△BAD中，
，△ABC≌△BAD（AAS），故C正确；
D、在△ABC与△BAD中，
，△ABC≌△BAD（SAS），故D正确；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．（3分）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．108° B．90° C．72° D．60°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【解答】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）=540，
解得：n=5，
故这个正多边形的每一个外角等于：
=72°．
故选C．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，外角和等于360°．
8．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【解答】解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长=8+8+4=20．
故选C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．
9．（3分）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：
①AC⊥BD；②AO=CO=
AC；③△ABD≌△CBD，
其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】新定义．
【分析】先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断．
【解答】解：在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
故③正确；
∴∠ADB=∠CDB，
在△AOD与△COD中，
，
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，
∴AC⊥DB，
故①②正确；
故选D
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明△ABD与△CBD全等和利用SAS证明△AOD与△COD全等．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【考点】角平分线的性质．
【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，
∴DE=CD，
∴△ABD的面积=
AB•DE=
×15×4=30．
故选B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠BAC=70° B．∠DOC=90° C．∠BDC=35° D．∠DAC=55°
【考点】角平分线的性质；三角形内角和定理．
【专题】计算题．
【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC．
【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°，
故A选项正确，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABO=
∠ABC=
×50°=25°，
在△ABO中，
∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°，
∴∠DOC=∠AOB=85°，
故B选项错误；
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=
（180°﹣60°）=60°，
∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°，
故C选项正确；
∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∴AD是△ABC的外角平分线，
∴∠DAC=
（180°﹣70°）=55°，
故D选项正确．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC，AE=CE=4，求出AC=8，AB+BC=15，求出△ABD的周长为AB+BC，代入求出即可．
【解答】解：∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，
∴AD=DC，AE=CE=4，
即AC=8，
∵△ABC的周长为23，
∴AB+BC+AC=23，
∴AB+BC=23﹣8=15，
∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，
故选B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
13．（3分）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（ ）
A．AM=BM B．AP=BN C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠BNM
【考点】轴对称的性质．
【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AM=BM，AN=BN，∠ANM=∠BNM，
∵点P时直线MN上的点，
∴∠MAP=∠MBP，
∴A，C，D正确，B错误，
故选B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
14．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（ ）
A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC
【考点】角平分线的性质．
【专题】压轴题．
【分析】先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，由于BE∥AC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性质可有
=
，而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代换即可证．
【解答】解：如图
过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，
∵BE∥AC，
∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，
∴△BDE∽△CDA，
∴
=
，
又∵AD是角平分线，
∴∠E=∠DAC=∠BAD，
∴BE=AB，
∴
=
，
∴AB：AC=BD：CD．
故选：A．
【点评】此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论．关键是作平行线．
15．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上； ②AS=AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定；角平分线的性质．
【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，从而判断出①正确，然后根据等边对等角的性质可得∠APQ=∠PAQ，然后得到∠APQ=∠PAR，然后根据内错角相等两直线平行可得QP∥AB，从而判断出②正确，然后证明出△APR与△APS全等，根据全等三角形对应边相等即可得到③正确，④由△BPR≌△CPS，△BRP≌△QSP，即可得到④正确．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，
∴P在∠A的平分线上，故①正确；
由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，
∴△BPR≌△CPS，
∴AS=AR，故②正确；
∵AQ=PQ，
∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，
∴PQ∥AR，故③正确；
由③得，△PQC是等边三角形，
∴△PQS≌△PCS，
又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确，
∵①②③④都正确，
故选D．
【点评】本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．
二．解答题（共9小题）
16．（6分）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=80°，∠ABC=70°．求∠BAD，∠AOF．
【考点】三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．
【分析】在直角三角形中，根据两锐角互余即可得到∠BAD=20°，根据角平分线的性质可求出∠BAO和∠ABO，最后由三角形外角的性质求得∠AOF=75°．
【解答】解：∵AD是高，∠ABC=70°，
∴∠BAD=90°﹣70°=20°，
∵AE、BF是角平分线，∠BAC=80°，∠ABC=70°，
∴∠ABO=35°，∠BAO=40°，
∴∠AOF=∠ABO+∠BAO=75°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，外角的性质，三角形的高线与角平分线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
17．（6分）如图，AB=AD，CB=CD，求证：AC平分∠BAD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据全等三角形的判定定理SSS推出△BAC≌△DAC，根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠DAC即可．
【解答】解：在△BAC和△DAC中，
，
∴△BAC≌△DAC（SAS），
∴∠BAC=∠DAC，
∴AC平分∠BAD．
【点评】本题考查了角平分线定义和全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△BAC≌△DAC，全等三角形的判定方法有SAS、ASA、AAS．
18．（7分）如图，已知AC=AE，∠BAD=∠CAE，∠B=∠ADE，求证：BC=DE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】先通过∠BAD=∠CAE得出∠BAC=∠DAE，从而证明△ABC≌△ADE，得到BC=DE．
【解答】证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC．
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
∴BC=DE．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：AAS、SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角
19．（7分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．
求证：DE=DF．
【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF．
【解答】证明：
证法一：连接AD．
∵AB=AC，点D是BC边上的中点
∴AD平分∠BAC（三线合一性质），
∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
证法二：在△ABC中，
∵AB=AC
∴∠B=∠C（等边对等角） …（1分）
∵点D是BC边上的中点
∴BD=DC …（2分）
∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F
∴∠BED=∠CFD=90°…（3分）
在△BED和△CFD中
∵
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF（全等三角形的对应边相等）．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；利用等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．
20．（8分）如图，一艘轮船以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得小岛C在北偏东75°方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛C在北偏东60°方向上，在小岛周围15海里处有暗礁，若轮船仍然按18海里/时的速度向东航行，请问是否有触礁危险？并说明理由．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】作CE⊥AB，利用直角三角形性质求出CE长，和15海里比较即可看出船不改变航向是否会触礁．
【解答】解：作CE⊥AB于E，
∵A处测得小岛P在北偏东75°方向，
∴∠CAB=15°，
∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向，
∴∠ACB=15°，
∴AB=PB=2×18=36（海里），
∵∠CBD=30°，
∴CE=
BC=18＞15，
∴船不改变航向，不会触礁．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，关键找出题中的等腰三角形，然后再根据直角三角形性质求解．
21．（8分）如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC，分别以BC和AC为直角边向上作等腰直角三角形△BCD和△ACE，AE与BD相交于点F，连接CF并延长交AB于点G．求证：CG垂直平分AB．
【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形．
【分析】求证△AFC≌△CEB可得∠ACF=∠BCF，根据等腰三角形底边三线合一即可解题．
【解答】证明：∵CA=CB
∴∠CAB=∠CBA
∵△AEC和△BCD为等腰直角三角形，
∴∠CAE=∠CBD=45°，∠FAG=∠FBG，
∴∠FAB=∠FBA，
∴AF=BF，
在三角形ACF和△CBF中，
，
∴△AFC≌△BCF（SSS），
∴∠ACF=∠BCF
∴AG=BG，CG⊥AB（三线合一），
即CG垂直平分AB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，考查了等腰三角形底边三线合一的性质．
22．（10分）如图，在等边△ABC中，点F是AC边上一点，延长BC到点D，使BF=DF，若CD=CF，求证：
（1）点F为AC的中点；
（2）过点F作FE⊥BD，垂足为点E，请画出图形并证明BD=6CE．
【考点】作图—基本作图；等边三角形的性质．
【专题】作图题．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，利用∠CFD=∠D，则根据三角形外角性质得到∠ACB=2∠D，即∠D=
∠ACB=30°，然后利用FB=FD得到∠FBD=∠D=30°，则BF平分∠ABC，于是根据等边三角形的性质可得到点F为AC的中点；
（2）如图，过点F作FE⊥BD于E，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CF=2CE，而CD=CF，则CF=2CE，再利用BC=2CF，所以BD=6CE．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵CF=CD，
∴∠CFD=∠D，
∴∠ACB=2∠D，即∠D=
∠ACB=30°，
∵FB=FD，
∴∠FBD=∠D=30°，
∴BF平分∠ABC，
∴AF=CF，即点F为AC的中点；
（2）如图，
在Rt△EFC中，CF=2CE，
而CD=CF，
∴CF=2CE，
在Rt△BCF中，BC=2CF，
∴BC=4CE，
∴BD=6CE．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段．作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．记住含30度的直角三角形三边的关系．
23．（11分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【专题】压轴题；动点型．
【分析】（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=
QC，即6﹣x=
（6+x），求出x的值即可；
（2）作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=
AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【解答】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠BQD=30°，
∴∠QPC=90°，
设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，
∴QC=QB+BC=6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，
∴PC=
QC，即6﹣x=
（6+x），解得x=2，
∴AP=2；
（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=
EF，
∵EB+AE=BE+BF=AB，
∴DE=
AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE=3，
∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．
24．（12分）在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC边上一点，BN⊥AD交AD的延长线于点N．
（1）如图1，若CM∥BN交AD于点M．
①直接写出图1中所有与∠MCD相等的角： ∠CAD，∠CBN ；（注：所找到的相等关系可以直接用于第②小题的证明过程
②过点C作CG⊥BN，交BN的延长线于点G，请先在图1中画出辅助线，再回答线段AM、CG、BN有怎样的数量关系，并给予证明．
（2）如图2，若CM∥AB交BN的延长线于点M．请证明：∠MDN+2∠BDN=180°．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；作图—基本作图．
【分析】（1）①结论：∠CAD、CBN．利用同角的余角相等，平行线的性质即可证明．
②由△ACM≌△BCG，推出CM=CG，AM=BG，由∠CMN=∠MNG=∠G=90°，推出四边形MNGC是矩形，推出CM=GN=CG，由此即可证明．
（2）过点C作CE平分∠ACB，交AD于点E．由△ACE≌△BCM（ASA），推出CE=CM，又因为∠1=∠2，CD=CD，推出∠CDE=∠CDM，由∠BDN=∠CDE，∠MDN+∠CDE+∠CDM=180°，即可证明．
【解答】解：（1）①∵CM∥BN，BN⊥AN，
∴∠CMD=∠N=90°，∠MCD=∠CBN，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠CAD=90°，∠MCD+∠ACM=90°，
∴∠MCD=∠CAD，
故答案为∠CAD、∠CBN．
②在图1中画出图形，如图所示，
结论：AM=CG+BN，
证明：在△ACM和△BCG中，
，
∴△ACM≌△BCG，
∴CM=CG，AM=BG，
∵∠CMN=∠MNG=∠G=90°，
∴四边形MNGC是矩形，
∴CM=GN=CG，
∴AM=BG=BN+GN=BN+CG．
（2）过点C作CE平分∠ACB，交AD于点E．
∵在△ACD和△BDN中，∠ACB=90°，AN⊥ND
∴∠4+∠ADC=90°=∠5+∠BDN
又∵∠ADC=∠BDN
∴∠4=∠5，
∵∠ACB=90°，AC=BC，CE平分∠ACB，
∴∠6=45°，∠2=∠3=45°
又∵CM∥AB，
∴∠1=∠6=45°=∠2=∠3，
在△ACE和△BCM中，
，
∴△ACE≌△BCM（ASA）
∴CE=CM
又∵∠1=∠2，CD=CD
∴∠CDE=∠CDM
又∵∠BDN=∠CDE，∠MDN+∠CDE+∠CDM=180°
∴∠MDN+2∠BDN=180°．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线、构造全等三角形，属于中考常考题型．