青岛版第2章图形的轴对称测试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（4分）如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（4分）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
4．（4分）如图，直线l1、l2、l3分别表示三条相互交叉的公路，现要建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
5．（4分）等腰三角形的对称轴是（ ）
A．顶角的平分线 B．底边上的高
C．底边上的中线 D．底边上的高所在的直线
6．（4分）如图，AB＝AC，BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD的度数是（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
7．（4分）下列说法不成立的是（ ）
A．若两图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的中垂线
B．两图形若关于某直线对称，则两图形能重合
C．等腰三角形是轴对称图形
D．线段的对称轴只有一条
8．（4分）如图，在四边形ABCD中，边AB与AD关于AC对称，则下面结论正确的是（ ）
①CA平分∠BCD；②AC平分∠BAD；③DB⊥AC；④BE＝DE．
A．② B．①② C．②③④ D．①②③④
9．（4分）哪一面镜子里是他的像（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（4分）一个等腰三角形但不是等边三角形，它的角平分线、高线、中线总数共（ ）条．
A．9 B．7 C．6 D．3
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是 ．
12．（3分）小明在穿衣镜里看到身后墙上电子钟显示，则此时实际时刻为 ．
13．（3分）如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC交AC于E，若DE＝7cm，AE＝5cm，则AC＝ cm．
14．（3分）如图，已知AB垂直平分CD，AC＝6cm，BD＝4cm，则四边形ADBC的周长为 ．
15．（3分）如图所示，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝3，点A和点B关于直线l对称，AC与l相交于点D，则△BDC的周长为 ．
16．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，如果AC＝3cm，那么AE+DE的值为 ．
三、解答题（共5小题，满分42分）
17．（4分）“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置．（作出满足题意的一处位置即可）
18．（8分）如图，如果AE平分∠DAC，AE∥BC，那么你能得出AB＝AC吗？请简要说明理由．
19．（10分）在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，如图，并写下了四个等式：①AB＝DC，②BE＝CE，③∠B＝∠C，④∠BAE＝∠CDE．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）
20．（10分）已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．
21．（10分）等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】P3：轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、B、D都是轴对称图形；
C、不是轴对称图形．
故选：C．
【点评】轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
2．（4分）如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】P3：轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：观察书写的四个汉字，只有“善”字是轴对称图形．
故选：B．
【点评】掌握好轴对称的概念．
轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
3．（4分）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
【考点】KG：线段垂直平分线的性质．
【专题】12：应用题．
【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．
4．（4分）如图，直线l1、l2、l3分别表示三条相互交叉的公路，现要建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
【考点】KF：角平分线的性质．
【专题】12：应用题．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，分点P在三条公路相交的三角形地带和地带之外作出图形即可得解．
【解答】解：如图，可选择的地址有四处．
故选D．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
5．（4分）等腰三角形的对称轴是（ ）
A．顶角的平分线 B．底边上的高
C．底边上的中线 D．底边上的高所在的直线
【考点】KH：等腰三角形的性质；P2：轴对称的性质．
【分析】本题除了要根据等腰三角形的性质进行求解外，还要注意图形的对称轴是直线，而不是线段．
【解答】解：根据等腰三角形的性质可知：顶角平分线、底边的中、底边的高所在的直线是等腰三角形的对称轴．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和轴对称的性质；要注意的是图形的对称轴是直线，而等腰三角形的顶角平分线，底边上的高，底边上的中线都是线段．
6．（4分）如图，AB＝AC，BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD的度数是（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【考点】K7：三角形内角和定理；K8：三角形的外角性质；KH：等腰三角形的性质．
【专题】11：计算题．
【分析】利用三角形的内角和、外角性质与等腰三角形的“等边对等角”定理计算．
【解答】解：由AB＝AC、BD＝BC得∠ABC＝∠ACB、∠C＝∠BDC，
在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝∠ABC，
∴∠C＝∠ABC＝
（180°﹣∠A）＝
（180°﹣40°）＝70°；
在△ABD中，由∠BDC＝∠A+∠ABD得
∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝70°﹣40°＝30度．
故选：B．
【点评】本综合考查了三角形的内角和、外角性质与等腰三角形的“等边对等角”定理．
7．（4分）下列说法不成立的是（ ）
A．若两图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的中垂线
B．两图形若关于某直线对称，则两图形能重合
C．等腰三角形是轴对称图形
D．线段的对称轴只有一条
【考点】P2：轴对称的性质．
【分析】根据轴对称的性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质分别进行判断即可．
【解答】解：A、若两图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的中垂线，正确，故本选项错误；
B、两图形若关于某直线对称，则两图形是全等形，即能够完全重合，正确，故本选项错误；
C、等腰三角形是轴对称图形，正确，故本选项错误；
D、线段有两条对称轴，是线段的垂直平分线和线段本身所在的直线，错误，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生理解能力和辨析能力，注意：如果两个图形关于某一直线对称，那么这两个图形是全等形．
8．（4分）如图，在四边形ABCD中，边AB与AD关于AC对称，则下面结论正确的是（ ）
①CA平分∠BCD；②AC平分∠BAD；③DB⊥AC；④BE＝DE．
A．② B．①② C．②③④ D．①②③④
【考点】P2：轴对称的性质．
【分析】根据轴对称的性质得出∠BAC＝∠DAC，AC⊥BD，BE＝DE，根据线段垂直平分线性质得出BC＝DC，根据等腰三角形性质得出∠BCA＝∠DCA即可．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，边AB与AD关于AC对称，
∴∠BAC＝∠DAC，AC⊥BD，BE＝DE，
∴BC＝DC，
∴∠BCA＝∠DCA，
∴①②③④都正确；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称的性质线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生推理能力，注意：如果两个图形关于某一直线对称，那么这两个图形是全等形，对称轴是对应点连线的垂直平分线．
9．（4分）哪一面镜子里是他的像（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】P4：镜面对称．
【分析】物体镜子里的像，与物体成轴对称，结合选项即可作出判断．
【解答】解：只有选项B的图形与原图形成轴对称．
故选：B．
【点评】本题考查了镜面对称的知识，镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．
10．（4分）一个等腰三角形但不是等边三角形，它的角平分线、高线、中线总数共（ ）条．
A．9 B．7 C．6 D．3
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，再结合三角形的角平分线、高线、中线的定义即可求解．
【解答】解：由于任意一个三角形都有三条角平分线、三条高线、三条中线，而等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，
所以一个等腰三角形但不是等边三角形，它的角平分线、高线、中线总数共7条．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，也考查了三角形的角平分线、高线、中线的定义．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是 90°或36° ．
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【分析】根据已知条件，根据比先设出三角形的两个角，然后进行讨论，即可得出顶角的度数．
【解答】解：在△ABC中，设∠A＝x，∠B＝2x，分情况讨论：
当∠A＝∠C为底角时，x+x+2x＝180°解得，x＝45°，顶角∠B＝2x＝90°；
当∠B＝∠C为底角时，2x+x+2x＝180°解得，x＝36°，顶角∠A＝x＝36°．
故这个等腰三角形的顶角度数为90°或36°．
故答案为：36°或90°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
12．（3分）小明在穿衣镜里看到身后墙上电子钟显示，则此时实际时刻为 15：51 ．
【考点】P4：镜面对称．
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与15：51成轴对称，所以此时实际时刻为15：51．
故答案为：15：51．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
13．（3分）如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC交AC于E，若DE＝7cm，AE＝5cm，则AC＝ 12 cm．
【考点】JA：平行线的性质；KH：等腰三角形的性质．
【专题】11：计算题．
【分析】由CD是角平分线，可得∠ACD＝∠BCD，而DE∥BC，则∠BCD＝∠EDC，于是∠ACD＝∠EDC，再利用等角对等边可求出DE＝CE，从而求出AC的长．
【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠BCD，
又∵DE∥BC，
∴∠BCD＝∠EDC．
∴∠ACD＝∠EDC．
∴DE＝CE．
∴AC＝AE+CE＝5+7＝12．
故填12．
【点评】本题利用了角平分线性质以及等腰三角形的性质、平行线的性质．对线段的等量代换是正确解答本题的关键．
14．（3分）如图，已知AB垂直平分CD，AC＝6cm，BD＝4cm，则四边形ADBC的周长为 20cm ．
【考点】KG：线段垂直平分线的性质．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BC＝BD，AC＝AD，由此可得出结论．
【解答】解：∵AB垂直平分CD，
∴BC＝BD，AC＝AD．
∵AC＝6cm，BD＝4cm，
∴四边形ADBC的周长＝AC+AD+BC+BD＝2×6+2×4＝12+8＝20（cm）．
故答案为：20cm．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
15．（3分）如图所示，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝3，点A和点B关于直线l对称，AC与l相交于点D，则△BDC的周长为 8 ．
【考点】KH：等腰三角形的性质；P2：轴对称的性质．
【分析】先根据点A和点B关于直线l对称得出直线l是线段AB的垂直平分线，故AD＝BD，由此可得出结论．
【解答】解：∵点A和点B关于直线l对称，
∴直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD．
∵AB＝AC＝5，BC＝3，
∴△BDC的周长＝BC+（BD+CD）＝BC+（AD+CD）＝BC+AC＝3+5＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键．
16．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，如果AC＝3cm，那么AE+DE的值为 3cm ．
【考点】KF：角平分线的性质．
【专题】11：计算题．
【分析】由BE为角平分线，且DE垂直于BA，EC垂直于BC，利用角平分线性质得到DE＝CE，则AE+DE＝AE+CE＝AC，由AC的长即可得出所求式子的值．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴EC⊥BC，又BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE＝CE，又AC＝3cm，
∴AE+DE＝AE+CE＝AC＝3cm．
故答案为：3cm．
【点评】此题考查了角平分线的性质，角平分线的性质为：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟练掌握此性质是解本题的关键．
三、解答题（共5小题，满分42分）
17．（4分）“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置．（作出满足题意的一处位置即可）
【考点】N4：作图—应用与设计作图．
【分析】作出角平分线、线段AB的垂直平分线，交点就是所求．
【解答】解：
作出角平分线、线段AB的垂直平分线各（2分），标出点P得（1分）
【点评】此题考查了角平分线和线段垂直平分线的性质以及作法，应该掌握，考试经常出现．
18．（8分）如图，如果AE平分∠DAC，AE∥BC，那么你能得出AB＝AC吗？请简要说明理由．
【考点】IJ：角平分线的定义；JA：平行线的性质．
【专题】2B：探究型．
【分析】只要得出∠B＝∠C，就可以证明AB＝AC；由AE平分∠DAC得出∠DAE＝∠CAE，由两直线平行，内错角、同位角分别相等可以得出∠CAE＝∠C，∠DAE＝∠B，即可证∠C＝∠B，所以AB＝AC．
【解答】解：能得出AB＝AC，
∵AE平分∠ADC，
∴∠DAE＝∠CAE；
又∵AE∥BC，
∴∠CAE＝∠C，∠DAE＝∠B，
即∠DAE＝∠CAE＝∠C＝∠B；
∴AB＝AC．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，利用平行线的性质证出内错角和同位角分别相等，再利用等价替换的原则求出∠C＝∠B，进而证出AB＝AC．
19．（10分）在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，如图，并写下了四个等式：①AB＝DC，②BE＝CE，③∠B＝∠C，④∠BAE＝∠CDE．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KI：等腰三角形的判定．
【专题】26：开放型．
【分析】要证明△AED是等腰三角形，既可证明AE＝AD，也可证明∠EAD＝∠ADE，所以根据这两种途径就可以找到所需要的条件，当然要利用这些首先证明三角形全等，利用对应边相等或对应角相等就可以得到AE＝AD或∠EAD＝∠ADE．
【解答】解：已知：①③（或①④，或②③，或②④）
证明：在△ABE和△DCE中，
∵
，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE＝DE，
即△AED是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定及全等三角形的判定及性质；此题既要求熟练掌握全等三角形的判定，也要求熟练掌握等腰三角形的判定，三角形全等的证明是正确解答本题的关键．
20．（10分）已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KI：等腰三角形的判定．
【分析】欲证△ABC是等腰三角形，又已知DE⊥AC，DF⊥AB，BF＝CE，可利用三角形中两内角相等来证等腰．
【解答】证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴△BDF与△CDE为直角三角形，
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．
21．（10分）等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KL：等边三角形的判定．
【专题】2B：探究型．
【分析】先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．
【解答】解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC．
在△ABP与△ACQ中，
∵
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．
∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
【点评】考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法．