期中检测卷
时间：120分钟 满分：120分
班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )
A．30，40，50 B．7，12，13
C．5，9，12 D．3，4，6
2．已知一个正多边形的内角和是1260°，则这个正多边形的边数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
3．下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
4．关于▱ABCD的叙述，正确的是( )
A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形
D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形
5．下列可使两个直角三角形全等的条件是( )
A．一条边对应相等
B．一条直角边和斜边对应相等
C．一个锐角对应相等
D．两个锐角对应相等
6．如图，在矩形ABCD中，有以下结论：①△AOB是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD＝45°时，矩形ABCD会变成正方形．正确结论的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第6题图 第7题图
7．如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶ D．1∶
8．如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A落在CB上的A′处，折痕CD，则∠A′DB＝ ( )
A．10° B．20° C．30° D．40°
9．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，点H是AF的中点，那么CH的长是( )
A．2.5 B. C. D．2
第8题图 第9题图 第10题图
10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE＋DF＝AF＋DE.其中正确的是( )
A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．已知一个直角三角形斜边上的中线长为6cm，那么这个直角三角形的斜边长为________．
12．若正多边形的一个外角为30°，则这个多边形为正________边形．
13．已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是__________．
14．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和2，则它的面积为________．
15．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E.若PE＝3，则点P到AD的距离为________．
第15题图 第16题图
16．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为________mm.
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P在AD边上，连接BP，PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为________．
第17题图 第18题图
18．如图，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为________．
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE＝AF.求证：
(1)PE＝PF；
(2)点P在∠BAC的平分线上．
20．(8分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，BC＝4，CD＝3，求AB的长．
21．(8分)如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AB，BC上，ED∥BC，EF∥AC.求证：BE＝CF.
22．(8分)如图，在△ABC中，AB，BC，CA的中点分别是点E，F，G，AD是高，连接ED，EF，FG，DG.求证：∠EDG＝∠EFG.
23．(10分)如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．
24．(12分)如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG.
(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
(2)若∠ABC ＝30°，∠C ＝45°，ED＝2，点H是BD上的一个动点，求HG＋HC的最小值．
25．(12分)如图，菱形ABCD中，已知∠BAD＝120°，∠EGF＝60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC，CD于点E，F.
(1)如图a，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC＋CF＝BC；
(2)知识探究：①如图b，当顶点G运动到AC中点时，探究线段EC，CF与BC的数量关系；②在顶点G的运动过程中，若＝t，请直接写出线段EC，CF与BC的数量关系(不需要写出证明过程)；
(3)问题解决：如图c，已知菱形边长为8，BG＝7，CF＝，当t＞2时，求EC的长度．
1．A 2.D 3.C 4.C 5.B 6.C 7.D 8.B
9．B 解析：连接AC，CF.∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴AC＝，CF＝3，∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°.由勾股定理得AF＝＝＝2.∵H是AF的中点，∴CH＝AF＝×2＝.故选B.
10．D 11.12cm 12.十二 13.AB＝BC(答案不唯一)
14．4 15.3 16.5 17.5或6
18. 解析：连接DF.因为EF是BD的中垂线，所以设BF＝DF＝x，则CF＝8－x.因为CD＝AB＝6.根据勾股定理得(8－x)2＋62＝x2，得x＝，则CF＝8－x＝，所以2S△BOF＝S△BCD－S△DCF＝×6×8－××6＝，所以S△BOF＝.
19．证明：(1)连接AP.(1分)在Rt△APE和Rt△APF中，AP＝AP，AE＝AF，∴Rt△APE≌Rt△APF(HL)，∴PE＝PF.(4分)
(2)由(1)可知Rt△APE≌Rt△APF，∴∠PAE＝∠PAF，即AP平分∠BAC，∴点P在∠BAC的平分线上．(8分)
20．解：延长DA，CB交于点E.(1分)∵∠D＝90°，∠C＝60°，∴∠E＝30°.(3分)在Rt△ABE中，设AB＝x，则有AE＝2x，根据勾股定理得BE＝＝x，则CE＝BC＋BE＝4＋x.(6分)在Rt△DCE中，∠E＝30°，∴CD＝CE，即(4＋x)＝3，解得x＝，∴AB＝.(8分)
21．证明：∵DE∥BC，EF∥AC，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DE＝CF.(4分)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.(6分)∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴EB＝ED，∴BE＝CF.(8分)
22．证明：连接EG.∵点E，F分别是AB，BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF＝AC.(2分)又∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，DG为Rt△ADC斜边上的中线，∴DG＝AC，∴DG＝EF.同理可证DE＝FG.(6分)又∵EG＝GE，∴△EFG≌△GDE(SSS)，∴∠EDG＝∠EFG.(8分)
23．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.(2分)∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形．(5分)
(2)解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC.又∵DG⊥AC，∴CD＝OD.(7分)∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm.∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝＝＝4(cm)，∴矩形ABCD的面积为4×4＝16(cm2)．(10分)
24．解：(1)四边形EBGD是菱形．(1分)理由如下：∵EG是BD的垂直平分线，∴BE＝ED，BG＝DG，EG⊥BD.(3分)∵BD平分∠ABC，∴∠EBF＝∠GBF.在△BEF与△BGF中，∠EBF＝∠GBF，BF＝BF，∠BFE＝∠BFG＝90°，∴△BEF≌△BGF，∴BE＝BG，∴BE＝ED＝DG＝BG，∴四边形EBGD是菱形．(5分)
(2)由(1)知四边形EBGD是菱形，点H为对角线BD上的点，易证△BEH≌△BGH，∴EH＝HG，∴HG＋HC＝EH＋HC，当E，H，C三点共线时，EH＋HC最小，即HG＋HC最小，∴HG＋HC最小值为CE的长度．(7分)分别过点E，D向BC作垂线，垂足分别为N，M.在Rt△BEN与Rt△GDM中，BE＝DG，EN＝DM，∴Rt△BEN≌Rt△GDM，∴BN＝GM，∴CN＝NG＋GM＋CM＝NG＋BN＋CM＝BG＋CM.(9分)在△DCG中，DG＝BG＝ED＝2，∠DGC＝∠ABC＝30°，∠C＝45°，∴DM＝DG＝，∴CM＝DM＝，∴CN＝BG＋CM＝2＋＝3.在Rt△CEN中，EN＝DM＝，∴CE＝＝＝10，∴HG＋HC的最小值是10.(12分)
25．(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，且∠BAD＝120°，∴∠B＝60°，∴△ABC与△ACD都是等边三角形，∴∠ACF＝∠B＝60°，AB＝AC.∵∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋CAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，(2分)∴△BAE≌△CAF(ASA)，∴BE＝CF，∴EC＋CF＝BC.(4分)
(2)解：①EC＋CF＝BC；(6分)②EC＋CF＝BC.(8分)
(3)解：过点B作BH⊥AC于点H.(9分)由(1)知△ABC为等边三角形，∴AC＝BC＝8，H是AC的中点，即AH＝4，∴HB＝＝4.∵BG＝7，∴HG＝＝1，∴GC＝3，∴t＝＝.由(2)知EC＋CF＝×8＝3，∴EC＝3－＝.(12分)