【330824】难点探究专题：坐标系中的规律变换(选做)

难点探究专题：坐标系中的规律变换(选做)

——掌握不同规律，以不变应万变

类型一　沿坐标轴运动的点的坐标规律

1．如图是探究一个质点在第一象限及x轴、y轴上的运动，在第1秒时，它从原点运动到(0，1)，接着按图中所示方向运动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)…]，且每秒移动1个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是(　　)　　　　　　　　　　　　

A．(4，0) B．(5，0)

C．(0，5) D．(5，5)

第1题图 第2题图

2．(梅州中考)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB₁C₁的位置，点B，O分别落在点B₁，C₁处，点B₁在x轴上，再将△AB₁C₁绕点B₁顺时针旋转到△A₁B₁C₂的位置，点C₂在x轴上，将△A₁B₁C₂绕点C₂顺时针旋转到△A₂B₂C₂的位置，点A₂在x轴上，依次进行下去……若点A，B(0，2)，则点B₂₀₁₆的坐标为__________．

类型二　绕原点呈“回”字形运动的点的坐标的探究

3．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m到达A₁点，再向正北方向走6m到达A₂点，再向正西方向走9m到达A₃点，再向正南方向走12m到达A₄点，再向正东方向走15m到达A₅点，按如此规律走下去，相对于点O，机器人走到A₆时是在________位置．

第3题图 第4题图

4．如图，正方形A₁A₂A₃A₄，A₅A₆A₇A₈，A₉A₁₀A₁₁A₁₂，…(每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向依次记为A₁，A₂，A₃，A₄；A₅，A₆，A₇，A₈；A₉，A₁₀，A₁₁，A₁₂；…)的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…，则顶点A₂₀的坐标为________．【方法11】

5．如图，已知A₁(1，0)，A₂(1，1)，A₃(－1，1)，A₄(－1，－1)，A₅(2，－1)，…，则点A₂₀₁₆的坐标为________．

类型三　图形变化的点的坐标探究

6．如图所示，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA₁B₁，第二次将△OA₁B₁变换成△OA₂B₂，第三次将△OA₂B₂变换成△OA₃B₃，已知A(1，3)，A₁(2，3)，A₂(4，3)，A₃(8，3)，B(2，0)，B₁(4，0)，B₂(8，0)，B₃(16，0)．

(1)求△OAB的面积；

(2)写出△OA₄B₄的各个顶点的坐标；

(3)按此图形变化规律，你能写出△OA_nB_n的面积与△OAB的面积的大小关系吗？

参考答案与解析

1．B

2．(6048，2)　解析：∵AO＝，BO＝2，∴AB＝＝，∴OA＋AB₁＋B₁C₂＝6，∴B₂的横坐标为6，且B₂C₂＝2，B₄的横坐标为2×6＝12，且B₄C₄＝2，∴点B₂₀₁₆的横坐标为2016÷2×6＝6048，点B₂₀₁₆的纵坐标为2，∴点B₂₀₁₆的坐标为(6048，2)．

3．(9，12)　4.(5，－5)　5.(－504，－504)

6．解：(1)S_△OAB＝OB·y_A＝×2×3＝3.

(2)由题意知O的坐标是(0，0)，A(1，3)，A₁(2，3)，A₂(4，3)，A₃(8，3)，对于A₁，A₂，…，A_n坐标找规律比较发现A_n的横坐标为2ⁿ，纵坐标是3；同理B₁，B₂，…，B_n，B_n的横坐标为2^n＋1，纵坐标为0.由上规律可知A₄的坐标是(16，3)，B₄的坐标是(32，0)．综上所述，O(0，0)，A₄(16，3)，B₄(32，0)．

(3)根据规律可知后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高相等都是3.∵OB_n＝2^n＋1，OB＝2，S_△OAB＝×2×3＝3，S△OA_nB_n＝×2^n＋1×3＝3×2ⁿ＝2ⁿS_△OAB，∴S△OA_nB_n＝2ⁿS_△OAB.