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【330766】解题技巧专题:特殊平行四边形中的解题方法

时间:2025-02-11 18:45:25 作者: 字数:4341字

解题技巧专题:特殊平行四边形中的解题方法

类型一 特殊四边形中求最值、定值问题

一、利用对称性求最值【方法10

1(2017·青山区期中)如图,四边形ABCD是菱形,AC8DB6PQ分别是ACAD上的动点,连接DPPQ,则DPPQ的最小值为________

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1题图 2题图

2(2017·安顺中考)如图,正方形ABCD的边长为6,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PDPE的和最小,则这个最小值为________

二、利用面积法求定值

  1. 如图,在矩形ABCD中,点P是线段BC上一动点,且PEACPFBDAB6BC8,则PEPF的值为________

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【变式题】矩形两条垂线段之和菱形两条垂线段之和正方形两条垂线段之和

(1)(2017·眉山期末)如图,菱形ABCD的周长为40,面积为25P是对角线BD上一点,分别作P点到直线ABAD的垂线段PEPF,则PEPF等于________

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变式题(1) 变式题(2)

(2)如图,正方形ABCD的边长为1E为对角线BD上一点且BEBC,点P为线段CE上一动点,且PMBEMPNBCN,则PMPN的值为________

类型二 正方形中利用旋转性解题

  1. 如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC90°ADCDDPABP.若四边形ABCD的面积是18,则DP的长是__________

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5.如图,在正方形ABCD中,点EF分别在BCCD上,∠EAF45°.求证:SAEFSABESADF.

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6.如图,在正方形ABCD中,对角线ACBD交于点OP为正方形ABCD外一点,且BPCP,连接OP.

求证:BPCPOP.

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参考答案与解析

  1.  解析:如图,过点QQEACAB于点E,则PQPE.DPPQDPPE.当点DPE三点共线的时候DPPQDPPEDE最小,且DE即为所求.当DEAB时,DE最小.∵四边形ABCD是菱形,∴ACBDOAAC4OBBD3,∴AB5.S菱形ABCDAC·BDAB·DE,∴×8×6DE,∴DE.DPPQ的最小值为.

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26 解析:如图,设BEAC交于点P,连接BD.BD关于AC对称,∴PDPB,∴PDPEPBPEBE,即PACBE的交点时,PDPE最小,为BE的长度.∵正方形ABCD的边长为6,∴AB6.又∵△ABE是等边三角形,∴BEAB6.故所求最小值为6.故答案为6.

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  1.  解析:∵四边形ABCD为矩形,∴∠ABC90°.AB6BC8,∴AC10,∴OBOCAC5.如图,连接OP,∵SOBPSOCPSOBC,∴+=SOBC,∴+=SOBC.SOBCS矩形ABCDAB·BC×6×812,∴+=12,∴PEPF.

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【变式题】(1) 解析:∵菱形ABCD的周长为40,面积为25,∴ABAD10SABD.连接AP,则SABDSABPSADP,∴×10(PEPF)=,∴PEPF.

(2) 解析:连接BP,过点EEHBCH.SBPESBPCSBEC,∴+=.又∵BEBC,∴+=,即PMPNEH.∵△BEH为等腰直角三角形,且BEBC1,∴EH=,∴PMPNEH.

43

5.证明:延长CB到点H,使得HBDF,连接AH.四边形ABCD是正方形,∴∠ABH=∠D90°ABAD.∴△ADF绕点A顺时针旋转90°后能和△ABH重合,∴AHAF,∠BAH=∠DAF.∵∠HAE=∠HAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE90°-∠EAF90°45°45°,∴∠HAE=∠EAF45°.又∵AEAE,∴△AEF与△AEH关于直线AE对称,∴SAEFSAEHSABESABHSABESADF.


6.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴OBOC,∠BOC90°.将△OCP顺时针旋转90°至△OBE(如图所示),∴OEOPBECP,∠OBE=∠OCP,∠BOE=∠COP.BPCP,∴∠BPC90°.∵∠BOC+∠OBP+∠BPC+∠OCP360°,∴∠OBP+∠OCP180°,∴∠OBP+∠OBE180°,∴EBP在同一直线上.∵∠POC+∠POB=∠BOC90°,∠BOE=∠COP,∴∠BOE+∠POB90°,即∠EOP90°.RtEOP中,由勾股定理得PE===OP.PEBEBPBECP,∴BPCPOP.

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