第19章检测卷
时间：120分钟 满分：150分
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一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．在平行四边形ABCD中，∠A＝65°，则∠D的度数是( )
A．105° B．115° C．125° D．65°
2．若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数是( )
A．9 B．8 C．7 D．6
3．下列说法正确的是( )
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
4．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点．若EF＝3，则菱形ABCD的周长是( )
A．12 B．16 C．20 D．24
第4题图 第5题图 第6题图
5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，∠AOD＝120°，则AD的长为( )
A．3 B．3 C．6 D．3
6．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E，F，则四边形ABCD一定是( )
A．正方形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形
7．正方形和下列边长相同的正多边形地砖组合中，不能够铺满地面的是( )
A．正三角形 B．正六边形 C．正八边形 D．正三角形和正六边形
8．如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( )
A．△AFD≌△DCE B．AF＝AD C．AB＝AF D．BE＝AD－DF
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是( )
10．如图，正方形ABCD对角线上的两个动点M，N满足AB＝MN，点P是BC的中点，连接AN，PM.若AB＝6，则当AN＋PM的值最小时，线段AN的长度为( )
A．4 B．2 C．6 D．3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点．若AB＝10，则CE＝________．
第11题图 第12题图
12．如图，矩形ABCD的对角线BD的中点为O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OA，已知AB＝5，BC＝12，则四边形ABEO的周长为________．
13．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF的度数为________．
第13题图 第14题图
14．如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则BC的长是________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．如图，点E，F分别为▱ABCD的边BC，AD上的点，且∠1＝∠2.求证：AE＝CF.
16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.求证：BM＝MN.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AC⊥BD，求▱ABCD的面积．
18．如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.
(1)求证：△ACD≌△EDC；
(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，已知正方形ABCD的边长为5，G是BC边上的一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.若DE＝4，求EF的长．
20．如图，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE.
(1)判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
(2)当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？并说明理由．
六、(本题满分12分)
21．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，BE＝DF，连接AF，BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.
七、(本题满分12分)
22．在课外活动中，我们要研究一种四边形——筝形的性质．
定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形(如图①)．
小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．
下面是小聪的探究过程，请补充完整：
(1)根据筝形的定义，写出一种你学过的满足筝形的定义的四边形是________；
(2)通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；
(3)如图②，在筝形ABCD中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝120°，求筝形ABCD的面积．
八、(本题满分14分)
23．如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使点B落在边AD上的点E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于点F，连接BF.
(1)求证：四边形BFEP为菱形；
(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时(如图②)，求菱形BFEP的边长；
②若限定点P、Q分别在边BA、BC上移动，求点E在边AD上移动的最大距离．
参考答案与解析
1．B 2.B 3.D 4.D 5.B 6.C 7.B 8.B 9.B
B 解析：如图，取CD的中点E，连接NE，PE.∵AB＝MN，AB＝6，∴MN＝3.∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝BC＝CD＝AB＝6，∠C＝∠ADC＝90°.∵点P是BC的中点，点E是CD的中点，∴CP＝BC＝3，CE＝DE＝CD＝3，PE∥BD，∴PE＝＝3，∴PE＝MN，∴四边形PMNE是平行四边形，∴PM＝EN，∴AN＋PM＝AN＋NE.连接AE，交BD于点N′，则AE的长即为AN＋PM的最小值．∵四边形ABCD是正方形，∴点N′到AD和CD的距离相等，∴S△ADN′∶S△EDN′＝AD∶DE＝2∶1.又∵△ADN′的边AN′和△EDN′的边EN′上的高相等，∴AN′∶N′E＝2∶1.∵AE＝＝＝3，∴AN′＝AE＝×3＝2.即当AN＋PM的值最小时，线段AN的长度为2.故选B.
11．5 12.20
13．75° 解析：连接BF.∵四边形ABCD是菱形，且菱形是轴对称图形，∴∠BAC＝∠BAD＝×70°＝35°，∠CBF＝∠CDF，AD∥BC，∴∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－70°＝110°.∵EF垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠ABF＝∠BAC＝35°，∴∠CBF＝∠ABC－∠ABF＝110°－35°＝75°，∴∠CDF＝∠CBF＝75°.
14．2或1 解析：如图①，过点A作AN∥BC交BD于点E，过点B作BT⊥EC于点T.当四边形ABCE为平行四边形时，∵AB＝BC，∴四边形ABCE是菱形，∴AB∥CE.又∵∠ABC＝150°，∴∠BCE＝30°.在Rt△BCT中，∠BCT＝30°，设BT＝x，则BC＝2x，∴CE＝2x.∵四边形ABCE的面积为2，∴CE·BT＝2，即2x·x＝2，解得x＝1(负值舍去)，∴BC＝2.如图②，当四边形BEDF是平行四边形时，∵BE＝BF，∴四边形BEDF是菱形．∵∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝150°，∴∠ADC＝30°，∴∠ADB＝∠BDC＝15°.∵BE＝DE，∴∠EBD＝∠ADB＝15°，∴∠AEB＝30°.在Rt△ABE中，设AB＝y，则BE＝2y，∴DE＝2y.∵四边形BEDF的面积为2，∴DE·AB＝2，即2y2＝2，解得y＝1(负值舍去)，∴BC＝AB＝1.综上所述，BC的长为2或1.
15．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D.又∵∠1＝∠2，∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF.(8分)
16．证明：∵在△CAD中，M，N分别是AC，CD的中点，∴MN＝AD.(4分)∵在Rt△ABC中，M是AC的中点，∴BM＝AC.∵AC＝AD，∴BM＝MN.(8分)
17．(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC.∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO.(2分)在△AOD和△COB中，∵∴△AOD≌△COB，∴OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形．(4分)
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，(6分)∴S▱ABCD＝AC·BD＝24.(8分)
18．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°.由平移的性质得DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，∴AD＝CE，∠ADC＝∠DCE.在△ACD和△EDC中，∵∴△ACD≌△EDC(SAS)．(4分)
(2)解：△BDE是等腰三角形．(5分)理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD.由平移的性质得DE＝AC，∴BD＝DE，∴△BDE是等腰三角形．(8分)
19．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAG＋∠DAG＝90°.∵DE⊥AG，∴∠DEA＝∠DEF＝90°，∴∠ADE＋∠DAG＝90°，∴∠ADE＝∠BAG.∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEF＝90°＝∠DEA.(4分)在△ADE和△BAF中，∵∴△ADE≌△BAF(AAS)，∴AF＝DE＝4.(6分)∵在Rt△ADE中，AD＝5，DE＝4，∴AE＝＝＝3，∴EF＝AF－AE＝4－3＝1.(10分)
20．解：(1)四边形EFGH为平行四边形．(1分)理由如下：∵在△ABC中，E，F分别是边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC.同理可得GH∥AC，GH＝AC，(3分)∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形．(5分)
(2)当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．(7分)理由如下：∵E，F，H分别是边AB，BC，DA的中点，∴EH＝BD，EH∥BD，EF＝AC，EF∥AC.∵AC＝BD，则有EH＝EF.由(1)可知四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，∴EF⊥EH，∴∠FEH＝90°，∴四边形EFGH为正方形．(10分)
21．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BE∥DF.又∵BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形．(5分)
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB∥DC，∴∠DFA＝∠FAB.由(1)可知四边形BFDE是矩形，∴∠BFD＝90°，∴∠BFC＝90°.在Rt△BCF中，由勾股定理得BC＝＝＝5，(8分)∴AD＝BC＝5.∵DF＝5，∴AD＝DF，∴∠DAF＝∠DFA，∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB.(12分)
22．解：(1)菱形(或正方形)(2分)
(2)它是一个轴对称图形；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线(写出其中的两条即可)．(3分)选取“一组对角相等”进行证明．证明如下：
已知：四边形ABCD是筝形．求证：∠B＝∠D.
证明：连接AC.∵四边形ABCD是筝形，∴AB＝AD，CB＝CD.又∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠B＝∠D.(7分)
(3)连接AC，易知S筝形ABCD＝2S△ABC.过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，则∠E＝90°.(8分)∵∠ABC＝120°，∴∠EBC＝60°，∴∠ECB＝30°.又∵BC＝2，∴BE＝1，∴CE＝＝.∴S筝形ABCD＝2S△ABC＝2×AB·CE＝2××4×＝4.(12分)
23．(1)证明：由折叠可得BP＝EP，∠BPF＝∠EPF.又∵PF＝PF，∴△PBF≌△PEF，∴BF＝EF.(2分)∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP，∴∠EPF＝∠EFP，∴EP＝EF，∴BP＝BF＝EF＝EP，∴四边形BFEP为菱形．(4分)
(2)解：①∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°.由折叠可得BP＝EP，CE＝BC＝5cm.在Rt△CDE中，DE＝＝＝4(cm)，∴AE＝AD－DE＝5－4＝1(cm)．设BP＝EP＝xcm，则AP＝(3－x)cm.在Rt△APE中，由勾股定理得EP2＝AE2＋AP2，即x2＝12＋(3－x)2，解得x＝，∴菱形BFEP的边长为cm.(10分)
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm.如图，当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm.3－1＝2(cm)，∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm.(14分)
