第18章检测卷
时间：120分钟 满分：150分
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一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．设直角三角形的两条直角边的长分别为a和b，斜边长为c，已知b＝12，c＝13，则a的值为( )
A．1 B．5 C．10 D．25
2．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是( )
A．1，， B．6，8，10
C．5，12，13 D.，2，
3．如图，点P是平面坐标系内一点，则点P到原点的距离是( )
A．3 B. C. D.
第3题图 第4题图
4．如图，已知AB⊥CD，△ABD，△BCE都是等腰直角三角形．如果CD＝7，BE＝3，那么AC的长为( )
A．8 B．5 C．3 D．4
5．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为( )
A．60海里 B．45海里
C．20海里 D．30海里
第5题图 第6题图
6．如图是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A，B，C，D表示的是公路上的四辆车．若OC＝8m，AC＝17m，AB＝5m，BD＝10m，则C，D两辆车之间的距离为( )
A．5m B．4m C．3m D．2m
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为( )
A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．无法计算
第7题图 第8题图
8．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线AC上的D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为( )
A. B．3 C．1 D.
9．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4.若用x，y表示直角三角形的两直角边长(x>y)，下列四个说法：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9.其中正确的说法是( )
A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④
第 9题图 第10题图
10．如图，已知等腰直角三角形ABC的各顶点分别在直线l1，l2，l3上，且l1∥l2∥l3，l1，l2间的距离为1，l2，l3间的距离为3，则AB的长度为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝1，∠B＝30°，那么AB＝________，BC＝________．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BA＝15，AC＝12，以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是________．
第12题图 第13题图 第14题图
13．《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文：有一根竹子原高一丈(1丈＝10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？我们用线段OA和线段AB来表示竹子，其中线段AB表示竹子折断部分，线段OB表示竹梢触地面处与竹根的距离，则竹子折断处离地面的高度OA是________尺．
14．如图，一只蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它爬行的路径是最短的，那么最短距离为________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．已知a，b，c为一个直角三角形的三边长，且有＋(b－2)2＝0，求直角三角形的斜边长．
16．如图，有一块边长为40米的正方形绿地ABCD，在绿地的边BC上的E处装有健身器材，BE＝9米．有人为了走近路，从A处直接踏过绿地到达E处，小明想在A处树立一个标牌“少走■米，踏之何忍”．请你计算后帮小明在标牌的■处填上适当的数．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)线段AB的长为________，BC的长为________，CD的长为________；
(2)连接AC，通过计算说明△ACD和△ABC各是什么特殊三角形．
18．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，CD＝5，AD＝3，求四边形ABCD的面积．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，以等腰直角三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1……如此作下去，若OA＝OB＝1.
(1)A1B＝________，S△A1B1A2＝________；
(2)试猜想第n个等腰直角三角形的面积Sn.
20．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等．求E站应建在距点A多远处．
六、(本题满分12分)
21．如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，点D在AB上，且BD＝CD，求△BDC的面积．
七、(本题满分12分)
22．葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线——螺旋前进的．
通过阅读以上信息，解决下列问题：
(1)若树干的周长(即图中圆柱的底面周长)为30cm，葛藤绕一圈升高(即圆柱的高)40cm，则它爬行一圈的路程是多少？
(2)若树干的周长为80cm，葛藤绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？
八、(本题满分14分)
23．定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．
数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒(每根长度记为1个单位长度)中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．
小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；
小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；
小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．
(1)请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；
(2)你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”？如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．
①摆出等边“整数三角形”；
②摆出一个非特殊(既非直角三角形，也非等腰三角形)“整数三角形”．
参考答案与解析
1．B 2.D 3.A 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A
9．B 解析：由题意得两式相减得2xy＝45，∴2xy＋4＝49，x2＋2xy＋y2＝94，∴(x＋y)2＝94，∴x＋y＝.∵(x－y)2＝4，x＞y，∴x－y＝2，∴①②③正确，④错误．故选B.
10．D 解析：过点A作AD⊥l3于点D，过点B作BE⊥l3于点E，则AD＝1＋3＝4，BE＝3，∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE.在△ADC和△CEB中，∵∴△ADC≌△CEB，∴CD＝BE＝3.在Rt△ADC中，由勾股定理得AC＝＝5.∴BC＝AC＝5，∴AB＝＝5.故选D.
11．2 12. 13.4.55
14．2 解析：将正方体表面按如图展开，连接AB，此时蚂蚁运动的路径AB最短．易知AD＝2×3＝6，BD＝2，则最短距离AB＝＝2.
15．解：∵＋(b－2)2＝0，∴a－3＝0，b－2＝0，解得a＝3，b＝2.(3分)①以a为斜边长时，斜边长为3；(5分)②以a，b为直角边的长时，斜边长为＝.(7分)综上所述，直角三角形的斜边长为3或.(8分)
16．解：∵正方形ABCD的边长为40米，∴AB＝40米，∠B＝90°.在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝＝＝41(米)．(4分)∵AB＋BE＝40＋9＝49(米)，∴少走的路程为49－41＝8(米)，∴标牌的■处填的数是8.(8分)
17．解：(1) 5 2(3分)
(2)∵AC＝＝2，AD＝＝2，∴AC＝AD，∴△ACD是等腰三角形．(5分)∵AB2＋AC2＝()2＋(2)2＝5＋20＝25＝BC2，∴△ABC是直角三角形．(8分)
18．解：连接AC.在Rt△ABC中，AC＝＝＝2.(2分)∵AC2＋CD2＝(2)2＋52＝45＝(3)2＝AD2，∴∠ACD＝90°，(4分)∴S四边形ABCD＝AB·BC＋AC·CD＝×2×4＋×2×5＝4＋5.(8分)
19．解：(1)2(2分) 4(4分)
(2)∵OA＝OB＝1，∠AOB＝90°，∴AB＝，S1＝×1×1＝＝2－1.∵AA1＝AB＝，∠A1AB＝90°，∴A1B＝2，S2＝××＝1＝20.∵BB1＝A1B＝2，∠A1BB1＝90°，∴A1B1＝2，S3＝×2×2＝2＝21.∵A2A1＝A1B1＝2，∠A2A1B1＝90°，∴A2B1＝4，S4＝×2×2＝4＝22.由此可猜想Sn＝2n－2.(10分)
20．解：设AE＝xkm，则BE＝(25－x)km.(2分)在Rt△ADE中，由勾股定理得DE2＝AD2＋AE2＝102＋x2.在Rt△BCE中，由勾股定理得CE2＝BC2＋BE2＝152＋(25－x)2.(6分)由题意可知DE＝CE，即102＋x2＝152＋(25－x)2，解得x＝15.(9分)
答：E站应建在距点A15km处．(10分)
21．解：∵AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°.(3分)设BD＝CD＝xcm，则AD＝(8－x)cm.(5分)在Rt△ADC中，由勾股定理得AD2＋AC2＝CD2，即(8－x)2＋62＝x2，解得x＝，即BD＝cm.(9分)∴S△BDC＝BD·AC＝××6＝(cm2)．(12分)
22．解：(1)如图为圆柱侧面沿AB剪开的展开图．(1分)圆柱的底面周长为30cm，即AC＝30cm，高为40cm，即CD＝40cm，∴AD＝＝50cm.(5分)
答：它爬行一圈的路程是50cm.(6分)
(2)树干的周长为80cm，即AC＝80cm，绕一圈爬行100cm，即AD＝100cm，∴绕一圈上升的高度CD＝＝60cm.(10分)∴树干的高为60×10＝600(cm)＝6(m)．(11分)
答：树干高6m.(12分)
23．解：(1)小颖摆出如图①所示的“整数三角形”，(4分)
小辉摆出如图②所示三个不同的等腰“整数三角形”．(10分)
(2)①不能摆出等边“整数三角形”．理由如下：设等边三角形的边长为a，易得等边三角形的面积为a2.若边长a为整数，那么面积a2一定是非整数．所以不存在等边“整数三角形”．(12分)
②能摆出一个非特殊“整数三角形”，如图③所示．(14分)
