【330713】第一章 三角形的证明 周周测1（1.1）

2018年北师大版八年级数学下册1.1《等腰三角形》综合训练题

一、选择题

1．在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝70°.在 △ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )

A．7条　　 B．8条　 　C．9条　 　D．10条

2. 如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°， 则∠C的度数为( )

A．35° B．40° C．45° D．50°

3. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD等于( )

A．36° B．54° C．18° D．64°

4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是( )

A．∠B＝∠C B．AD⊥BC

C．∠BAD＝∠CAD＝∠C D．BD＝CD

5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为( )

A．35° B．45° C．55° D．60°

6. 如图，在△P AB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为( )

A． 44° B．66° C．88° D．92°

7. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝CD，则下列结论错误的是( )

A．AB＝AC B．AD平分 ∠BAC C．AB＝BC D．∠BAC＝90°

8. 如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数 为( )

A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°

9. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是( )

A．6 B．3 C．2.5 D．2

10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(　　)

[来源:学科网ZXXK]

A．5　　 B．6　　 C．8　　 D．10

二、填空题

11. 如图，在△ABC中，∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝____． [来源:学.科.网]

12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D.

(1)若∠BAC＝80°，则∠BAD＝____； [来源:学§科§网Z§X§X§K]

(2)若AB＋CD＝12 cm，则△ABC的周长为____ cm.

13. 如图，已知直线l₁∥l₂，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于____．

14. 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP₁＝P₁P₂＝P₂P₃＝…＝P₁₃P₁₄＝P₁₄A，则∠A的度数是____．

三、解答题[来源:Zxxk.Com]

15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在边AB，AC上，AM＝2MB，AN＝2NC，求证：DM＝DN.

16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB.AE＝CE，求证：

(1)△AEF≌△CEB；

(2)AF＝2CD.

17. 如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，点F是CD的中点． 求证：AF⊥CD.

18. 在△ABC中，∠C是最小内角．若过顶点B的一条直线把这个三 角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个 为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，△ABC中，∠A＝90°，∠C＝20°， 若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线．

(1)如图2，△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°.请在图中画出△ABC关于点B的伴侣分割线，并注明角度；

(2)△ABC 中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x.试探索y与x应满足什么要求时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．

19. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)

20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD是∠ABC的平分线，CE⊥BD，垂足是E，BA和CE的延长线交于点F.

(1 ) 在图中找出与△ABD全等的三角形，并证明你的结论；

(2) 证明：BD＝2EC.

[来源:学科网ZXXK]

参考答案

1.B 2.A 3.B 4.C 5.C 6.D 7.C 8.D 9.C 10.C

11.3 12.40° 24 13.20° 14.12°

15.证明：∵AM=2MB，AN=2NC，AB=AC，
∴AM=AN，
∵AD平分∠BAC，
∴∠MAD=∠NAD，
在△AMD与△AND中，

∴△AMD≌△AND（SAS），
∴DM=DN．

16.证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠CFD=∠B，
∵∠CFD=∠AFE，
∴∠AFE=∠B
在△AEF与△CEB中，

∴△AEF≌△CEB（AAS）；
（2）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2CD，
∵△AEF≌△CEB，
∴AF=BC，
∴AF=2CD．

17.证明：如图，连接AC，AD，
在△ABC和△AED中，

∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC=AD，
∵点F是CD的中点，
∴AF⊥CD．

18.解：（1）如图所示，BD即为△ABC关于点B的伴侣分割线；

（2）设BD为△ABC的伴侣分割线，分两种情况：
①△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，
易知∠C和∠DBC必为底角，
∴∠DBC=∠C=x．
当∠A=90°时，△ABC存在伴侣分割线，
此时y=90°-x，
当∠ABD=90°时，△ABC存在伴侣分割线，
此时y=90°+x，
当∠ADB=90°时，△ABC存在伴侣分割线，
此时x=45°且90°≥y＞45°；
②△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，
当∠DBC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线，
此时180°-x-y=y-90°，

当∠BDC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线，
此时∠A=45°，
∴y=135°-x．
综上所述，当y=90°-x，或y=90°+x，或x=45°且y＞x且90°≥y＞45°，或

或y=135°-x时，△ABC存在伴侣分割线．

19.解：满足条件的所有图形如图所示：


共5个．

20.证明：（1）△ABD≌△ACF．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠FAC=∠BAC=90°，
∵BD⊥CE，∠BAC=90°，
∴∠ADB=∠EDC，
∴∠ABD=∠ACF，
∵在△ABD和△ACF中，

∴△ABD≌△ACF（ASA）.

（2）∵△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵BD⊥CE，
∴∠BEF=∠BEC，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠FBE=∠CBE，
∵在△FBE和△CBE中，

∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴EF=EC，
∴CF=2CE，
∴BD=2CE．