第十七章达标检测卷
一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)
1．在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝6，则AC的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是边AB上的中线且AB＝10，CD的长为( )
A．10 B．8 C．5 D．6
3．三角形的三边长分别为a，b，c，且满足等式：(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论不一定正确的是( )
A．∠B＝∠C B．AB＝2BD
C．∠1＝∠2 D．AD⊥BC
5．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则图中与∠ABD互余的角有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．用反证法证明“在一个三角形中不能有两个内角为直角”，首先应假设( )
A．在一个三角形中有两个内角为直角
B．在一个三角形中至少有两个内角为直角
C．所有的三角形中不能有两个内角为直角
D．一个三角形中有三个内角是直角
7．一艘轮船以16海里/时的速度离开A港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距( )
A．6海里 B．24海里 C．30海里 D．42海里
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是( )
A．18° B．24° C．30° D．36°
9．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，则下列条件中不能判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AB＝DE，AC＝DF
B．AC＝EF，BC＝DF
C．AB＝DE，BC＝EF
D．∠C＝∠F，BC＝EF
10．若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )
A．50° B．100°
C．80°或50° D．80°或100°
11．如图，过等边三角形ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是( )
A．100° B．80°
C．60° D．40°
12．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生”出两个小正方形，如图①，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了图②，如果继续“生长”下去 ，它将变得“枝繁叶茂”，则“生长”了2 023次后形成的图形中所有正方形的面积和是( )
A．2 021 B．2 022 C．2 023 D．2 024
13．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，DE是AB的垂直平分线，线段DE＝1 cm，则BC的长度为( )
A．8 cm B．4 cm C．6 cm D．10 cm
14．如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( )
A． B． C．4 D．5
1
5．如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于点D，则DE的长为( )
A． B． C． D．不能确定
1
6．如图，圆柱的底面周长为6
cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6
cm，点P是BC上一点，且PC＝BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬行到点P的最短路程是( )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
二、填空题(17，18题每题3分，19题4分，共10分)
17．如图，∠MAN＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠FEM＝________．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝32，BC＝24，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则AE的长是________．
19．如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长为1，以它的斜边AC为直角边画第二个等腰直角三角形ACD，再以斜边AD为直角边画第三个等腰直角三角形ADE，…，依此类推，AC长为，AD长为2，第4个等腰直角三角形斜边AF的长为________，则第n个等腰直角三角形斜边的长为________．
三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题12分，共68分)
20．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE.求证：AB＝AC.
21．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
22．如图，对角线AB把四边形ACBE分为△ABC和△ABE两部分，如果△ABC中BC边上的高和△ABE中BE边上的高相等，且AC＝AE.
(1)在原图上画出△ABC中BC边上的高AD与△ABE中BE边上的高AF.
(2)请你猜想BC与BE的数量关系，并证明．
23．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，M为AB边的中点，连接ME，MD，ED.求证：
(1)△MED为等腰三角形．
(2)∠EMD＝2∠DAC.
24．如图，在铁路CD同侧有两个村庄A，B，它们到铁路的距离分别是15 km和10 km，作AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且CD＝25 km.已知铁路旁有一个农副产品收购站E，且AE＝BE，求CE的长．
25．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(P与A，C不重合)，Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q与B不重合)，过P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D.
(1)当∠BQD＝30°时，求AP的长．
(2)运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．
26．如图①，在等腰直角三角形BCD中，∠BDC＝90°， BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF，连接AC.
(1)求证：△FBD≌△ACD.
(2)延长BF交AC于点E，且BE⊥AC，求证：CE＝BF.
(3)在(2)的条件下，H是BC边的中点，连接DH，与BE相交于点G，如图②. 试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并证明你的结论．
答案
一、1．D 2．C 3．B 4．B 5．A 6．A
7．C 点拨：根据两船各自行驶的方位角可知两船行驶的方向互相垂直，根据勾股定理可得两船之间的距离为＝30(海里)．
8．A 9．B
10．C 点拨：这个50°角可能是顶角也可能是底角，当50°角是底角时，顶角度数为180°－50°×2＝80°，所以顶角度数为80°或50°.
11．A
12．D 点拨：根据勾股定理和正方形的面积公式，可知以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积．
13．C
14．C 点拨：设BN＝x，由折叠的特点可得DN＝AN＝9－x.因为D是BC的中点，所以BD＝3.在Rt△BDN中，x2＋32＝(9－x)2，解得x＝4.
15．B 16．C
二、17．75° 点拨：∠FEM＝∠EFA＋∠A＝∠EDF＋∠A＝∠DEA＋2∠A＝∠DCE＋2∠A＝∠CDA＋3∠A＝∠CBD＋3∠A＝5∠A＝75°.
18．25 19．4；()n
三、20．证明：∵AD＝AE，
∴∠ADC ＝∠AEB(等边对等角)，
∴∠ADB ＝∠AEC(等角的补角相等)．
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AB＝AC.
21．解：在△ABC中，∠A＝70°，CE，BF是两条高，
∴∠EBF＝20°，∠ECA＝20°.
又∵∠BCE＝30°，∴∠ACB＝50°，
∴在Rt△BCF中，∠FBC＝40°.
22．解：(1)画出高AD，AF，如图所示．
(2)猜想：BC＝BE.证明如下：
∵AD⊥BC，AF⊥BE，
∴△ACD，△AEF，△ABD，△ABF都是直角三角形．
在Rt△ACD和Rt△AEF中，
∴Rt△ACD≌Rt△AEF(HL)．
∴CD＝EF(全等三角形的对应边相等)．
在Rt△ABD和Rt△ABF中，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF(全等三角形的对应边相等)．
∴BD－CD＝BF－EF(等式的性质)，即BC＝BE.
23．证明：(1)∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴ME＝AB，MD＝AB.
∴ME＝MD.∴△MED为等腰三角形．
(2)∵ME＝AB＝MA，
∴∠MAE＝∠MEA.
∴∠BME＝2∠MAE.
∵MD＝AB＝MA，
∴∠MAD＝∠MDA.
∴∠BMD＝2∠MAD.
∴∠EMD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝2∠DAC.
24．解：在Rt△ACE中，根据勾股定理，得AC2＋CE2＝AE2.在Rt△BDE中，根据勾股定理，得BD2＋DE2＝BE2.∵AE＝BE，∴AE2＝BE2，即AC2＋CE2＝BD2＋DE2.设CE＝x km，则152＋x2＝102＋(25－x)2，解得x＝10.∴CE＝10 km.
25．解：(1)如图，过P作PF∥QC，则△AFP是等边三角形，∠DQB＝∠DPF.
∴AP＝FP＝AF.∵P，Q同时出发，速度相同，即BQ＝AP.∴BQ＝FP.
又∵∠BDQ＝∠FDP，∴△DBQ≌△DFP，∴BD＝FD.易知∠BDQ＝∠FDP＝∠FPD＝∠BQD＝30°，
∴DF＝FP＝AF.∴BD＝DF＝FA＝AB＝×6＝2.∴AP＝2.
(2)ED的长没有发生变化．由(1)知BD＝DF，而△APF是等边三角形，PE⊥AF，∴AE＝EF，又DE＋(BD＋AE)＝AB＝6，∴DE＋(DF＋EF)＝6，即DE＋DE＝6，∴DE＝3.
26．(1)证明：∵△BCD是等腰直角三角形，且∠BDC＝90°，∴BD＝CD，∠BDC＝∠CDA＝90°.
在△FBD和△ACD中，
∴△FBD≌△ACD(SAS)．
(2)证明：∵BE⊥AC，
∴∠BEA＝∠BEC＝90°.
∵BF平分∠DBC，
∴∠ABE＝∠CBE.
又∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE(ASA)，
∴AE＝CE.∴CE＝AC.
由(1)知△FBD≌△ACD，
∴BF＝CA，∴CE＝BF.
(3)解：BG2＝GE2＋CE2.证明如下：连接CG，∵H是BC边的中点，BD＝CD，
∴HD垂直平分BC，∴BG＝CG(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)．∵BE⊥AC，
∴在Rt△CEG中，CG2＝GE2＋CE2，∴BG2＝GE2＋CE2.
点拨：本题综合考查全等三角形的判定与性质及通过添加辅助线利用勾股定理解决问题．