【330650】第十八章 平行四边形周周测9（全章）

第十八章 平行四边形周周测 9

一 选择题

下列命题中,真命题是（ ）

A．对角线相等的四边形是矩形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线互相平分的四边形是平行四边形

D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

下列命题中，不正确的是（　　）

A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

B.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形

C.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形

D.对角线相等的菱形是正方形

已知▱ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（　　）

A．4 B．12 C．24 D．28

如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F,若BF=12,AB=10,则AE的长为（ ）

A．13 B．14 C．15 D．16

如图,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕l交CD边于点E,连接BE.若BE平分∠ABC,且AB=5,BE=4,则AE=（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F 为垂足，AE=ED ，则∠EBF等于( )

A．75° B．60° C．50° D．45°

如图,在△ABC中,AB=5，BC=6,AC=7,点D,E,F分别是△ABC三边的中点，则△DEF周长为（ ）

A．9 B．10 C．11 D．12

如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为(　　)

A．4 B．2.4 C．4.8 D．5

某校的校园内有一个由两个相同的正六边形(边长为2.5m)围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为(　　)

A．20m B．25m C．30m D．35m

如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边的正方形ACEF的周长为(　　)

A．14 B．15 C．16 D．17

如图，菱形ABCD的对角线相交于坐标原点，点A的坐标为(a，2)，点B的坐标为(﹣1，﹣ )，点C的坐标为(2 ，c)，那么a，c的值分别是(     )

A．a=﹣1，c=﹣ B．a=﹣2 ，c=﹣2 C．a=1，c= D．a=2 ，c=2

如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,且CE=DF,AE,BF相交于点O,下列结论:①AE=BF；②AE ⊥BF；③AO=OE；④S_△AOB=S_四边形DEOF中，正确的有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二 填空题

如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是________(写出一个即可).

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别是AB、AC、BC中点，若CD=5，则EF长为    .

如图,在矩形ABCD中,AB=3cm，BC=4cm，点E是BC边上的一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE长为________．

如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是　　 ．

如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为______个.

如图，已知正方形ABCD的边长为10，点P是对角线BD上的一个动点，M、N分别是BC、CD边上的中点，则PM＋PN的最小值是___________．

三 作图题

如图，将四边形ABCD放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A．B、C、D均落在格点上．

（Ⅰ）计算AD²+DC²+CB²的值等于 ；

（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AD²+DC²+CB²，并简要说明画图方法（不要求证明）．

四 解答题

如图，点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形．

（1）试判断四边形ABCD的形状，并加以证明；

（2）若菱形AECF的周长为20，BD为24，试求四边形ABCD的面积．

如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE．求证：AE=CF．

如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．

将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，

（1）求证：四边形AECF为菱形；

（2）若AB=4，BC=8，求菱形的边长；

（3）在（2）的条件下折痕EF的长．

如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过B点作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF

（1）求证：FB=AO；

（2）当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？说明理由．

如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）求证：OE=OF；

（2）若CE=12,CF=5,求OC的长；

（3）当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形？并说明理由．

第十八章 平行四边形周周测 9试题答案

C． B．B. A C； C C； B. C C.  C.

C；B=BF或BE⊥CF或∠EBF=60°或BD=BF(答案不唯一)

5  3或1.5  ．  3 10

解：（1）∵AD²=3²+1²=10，DC²=3²+1²=10，CB²=1²+1²=2，

∴AD²+DC²+CB²=10+10=2=22，故答案为：22；

（2）如图，以AB为边做正方形ABGH，再作平行四边形HMNG，直线MN交AH于点Q，交GB于点P，矩形ABPQ即为所求．理由是：∵S_▱HMNG=2×6﹣2×（ +1+ ×5×1）=4，∴S_矩形HQNG=S_▱HMNG=4，

∵S_正方形ABGH=（ ）²=26，∴S_矩形ABPQ=26﹣4=22，所以画出的矩形ABPQ的面积等于AD²+DC²+CB²．

解：（1）四边形ABCD为菱形．理由如下：如图，连接AC交BD于点O，

∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，

又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，∴BE=FD，∴BO=OD，

∵AO=OC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形；

（2）∵四边形AECF为菱形，且周长为20，∴AE=5，∵BD=24，∴EF=8，OE= EF= ×8=4，

由勾股定理得，AO= = =3，∴AC=2AO=2×3=6，

∴S_四边形ABCD= BD•AC= ×24×6=72．

证明：连接AC交BD于点O，连接AF、CE

∵▱ABCD∴OA=OC，OB=OD ∵OF=BF﹣OB，OE=DE﹣OD,BF=DE∴OE=OF

∵OA=OC，OE=OF ∴四边形AECF是平行四边形∴AE=CF

证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD=CD．

∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE=AD，∴BE=CD，

∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴▱BECD是矩形．

解：（1）∵ED是BC的垂直平分线∴EB=EC，ED⊥BC，∴∠3=∠4，

∵∠ACB=90°，∴FE∥AC，∴∠1=∠5，

∵∠2与∠4互余，∠1与∠3互余∴∠1=∠2，∴AE=CE，

又∵AF=CE，∴△ACE和△EFA都是等腰三角形，∴∠5=∠F，∴∠2=∠F，

∴在△EFA和△ACE中∵∠1=∠5,∠2=∠F,AF=CE，∴△EFA≌△ACE（AAS），

∴∠AEC=∠EAF∴AF∥CE∴四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：

∵∠B=30°，∠ACB=90°∴∠1=∠2=60°∴∠AEC=60°∴AC=EC

∴平行四边形ACEF是菱形．



证明：（1）如图，取BC的中点G，连接EG．

∵E是BO的中点，∴EG是△BFC的中位线，∴EG=0.5BF．同理，EG=0.5OC，∴BF=OC．

又∵点O是▱ABCD的对角线交点，∴AO=CO，∴BF=AO．

又∵BF∥AC，即BF∥AO，∴四边形AOBF为平行四边形，∴FB=AO；

（2）当平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形．理由如下：

∵平行四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∴平行四边形AFBO是菱形．

（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，

∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；

（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，

∵CE=12，CF=5，∴EF= =13，∴OC= EF=6.5；

（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．

证明：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，

∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．