第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
一、选择题
1．下列语句中，不是命题的是( )
A．所有的平角都相等 B．锐角小于90°
C．两点确定一条直线 D．过一点作已知直线的平行线
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A．1，2，3 B．1，1.5，3 C．3，4，8 D．4，5，6
3．若三角形三个内角的度数的比为1∶2∶3，则这个三角形是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．下列命题：①三角形的三个内角中最多有一个钝角；②三角形的三个内角中至少有两个锐角；③有两个内角分别为50°和20°的三角形一定是钝角三角形；④直角三角形中两锐角之和为90°.其中是真命题的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D为AB延长线上一点，且∠CBD＝120°，则∠C的度数为( )
A．40° B．60° C．80° D．100°
6．等腰三角形的周长为13 cm，其中一边长为3 cm，则该等腰三角形的底边长为( )
A．7 cm B．3 cm C．7 cm或3 cm D．8 cm
7.如图，直线l1∥l2，若∠1＝140°，∠2＝70°，则∠3的度数是( )
A．60° B．65° C．70° D．80°
如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是( )
A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACB C．AE＝BE D．CD⊥BE
9．如图，在△ABC中，∠CAB＝52°，∠ABC＝74°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE交于F，则∠AFB的度数是( )
A．126° B．120° C．116° D．110°
如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，点E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，
BD＝2DC，S△BGD＝8，S△AGE＝3，则△ABC的面积是( )
A．25 B．30 C．35 D．40
二、填空题
11．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有________．
12．“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是____________________，它是一个________命题
(填“真”或“假”)．
13．各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有______个．
14．如图，在△ABC中，∠A＝α.∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2，…，∠A6BC与∠A6CD的平分线相交于点A7，得∠A7，则∠A7＝________.
三、解答题
15．在△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠B＝2∠A.
(1)求∠A，∠B，∠C的度数；
(2)△ABC按边分类，属于什么三角形？△ABC按角分类，属于什么三角形？
16．如图，在△ABC中，∠1＝100°，∠C＝80°，∠2＝∠3，BE平分∠ABC.求∠4的度数．
17．填写下面证明中每一步的理由．
如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，D，F是垂足，∠1＝∠2.求证：∠ADG＝∠C.
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC(已知)，
∴∠3＝∠4＝90°(垂直的定义)，
∴BD∥EF( )．
∴∠2＝∠CBD( )．
∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠1＝∠CBD( )，
∴GD∥BC( )，
∴∠ADG＝∠C( )．
18．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，求这个等腰三角形的底边长．
19．如图，已知△ABC.
(1)画△ABC的外角∠BCD，再画∠BCD的平分线CE；
(2)若∠A＝∠B，CE是外角∠BCD的平分线，请判断CE和AB的位置关系，并说明你的理由．
20．已知等腰三角形的三边长分别为a，2a－1，5a－3，求这个等腰三角形的周长．
21．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
(1)∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，求∠BED的度数．
(2)作△BED中BD边上的高，垂足为F.
(3)若△ABC的面积为40，BD＝5，则△BDE中BD边上的高为多少？
22．已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM，OE，ON上的动点(A，B，C不与点O重合)，连接AC交射线OE于点D.设∠OAC＝x°.
(1)如图①，若AB∥ON，则：①∠ABO的度数是________．
②当∠BAD＝∠ABD时，x＝________；当∠BAD＝∠BDA时，x＝________．
(2)如图②，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题
1.D 2.D
3．C 点拨：利用方程思想求解，设三个内角的度数分别为x，2x，3x，则x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°. 3x＝90°. 所以这个三角形是直角三角形．
4．D
5．C 点拨：∵∠CBD是△ABC的外角，∴∠CBD＝∠C＋∠A.又∵∠A＝40°，∠CBD＝120°，
∴∠C＝∠CBD－∠A＝120°－40°＝80°.
6．B 点拨：利用分类讨论思想求解，当3 cm为底边长时，腰长为＝5(cm)，此时三角形三边长分别为3 cm，5 cm，5 cm，符合三边关系，能组成三角形；当3 cm为腰长时，底边长为13－2×3＝7(cm)，此时三角形三边长分别为3 cm，3 cm，7 cm，3＋3<7，不符合三边关系，不能组成三角形．所以底边长只能是3 cm，故选B.
7．C
8．C 点拨：CD是△ABC的高，所以CD⊥BE，D正确；CE是△ABC的角平分线，所以∠ACE＝∠BCE＝∠ACB，B正确；CF是△ABC的中线，AF＝BF＝AB，即AB＝2BF，A正确；故选C.
9．A 点拨：在△ABC中，∠CAB＝52°,∠ABC＝74°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC＝180°－52°－74°＝54°.∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAE＝90°－∠ACB＝90°－54°＝36°.
又∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∴∠AFB＝∠DAE＋∠AEB＝36°＋90°＝126°.
10．B 点拨：在△BDG和△CDG中，由BD＝2DC，知S△BDG＝2S△GDC，因此S△GDC＝4，同理S△AGE＝
S△GEC＝3，S△BEC＝S△BGD＋S△GDC＋S△GEC＝8＋4＋3＝15，所以△ABC的面积＝2S△BEC＝30.故选B.
二、填空题
11.稳定性
12．有两个角是锐角的三角形是直角三角形；假
13．20 点拨：∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：
1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8；6，6，8；6，7，8；6，8，8；7，7，8；7，8，8；8，8，8，故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有20个．
14.
三、解答题
15.解：(1)因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，而∠A＋∠B＝∠C，所以2∠C＝180°，∠C＝90°.所以∠A＋∠B＝90°，而∠B＝2∠A，所以3∠A＝90°，∠A＝30°，∠B＝2∠A＝60°.
(2)△ABC按边分属于不等边三角形．按角分属于直角三角形．
16．解：∵∠1＝∠3＋∠C，∠1＝100°，∠C＝80°，∴∠3＝20°，∵∠2＝∠3，∴∠2＝10°，
∴∠ABC＝180°－100°－10°＝70°.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝35°.∵∠4＝∠2＋∠ABE，
∴∠4＝45°.
17．同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
18．解：设这个等腰三角形的腰长为a，底边长为b.
∵D为AC的中点，
∴AD＝DC＝AC＝a.
根据题意得或
解得或
又∵三边长为10，10，7和8，8，11均可以构成三角形．
∴这个等腰三角形的底边长为7或11.
解：(1)如图．
(2)CE∥AB.理由如下：
∵∠A＝∠B，∴∠BCD＝∠A＋∠B＝2∠B.
又∵CE是∠BCD的平分线，
∴∠BCD＝2∠BCE，
∴∠BCE＝∠B，∴CE∥AB.
20．解：当底边长为a时，2a－1＝5a－3，即a＝，则三边长为，，，不满足三角形三边关系，不能构成三角形；
当底边长为2a－1时，a＝5a－3，即a＝，则三边长为，，，满足三角形三边关系．能构成三角形，此时三角形的周长为＋＋＝2；
当底边长为5a－3时，2a－1＝a，即a＝1，则三边长为2，1，1，不满足三角形三边关系，不能构成三角形．
所以这个等腰三角形的周长为2.
21．(1)∵∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，∴∠BED＝∠ABE＋∠BAD＝15°＋40°＝55°.
(2)如图．
(3)∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线,∴S△ABD＝S△ABC,S△BDE＝S△ABD，∴S△BDE＝×S△ABC＝
S△ABC，∵△ABC的面积为40，∴S△BDE＝×40＝10，∵BD＝5，∴×5·EF＝10，解得EF＝4，
即 △BDE中BD边上的高为4.
22．(1)①20° ②120；60
(2)存在．①当点D在线段OB上时，若∠BAD＝∠ABD，则x＝20.若∠BAD＝∠BDA，则x＝35.
若∠ADB＝∠ABD，则x＝50.
②当点D在射线BE上时，因为∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°，所以只有∠BAD＝∠BDA，此时x＝125，综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x＝20，35，50，125.