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【330544】第13章

时间:2025-02-09 11:37:58 作者: 字数:9447字

13 三角形中的边角关系、命题与证明


一、选择题

1.下列语句中,不是命题的是(  )

A.所有的平角都相等 B.锐角小于90°

C.两点确定一条直线 D.过一点作已知直线的平行线

2.下列长度的三条线段能组成三角形的是(  )

A123 B11.53 C348 D456

3.若三角形三个内角的度数的比为123,则这个三角形是(  )

A.钝角三角形 B.锐角三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形

4.下列命题:①三角形的三个内角中最多有一个钝角;②三角形的三个内角中至少有两个锐角;③有两个内角分别为50°20°的三角形一定是钝角三角形;④直角三角形中两锐角之和为90°.其中是真命题的有(  )

A1 B2 C3 D4

  1. 如图,在△ABC中,∠A40°,点DAB延长线上一点,且∠CBD120°,则∠C的度数为(  )

A40° B60° C80° D100°   

6.等腰三角形的周长为13 cm,其中一边长为3 cm,则该等腰三角形的底边长为(  )

A7 cm B3 cm C7 cm3 cm D8 cm

7.如图,直线l1l2,若∠1140°,∠270°,则∠3的度数是(  )

A60° B65° C70° D80°

  1. 如图,CDCECF分别是△ABC的高、角平分线、中线,则下列各式中错误的是(  )

AAB2BF B.∠ACE=∠ACB CAEBE DCDBE

9.如图,在△ABC中,∠CAB52°,∠ABC74°ADBCBEACADBE交于F,则∠AFB的度数是(  )

A126° B120° C116° D110°

        

  1. 如图,在△ABC中,点DEF分别在三边上,点EAC的中点,ADBECF交于一点G

BD2DCSBGD8SAGE3,则△ABC的面积是(  )

A25 B30 C35 D40



二、填空题

11.如图,生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架,这是因为三角形具有________

12.“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是____________________,它是一个________命题

(填“真”或“假”)

13.各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有______个.

14.如图,在△ABC中,∠Aα.ABC与∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1;∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2,得∠A2,…,∠A6BC与∠A6CD的平分线相交于点A7,得∠A7,则∠A7________.

三、解答题

15.在△ABC中,∠A+∠B=∠C,∠B2A.

(1)求∠A,∠B,∠C的度数;

(2)ABC按边分类,属于什么三角形?△ABC按角分类,属于什么三角形?








16.如图,在△ABC中,∠1100°,∠C80°,∠2=∠3BE平分∠ABC.求∠4的度数.










17.填写下面证明中每一步的理由.

如图,已知BDACEFACDF是垂足,∠1=∠2.求证:∠ADG=∠C.

证明:∵BDACEFAC(已知)

∴∠3=∠490°(垂直的定义)

BDEF(          )

∴∠2=∠CBD(          )

∵∠1=∠2(已知)

∴∠1=∠CBD(      )

GDBC(         )

∴∠ADG=∠C(      )

18.在等腰三角形ABC中,ABAC,一边上的中线BD将这个三角形的周长分为1512两部分,求这个等腰三角形的底边长.








19.如图,已知△ABC.

(1)画△ABC的外角∠BCD,再画∠BCD的平分线CE

(2)若∠A=∠BCE是外角∠BCD的平分线,请判断CEAB的位置关系,并说明你的理由.






20.已知等腰三角形的三边长分别为a2a15a3,求这个等腰三角形的周长.












21.如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线.

(1)ABE15°,∠BAD40°,求∠BED的度数.

(2)作△BEDBD边上的高,垂足为F.

(3)若△ABC的面积为40BD5,则△BDEBD边上的高为多少?





22.已知∠MON40°OE平分∠MON,点ABC分别是射线OMOEON上的动点(ABC不与点O重合),连接AC交射线OE于点D.设∠OACx°.

(1)如图①,若ABON,则:①∠ABO的度数是________

当∠BAD=∠ABD时,x________;当∠BAD=∠BDA时,x________

(2)如图②,若ABOM,则是否存在这样的x的值,使得△ADB中有两个相等的角?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由.


参考答案与试题解析

一、选择题

1.D 2.D

3C 点拨:利用方程思想求解,设三个内角的度数分别为x2x3x,则x2x3x180°,解得x30°. 3x90°. 所以这个三角形是直角三角形.

4D

5C 点拨:∵∠CBD是△ABC的外角,∴∠CBD=∠C+∠A.又∵∠A40°,∠CBD120°

∴∠C=∠CBD-∠A120°40°80°.

6B 点拨:利用分类讨论思想求解,当3 cm为底边长时,腰长为=5(cm),此时三角形三边长分别为3 cm5 cm5 cm,符合三边关系,能组成三角形;当3 cm为腰长时,底边长为132×37(cm),此时三角形三边长分别为3 cm3 cm7 cm33<7,不符合三边关系,不能组成三角形.所以底边长只能是3 cm,故选B.

7C

8C 点拨:CD是△ABC的高,所以CDBED正确;CE是△ABC的角平分线,所以∠ACE=∠BCE=∠ACBB正确;CF是△ABC的中线,AFBFAB,即AB2BFA正确;故选C.

9A 点拨:在△ABC中,∠CAB52°,ABC74°,∴∠ACB180°-∠CAB-∠ABC180°52°74°54°.ADBC,∴∠ADC90°,∴∠DAE90°-∠ACB90°54°36°.

又∵BEAC,∴∠AEB90°,∴∠AFB=∠DAE+∠AEB36°90°126°.

10B 点拨:在△BDG和△CDG中,由BD2DC,知SBDG2SGDC,因此SGDC4,同理SAGE

SGEC3SBECSBGDSGDCSGEC84315,所以△ABC的面积=2SBEC30.故选B.

二、填空题

11.稳定性

12.有两个角是锐角的三角形是直角三角形;假

1320 点拨:∵各边长度都是整数、最大边长为8,∴三边长可以为:

188278288368378388458468478488558568578588668678688778788888,故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有20个.

14.

三、解答题

15.解:(1)因为∠A+∠B+∠C180°,而∠A+∠B=∠C,所以2C180°,∠C90°.所以∠A+∠B90°,而∠B2A,所以3A90°,∠A30°,∠B2A60°.

(2)ABC按边分属于不等边三角形.按角分属于直角三角形.

16.解:∵∠1=∠3+∠C,∠1100°,∠C80°,∴∠320°,∵∠2=∠3,∴∠210°

∴∠ABC180°100°10°70°.BE平分∠ABC,∴∠ABE35°.∵∠4=∠2+∠ABE

∴∠445°.

17.同位角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等;等量代换;内错角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等

18.解:设这个等腰三角形的腰长为a,底边长为b.

DAC的中点,

ADDCACa.

根据题意得或

解得或

又∵三边长为101078811均可以构成三角形.

这个等腰三角形的底边长为711.

  1. 解:(1)如图.

(2)CEAB.理由如下:

∵∠A=∠B,∴∠BCD=∠A+∠B2B.

又∵CE是∠BCD的平分线,

∴∠BCD2BCE

∴∠BCE=∠B,∴CEAB.

20.解:当底边长为a时,2a15a3,即a=,则三边长为,,,不满足三角形三边关系,不能构成三角形;

当底边长为2a1时,a5a3,即a=,则三边长为,,,满足三角形三边关系.能构成三角形,此时三角形的周长为++=2

当底边长为5a3时,2a1a,即a1,则三边长为211,不满足三角形三边关系,不能构成三角形.

所以这个等腰三角形的周长为2.


21(1)∵∠ABE15°,∠BAD40°,∴∠BED=∠ABE+∠BAD15°40°55°.

(2)如图.

(3)AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线,SABDSABC,SBDESABD,∴SBDE×SABC

SABC,∵△ABC的面积为40,∴SBDE×4010,∵BD5,∴×5·EF10,解得EF4

BDEBD边上的高为4.

22(1)20° ②12060

(2)存在.①当点D在线段OB上时,若∠BAD=∠ABD,则x20.若∠BAD=∠BDA,则x35.

若∠ADB=∠ABD,则x50.

当点D在射线BE上时,因为∠ABE110°,且三角形的内角和为180°,所以只有∠BAD=∠BDA,此时x125,综上可知,存在这样的x的值,使得△ADB中有两个相等的角,且x203550125.