第12章 一次函数
一、填空题
1．关于x轴对称的点的坐标为 ，关于y轴对称的点的坐标为 ，关于原点对称的坐标为 ．
2．点B（﹣5，﹣2）到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 ，到原点的距离是 ．
3．以点（3，0）为圆心，半径为5的圆与x轴交点坐标为 ，与y轴交点坐标为 ．
4．点P（a﹣3，5﹣a）在第一象限内，则a的取值范围是 ．
5．小华用500元去购买单价为3元的一种整体商品，剩余的钱y（元）与购买这种商品的件数x（件）之间的函数关系是 ，x的取值范围是 ．
6．已知，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（0，2），且y随x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式： ．
7．一次函数y=（k﹣1）x+k+1经过一、二、四象限，则k的取值范围是 ．函数y=﹣2x+4的图象经过 象限，它与两坐标轴围成的三角形面积为 ．
8．一次函数y=kx+b的图象经过点（1，5），交y轴于（0，3），则k= ，b= ．
9．若点（m，m+3）在函数y=﹣x+2的图象上，则m= ．
10．y与3x成正比例，当x=8时，y=﹣12，则y与x的函数解析式为 ．
11．函数y=﹣x的图象是一条过原点及（2， ）的直线，这条直线经过第 象限，当x增大时，y随之 ．
12．函数y=2x﹣4，当x ，y＜0．
13．若函数y=4x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为6，那么b= ．
14．已知函数y=（m﹣1）
+1是一次函数，则m= ．
15．如图，某公用电话亭打电话时，需付电话费y（元）与通话时间x（min）之间的函数关系式用图象表示为折线，小文打了2分钟，需付费 元，小文打了8分钟付费 元．
（第15题图）
16．已知一次函数y=kx﹣1，请你补充一个条件 ，使函数图象经过第二、三、四象限．
二、选择题
17．下列说法正确的是（ ）
A．正比例函数是一次函数
B．一次函数是正比例函数
C．正比例函数不是一次函数
D．不是正比例函数就不是一次函数
18．下面两个变量是成正比例变化的是（ ）
A．正方形的面积和它的边长
B．变量x增加，变量y也随之增加
C．矩形的一组对边的边长固定，它的周长和另一组对边的边长
D．圆的周长与它的半径
19．直线y=kx+b经过一、二、四象限，则k，b应满足（ ）
A．k＞0，b＜0 B．k＞0，b＞0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
20．已知一次函数y=（m+2）x+m2﹣m﹣4的图象经过点（0，2），则m的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣2或3 D．3
21．若点A（2﹣a，1﹣2a）关于y轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜
B．a＞2 C．
＜a＜2 D．a＜
或a＞2
22．下列关系式中，表示y是x的正比例函数的是（ ）
A．y=
B．y=1 C．y=x+1 D．y=2x
23．函数y=4x﹣2与y=﹣4x﹣2的交点坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（0，2） D．（2，0）
24．在平面直角坐标系中，直线y=kx+b（k＜0，b＞0）不经过哪一象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
25．一次函数y=ax﹣a（a≠0）的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、解答题
26．已知一次函数的图象经过点A（﹣1，3）和点（2，﹣3），
（1）求一次函数的解析式；
（2）判断点C（﹣2，5）是否在该函数图象上．
27．如图，直线PA是一次函数y=x+1的图象，直线PB是一次函数y=﹣2x+2的图象．
（1）求A，B，P三点坐标．
（2）求△PAB的面积．
28．已知y﹣3与3x+1成正比例，且x=2时，y=6.5．
（1）求y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；
（2）若点（a，2）在这个函数的图象上，求a．
29．如图，lA，lB分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系．
（1）B出发时与A相距 千米．
（2）B出发后 小时与A相遇．
（3）B走了一段路后，自行车发生故障，进行 修理，所用的时间是 小时．
（4）若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进， 小时与A相遇，相遇点离B的出发点 千米．在图中表示出这个相遇点C．
（5）求出A行走的路程S与时间t的函数关系式．（写出过程）
30．有一个带有进出水管的容器，每单位时间内进出的水量是一定的．设从某时刻开始的4分钟内只进水，不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到x（分）与水量y（升）之间的关系如图：
（1）每分钟进水多少？
（2）0＜x≤4时，y与x的函数关系式是什么？
（3）4＜x≤12时，函数关系式是什么？
（4）你能求每分钟放水多少升吗？
31．某单位急需用车，但又不想买车，他们准备和一个私营车主或一个国营出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x千米，应付给私营车主的月费用是y1元，应付给国营出租车公司的月费用是y2元．y1，y2分别与x之间的函数关系如图所示，观察图象回答下列问题：
（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国营公司的车合算？
（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米，那么这个单位租哪家的车合算？
参考答案与试题解析
一、填空题
1．关于x轴对称的点的坐标为 ，关于y轴对称的点的坐标为 ，关于原点对称的坐标为 ．
【考点】关于原点对称的点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据在平面直角坐标系中，点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数，关于y轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，关于原点对称时，横纵坐标都为相反数，即可解答本题．
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数，
∴点A关于x轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣4），
∵关于y轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，
∴点A关于y轴对称的点的坐标是（3，4），
∵关于原点对称时，横纵坐标都为相反数，
∴点A关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．
故答案为：（﹣3，﹣4），（3，4），（3，﹣4）．
【点评】本题考查了在平面直角坐标系中，点关于x轴，y轴及原点对称时横纵坐标的符号，难度适中．
2．点B（﹣5，﹣2）到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 ，到原点的距离是 ．
【考点】勾股定理；点的坐标．
【分析】根据坐标的表示方法可得到点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，然后根据勾股定理计算点A到原点的距离．
【解答】解：∵点A坐标为（﹣5，﹣2），
∴点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，到原点的距离=
=
．
故答案为2，5，
．
【点评】本题考查了点的坐标：过一个点分别作x轴和y轴的垂线，垂足在x轴的坐标表示这个点的横坐标，垂足在y轴上的坐标表示这个点的纵坐标．也考查了勾股定理．
3．以点（3，0）为圆心，半径为5的圆与x轴交点坐标为 ，与y轴交点坐标为 ．
【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．
【分析】根据A的坐标和半径即可求出圆和x轴的交点坐标，根据勾股定理求出OD、OE，即可求出圆和y轴的交点坐标．
【解答】解：
∵⊙A的半径为5，A（3，0），
∴5﹣3=2，5+3=8，
即⊙A和x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（8，0）；
连接AD、AE，
由勾股定理得：OD=
=4，同理OE=4，
即⊙A和y轴的交点坐标为（0，4）和（0，﹣4）；
故答案为：（﹣2，0）或（8，0）；（0，4）或（0，﹣4）．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，勾股定理的应用，题目比较好，难度不大．
4．点P（a﹣3，5﹣a）在第一象限内，则a的取值范围是 ．
【考点】点的坐标；解一元一次不等式组．
【分析】根据第一象限内点的横坐标与纵坐标都是正数列出不等式组，然后求解即可．
【解答】解：∵点P（a﹣3，5﹣a）在第一象限内，
∴
，
解不等式①得，a＞3，
解不等式②得，a＜5，
所以，a的取值范围是3＜a＜5．
故答案为：3＜a＜5．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．小华用500元去购买单价为3元的一种整体商品，剩余的钱y（元）与购买这种商品的件数x（件）之间的函数关系是 ，x的取值范围是 ．
【考点】根据实际问题列一次函数关系式．
【专题】经济问题．
【分析】剩余的钱数=总钱数500﹣x件这种商品的总价格，根据x应是正整数，且商品的总价不能超过500可得x的取值范围．
【解答】解：x件这种商品的总价格为3x，
∴y=500﹣3x，
∵500﹣3x≥0，
解得x≤166
，
∴0≤x≤166
，且x为整数．
故答案为：y=500﹣3x；0≤x≤166
，且x为整数．
【点评】本题考查了列一次函数关系式，得到剩余的钱数的等量关系是解决本题的关键；注意商品的件数应为正整数；所买商品的总价钱不能超过所带的总钱数．
6．已知，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（0，2），且y随x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式： ．
【考点】一次函数的性质．
【专题】开放型．
【分析】根据题意可知k＜0，这时可任设一个满足条件的k，则得到含x、y、b三求知数的函数式，将（0，2）代入函数式，求得b，那么符合条件的函数式也就求出．
【解答】解：∵y随x的增大而减小
∴k＜0
∴可选取﹣1，那么一次函数的解析式可表示为：y=﹣x+b
把点（0，2）代入得：b=2
∴要求的函数解析式为：y=﹣x+2．
【点评】本题需注意应先确定x的系数，然后把适合的点代入求得常数项．
7．一次函数y=（k﹣1）x+k+1经过一、二、四象限，则k的取值范围是 ．函数y=﹣2x+4的图象经过 象限，它与两坐标轴围成的三角形面积为 ．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【分析】根据一次函数y=（k﹣1）x+k+1的图象经过第一、二、四象限判断出k的取值范围即可；求得直线y=﹣2x+4与坐标轴的交点坐标即可求得围成的三角形的面积．
【解答】解：∵一次函数y=（k﹣1）x+k+1经过一、二、四象限，
∴k﹣1＜0，k+1＞0，
解得：﹣1＜k＜1；
∵函数y=﹣2x+4中﹣2＜0，4＞0，
∴函数y=﹣2x+4的图象经过一、二、四象限，
∵令y=﹣2x+4=0，解得：x=2，
∴与x轴交于（2，0），
令x=0，解得：y=4，
故与y轴交于（0，4），
∴与两坐标轴围成的面积为
×2×4=4，
故答案为：﹣1＜k＜1，一、二、四，4．
【点评】考查了一次函数的性质，在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
8．一次函数y=kx+b的图象经过点（1，5），交y轴于（0，3），则k= ，b= ．
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【分析】将（1，5），（0，3）代入一次函数的解析式，利用待定系数法求该函数的解析式的系数．
【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点（1，5），交y轴于（0，3），
∴
，
解得
．
故答案为：2，3．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式．
9．若点（m，m+3）在函数y=﹣x+2的图象上，则m= ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接把点（m，m+3）代入直线y=﹣x+2进行计算即可．
【解答】解：∵点（m，m+3）在函数y=﹣x+2的图象上，
∴m+3=﹣m+2，解得m=﹣
．
故答案为：﹣
．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上点的坐标一定适应此函数的解析式是解答此题的关键．
10．y与3x成正比例，当x=8时，y=﹣12，则y与x的函数解析式为 ．
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【专题】待定系数法．
【分析】因为y与3x成正比例，所以可设y=k•3x即y=3kx，又因为当x=8时，y=﹣12，则有﹣12=3×
8×k．从而可求出k的值，进而解决问题．
【解答】解：∵y与3x成正比例
∴设y=k•3x即y=3kx
又∵当x=8时，y=﹣12
∴﹣12=3×8×k
∴k=﹣
∴y与x的函数解析式为y=﹣
x．
【点评】此类题目可根据题意，利用待定系数法建立函数关系式，然后利用方程解决问题．
11．函数y=﹣x的图象是一条过原点及（2， ）的直线，这条直线经过第 象限，当x增大时，y随之 ．
【考点】一次函数的性质．
【分析】把x=2代入y=﹣x得到y=﹣2，然后根据一次函数性质确定直线y=﹣x所经过的象限和增减性．
【解答】解：函数y=﹣x的图象是一条过原点及（2，﹣2）的直线，这条直线经过第二、四象限，当x增大时，y随之减小．
故答案为﹣2；二、四；减小．
【点评】本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
12．函数y=2x﹣4，当x ，y＜0．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】求出一次函数与x轴的交点，然后根据k＞0，y随x的增大而增大解答即可．
【解答】解：当y=0时，2x﹣4=0，
解得x=2，
∵k=2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＜2时，y＜0．
故答案为：＜2．
【点评】本题考查了一次函数的增减性，熟记一次函数y=kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大；
当k＜0时，y随x的增大而减小是解题的关键．
13．若函数y=4x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为6，那么b= ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先令x=0，求出y的值，再令y=0求出x的值即可得出直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：∵令x=0，则y=b；令y=0，则x=﹣
，
∴函数y=4x+b与xy轴的交点分别为（﹣
，0）（0，b）．
∵函数y=4x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为6，
∴
|b|•|﹣
|=6，解得b=±4
．
故答案为：±4
．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
14．已知函数y=（m﹣1）
+1是一次函数，则m= ．
【考点】一次函数的定义．
【专题】计算题．
【分析】根据一次函数的定义，令m2=1，m﹣1≠0即可解答．
【解答】若两个变量x和y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，
则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）．
因而有m2=1，
解得：m=±1，
又m﹣1≠0，
∴m=﹣1．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
15．如图，某公用电话亭打电话时，需付电话费y（元）与通话时间x（min）之间的函数关系式用图象表示为折线，小文打了2分钟，需付费 元，小文打了8分钟付费 元．
【考点】一次函数的应用．
【分析】通话时间小于3分钟时，需付0.7元，故小文打了2分钟，需付费0.7；
通过A点和B点坐标分别为（3，0.7）和（4，1）用待定系数法列方程，求函数关系式．再将x=8代入得出y．
【解答】解：根据图形可知，当通话时间小于3分钟时，需付电话费话0.7元．故小文打了2分钟，需付费0.7元．
设需付电话费y（元）与通话时间x（min）之间的函数关系式为：y=kx+b．
因为点A（3，0.7）和点B（4，1）都在y=kx+b上，代入得：
0.7=3k+b，1=4k+b．解得：k=0.3，b=﹣0.2．
故需付电话费y（元）与通话时间x（min）之间的函数关系式为：y=0.3x﹣0.2 （x≥3）．
当x=8时，y=0.3×8﹣0.2=2.4﹣0.2=2.2（元）．
【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏．
16．已知一次函数y=kx﹣1，请你补充一个条件 ，使函数图象经过第二、三、四象限．
【考点】一次函数的性质．
【专题】开放型．
【分析】要使一次函数的图象经过第二、三、四象限，又知b＜0，故只需k＜0即可．
【解答】解：因为要使函数图象经过第二、三、四象限，必须k＜0，b＜0，而y=kx﹣1中，b=﹣1＜0，所以只需添加条件k＜0即可．
故答案为：k＜0
【点评】能够根据k，b的符号正确判断直线所经过的象限．
二．选择题：
17．下列说法正确的是（ ）
A．正比例函数是一次函数
B．一次函数是正比例函数
C．正比例函数不是一次函数
D．不是正比例函数就不是一次函数
【考点】一次函数的定义；正比例函数的定义．
【专题】常规题型．
【分析】根据一次函数和正比例函数的定义条件判断各选项即可．
【解答】解：A.正比例函数是一次函数，故本选项正确；
B.一次函数不一定是正比例函数，故本选项错误；
C.正比例函数是一次函数，故本选项错误；
D.不是正比例函数有可能是一次函数，如y=x+1，故本选项错误．
故选A．
【点评】本题主要考查了一次函数和正比例函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，
k≠0，自变量次数为1；正比例函数的定义是形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，其中k叫做比例系数．
18．下面两个变量是成正比例变化的是（ ）
A．正方形的面积和它的边长
B．变量x增加，变量y也随之增加
C．矩形的一组对边的边长固定，它的周长和另一组对边的边长
D．圆的周长与它的半径
【考点】正比例函数的定义．
【专题】常规题型．
【分析】根据正比例函数y=kx的定义条件：k为常数且k≠0,自变量次数为1,判断各选项，即可得出答案．
【解答】解：A.正方形的面积=边长的平方，故本选项错误；
B.变量x增加，变量y也随之增加，如y=2x，但不是正比例函数，故本选项错误；
C.矩形的一组对边的边长固定，则另一组对边的边长也固定，其周长也一定，故本选项错误；
D.圆的周长=2π×半径，符合正比例函数的定义，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握．
19．直线y=kx+b经过一、二、四象限，则k、b应满足（ ）
A．k＞0，b＜0 B．k＞0，b＞0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【分析】根据一次函数y=kx+b图象在坐标平面内的位置关系先确定k，b的取值范围，从而求解．
【解答】解：由一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，
又由k＜0时，直线必经过二、四象限，故知k＜0．
再由图象过一、二象限，即直线与y轴正半轴相交，所以b＞0．
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
20．已知一次函数y=（m+2）x+m2﹣m﹣4的图象经过点（0，2），则m的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣2或3 D．3
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【分析】把x=0，y=2代入所给函数解析式，得到关于m的方程，求解即可，注意x的系数应不为0．
【解答】解：∵y=（m+2）x+m2﹣m﹣4的图象经过点（0，2），
∴m2﹣m﹣4=2，
解得m=﹣2或3，
∵m+2≠0，
解得m≠﹣2，
∴m=3，
故选D．
【点评】考查一次函数图象上的点的坐标的特点；用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合该函数解析式．注意一次函数中的比例系数应不为0．
21．若点A（2﹣a，1﹣2a）关于y轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜
B．a＞2 C．
＜a＜2 D．a＜
或a＞2
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于y轴对称点的性质横坐标互为相反数，纵坐标相等，进而求出点A（2﹣a，1﹣2a）关于y轴的对称点，再利用第三象限点的性质，即可得出答案．
【解答】解：∵点A（2﹣a，1﹣2a）关于y轴的对称点为：（a﹣2，1﹣2a），且此点在第三象限，
∴
解得：
．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质以及一元一次不等式组的解法，得出关于a的不等式组是解题关键．
22．下列关系式中，表示y是x的正比例函数的是（ ）
A．y=
B．y=1 C．y=x+1 D．y=2x
【考点】正比例函数的定义．
【分析】根据形如y=kx （k是常数，k≠0）是正比例函数，可得答案．
【解答】解：A.是反比例函数，故A错误；
B.是常函数，故B错误；
C.是一次函数，故C错误；
D.是正比例函数，故正确；
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数，利用了正比例函数的定义．
23．函数y=4x﹣2与y=﹣4x﹣2的交点坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（0，2） D．（2，0）
【考点】两条直线相交或平行问题．
【专题】计算题．
【分析】根据两直线平行的问题，解方程组
的解即为两直线的交点坐标．
【解答】解：解方程组
得
，
所以直线y=4x﹣2与y=﹣4x﹣2的交点坐标为（0，﹣2）．
故选B．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
24．在平面直角坐标系中，直线y=kx+b（k＜0，b＞0）不经过哪一象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【分析】根据一次函数的性质求解．
【解答】解：∵k＜0，b＞0，
∴直线经过第一、二、四象限．
故选C．
【点评】掌握根据k，b的符号正确判断一次函数图象经过的象限．
25．一次函数y=ax﹣a（a≠0）的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】一次函数的图象．
【分析】因为a的符号不确定，故应分两种情况讨论，再找出符合任一条件的函数图象即可．
【解答】解：分两种情况：
（1）当a＞0时，一次函数y=ax﹣a经过第一、三、四象限，选项A符合；
（2）当a＜0时，一次函数y=ax﹣a图象经过第一、二、四象限，无选项符合．
故选A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，根据图象能正确判断一次项系数以及常数项的符号；根据符号判断判断图经过的象限．
三、解答题．
26．已知一次函数的图象经过点A（﹣1，3）和点（2，﹣3），
（1）求一次函数的解析式；
（2）判断点C（﹣2，5）是否在该函数图象上．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）根据一次函数图象过A（﹣1，3）和点B（2，﹣3），然后将其代入一次函数的解析式，利用待定系数法求该函数的解析式；
（2）把）把x=﹣2代入y=﹣2x+1，得出y的值，和C的纵坐标进行比较即可判断．
【解答】解：（1）设直线AB的函数 解析式为y=kx+b（k、b为常数且k≠0）
∵一次函数的图象经过点A（﹣1，3）和点（2，﹣3），
∴
解得
．
∴直线AB的函数解析式为y=﹣2x+1．
（2）把x=﹣2代入y=﹣2x+1，得y=﹣2×（﹣2）+1=5，
所以点C（﹣2，5）在该函数图象上．
【点评】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上的点的坐标特征．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得形象、直观，降低了题的难度．
27．如图，直线PA是一次函数y=x+1的图象，直线PB是一次函数y=﹣2x+2的图象．
（1）求A，B，P三点坐标．
（2）求△PAB的面积．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征把y=0分别代入y=x+1和y=﹣2x+2，求出对应的自变量的值即可得到A和B点坐标；通过解方程组
可确定P点坐标；
（2）利用三角形面积公式计算．
【解答】解：（1）把y=0代入y=x+1得x+1=0，解得x=﹣1，则A点坐标为（﹣1，0）；
把y=0代入y=﹣2x+2得﹣2x+2=0，解得x=1，则B点坐标为（1，0）；
解方程组
得
，
所以P点坐标为（
，
）；
（2）S△PAB=
×（1+1）×
=
．
【点评】本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
28．已知y﹣3与3x+1成正比例，且x=2时，y=6.5．
（1）求y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；
（2）若点（a，2）在这个函数的图象上，求a．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据正比例函数的定义可设y﹣3=k（3x+1），再把x=2，y=6.5代入可计算出k=
，则y=
x+
，然后根据一次函数的定义进行判断；
（2）根据一次函数图形上点的坐标特征，把（a，2）代入（1）中的解析式中即可得到a的值．
【解答】解：（1）设y﹣3=k（3x+1），
把x=2，y=6.5代入得6.5﹣3=k（6+1），解得k=
，
所以y﹣3=
（3x+1），
所以y=
x+
，y是x的一次函数；
（2）把（a，2）代入y=
x+
得
a+
=2，解得a=﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
29．如图，lA，lB分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系．
（1）B出发时与A相距 千米．
（2）B出发后 小时与A相遇．
（3）B走了一段路后，自行车发生故障，进行 修理，所用的时间是 小时．
（4）若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进， 小时与A相遇，相遇点离B的出发点 千米．在图中表示出这个相遇点C．
（5）求出A行走的路程S与时间t的函数关系式．（写出过程）
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）从图上可看出B出发时与A相距10千米；
（2）从图象看出3小时时，两个图象相交，所以3小时时相遇；
（3）修理的时间就是路程不变的时间是1.5﹣0.5=1小时；
（4）不发生故障时，B的行走的路程和时间是正比例关系，设函数式为y=kx，过（0.5，7.5）点，求出函数式，从而求出相遇的时间，从而求出路程；
（5）S和t的函数关系是一次函数，设函数是为S=kx+t，过（0，10）和（3，22.5），从而可求出关系式．
【解答】解：（1）B出发时与A相距10千米．
（2）3小时时相遇．
（3）修理自行车的时间为：1.5﹣05=1小时．
（4）设B修车前的关系式为y=kx，过（0.5，7.5）点．
7.5=0.5k
k=15．
y=15x．
相遇时：S=y
x+10=15x
x=
．
y=
×15=
．
小时时相遇，此时B走的路程是
千米．
（5）设函数是为S=kx+t，且过（0，10）和（3，22.5），
，
解得
．
∴S=
x+10．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键从图象上获取信息，根据图象的确定函数形式，设出函数式，代入已知点确定函数式，求变量或函数值或交点．
30．有一个带有进出水管的容器，每单位时间内进出的水量是一定的．设从某时刻开始的4分钟内只进水，不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到x（分）与水量y（升）之间的关系如图：
（1）每分钟进水多少？
（2）0＜x≤4时，y与x的函数关系式是什么？
（3）4＜x≤12时，函数关系式是什么？
（4）你能求每分钟放水多少升吗？
【考点】一次函数的应用．
【专题】数形结合．
【分析】（1）根据等量关系：水量=单位时间内进水量×时间，可得出每分钟进水多少．
（2）设出x，y的关系式，把（4，20）代入求出即可．
（3）设出x，y的关系式，把（4，20）（12，30）代入求出即可．
（4）根据等量关系：放水量=单位时间放水量×时间，代入求出即可．
【解答】解：（1）如图：当x=4时，y=20
∴每分钟进水量是：20÷4=5（升）
（2）y与x的函数关系式是y=kx，把（4，20）代入得
20=4k，
解得：k=5，
∴y与x的函数关系式是y=5x（0＜x≤4）
（3）设y与x的函数关系式是y=kx+b，把（4，20），（12，30）代入得
∴k=1.25，b=15
∴y与x的函数关系式是y=1.25x+15（4＜x≤12）
（4）由图知：当4＜x≤12时，
进水量是5×8=40（升），放水量是40﹣10=30（升），
∴每分钟放水量是：30÷8=3.75（升）
【点评】本题重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题．能够根据题意中的等量关系建立函数关系式，能够根据函数解析式求得对应的x的值，渗透了函数与方程的思想．
31．某单位急需用车，但又不想买车，他们准备和一个私营车主或一个国营出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x千米，应付给私营车主的月费用是y1元，应付给国营出租车公司的月费用是y2元．y1，y2分别与x之间的函数关系如图所示，观察图象回答下列问题：
（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国营公司的车合算？
（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米，那么这个单位租哪家的车合算？
【考点】一次函数的应用．
【专题】图表型．
【分析】因给出了两个函数的图象可知一个是一次函数，一个是一次函数的特殊形式正比例函数，两条直线交点的横坐标为1500，表明当x=1500时，两条直线的函数值y相等，并且根据图象可以知道x＞1500时，y2在y1上方；0＜x＜1500时，y2在y1下方．利用图象，三个问题很容易解答．
【解答】解：（1）每月行驶的路程小于1500千米时，租国营公司的车合算；
（2）每月行驶的路程等于1500千米时，租两家车的费用相同；
（3）每月行驶的路程为2300千米时，那么这个单位租私营车主的车合算．
【点评】本题是贴近社会生活的应用题，赋予了生活气息，使学生真切地感受到“数学来源于生活”，体验到数学的“有用性”．这样设计体现了《新课程标准》的“问题情景﹣建立模型﹣解释、应用和拓展”的数学学习模式．