【330495】第1章《三角形的证明》单元测试试卷及答案

A．

25°

B．

30°

C．

35°

D．

40°

A．

25

B．

25

C．

50

D．

25

A．

3.5

B．

4.2

C．

5.8

D．

7

A．

6

B．

7

C．

8

D．

9

A．

11

B．

5.5

C．

7

D．

3.5

A．

B．

C．

D．

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

A．

B．

C．

D．

6

A．

6

B．

12

C．

32

D．

64

A．

25°

B．

30°

C．

35°

D．

40°

解答：

解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，

∴∠B=90°﹣25°=65°，

∵△CDB′由△CDB反折而成，

∴∠CB′D=∠B=65°，

∵∠CB′D是△AB′D的外角，

∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°．

故选D．

A．

25

B．

25

C．

50

D．

25

解答：

解：根据题意，

∠1=∠2=30°，

∵∠ACD=60°，

∴∠ACB=30°+60°=90°，

∴∠CBA=75°﹣30°=45°，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∵BC=50×0.5=25，

∴AC=BC=25（海里）．

故选D．

A．

3.5

B．

4.2

C．

5.8

D．

7

解答：

解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；

∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，

∴AB=6，

∴AP的长不能大于6． 故选D．

A．

6

B．

7

C．

8

D．

9

考点：

等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．1518028

分析：

由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．

解答：

解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，

∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，

∵MN∥BC，

∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，w W w . K b 1.c o M

∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，

∴BM=ME，EN=CN，

∴MN=ME+EN，

即MN=BM+CN．

∵BM+CN=9

∴MN=9， 故选D．

A．

11

B．

5.5

C．

7

D．

3.5

考点：

角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．1518028

专题：

计算题；压轴题．

分析：

作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．

解答：

解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，

∵DE=DG，DM=DE，

∴DM=DG，

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，

∴DF=DN，

在Rt△DEF和Rt△DMN中，

，

∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），

∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，

∴S_△MDG=S_△ADG﹣S_△ADM=50﹣39=11，

S_△DNM=S_△DEF= S_△MDG= =5.5

故选B．

点评：

本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．

A．

B．

C．

D．

解答：

解：根据题意画出相应的图形，如图所示：

在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，

根据勾股定理得：AB= =15，

过C作CD⊥AB，交AB于点D，

又S_△ABC= AC•BC= AB•CD，

∴CD= = = ，

则点C到AB的距离是 ． 故选A

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

解答：

解：在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，

∴∠AEH=∠ADB=90°；

∵∠EAH+∠AHE=90°，∠DHC+∠BCH=90°，

∵∠EHA=∠DHC（对顶角相等），

∴∠EAH=∠DCH（等量代换）；

∵在△BCE和△HAE中

，

∴△AEH≌△CEB（AAS）；

∴AE=CE；

∵EH=EB=3，AE=4，

∴CH=CE﹣EH=AE﹣EH=4﹣3=1． 故选A．

A．

B．

C．

D．

6

解答：

解：∵△CEO是△CEB翻折而成，

∴BC=OC，BE=OE，∠B=∠COE=90°，

∴EO⊥AC，

∵O是矩形ABCD的中心，

∴OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2×3=6，

∴AE=CE，

在Rt△ABC中，AC²=AB²+BC²，即6²=AB²+3²，解得AB=3 ，

在Rt△AOE中，设OE=x，则AE=3 ﹣x，

AE²=AO²+OE²，即（3 ﹣x）²=3²+x²，解得x= ，

∴AE=EC=3 ﹣ =2 ．

故选A．

A．

6

B．

12

C．

32

D．

64

解答：

解：∵△A₁B₁A₂是等边三角形，

∴A₁B₁=A₂B₁，∠3=∠4=∠12=60°，

∴∠2=120°，

∵∠MON=30°，

∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，

又∵∠3=60°，

∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，

∵∠MON=∠1=30°，

∴OA₁=A₁B₁=1，

∴A₂B₁=1，

∵△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄是等边三角形，

∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，

∵∠4=∠12=60°，

∴A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，B₁A₂∥B₂A₃，

∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，

∴A₂B₂=2B₁A₂，B₃A₃=2B₂A₃，

∴A₃B₃=4B₁A₂=4，

A₄B₄=8B₁A₂=8，

A₅B₅=16B₁A₂=16，

以此类推：A₆B₆=32B₁A₂=32．

故选：C．

考点：

勾股定理；等腰三角形的性质．1518028

分析：

首先根据等腰三角形的性质：等腰三角形的三线合一，求出DB=DC= CB，AD⊥BC，再利用勾股定理求出AD的长．

解答：

解：∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，

∴DB=DC= CB=3，AD⊥BC，

在Rt△ABD中，

∵AD²+BD²=AB²，

∴AD= =4，

故答案为：4．

点评：

此题主要考查了等腰三角形的性质与勾股定理的应用，做题的关键是根据等腰三角形的性质证出△ADB是直角三角形．

考点：

翻折变换（折叠问题）；勾股定理．1518028

专题：

压轴题；探究型．

分析：

先根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE=CE，进而求出△ABE的周长．

解答：

解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，

∴BC= = =4，

∵△ADE是△CDE翻折而成，

∴AE=CE，

∴AE+BE=BC=4，

∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．

故答案为：7．

点评：

本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

考点：

轴对称-最短路线问题；勾股定理．1518028

专题：

压轴题；动点型．

分析：

要求EM+CM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，CM的值，从而找出其最小值求解．

解答：

解：连接BE，与AD交于点M．则BE就是EM+CM的最小值．

取CE中点F，连接DF．

∵等边△ABC的边长为6，AE=2，

∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4，

∴CF=EF=AE=2，

又∵AD是BC边上的中线，

∴DF是△BCE的中位线，

∴BE=2DF，BE∥DF，

又∵E为AF的中点，

∴M为AD的中点，

∴ME是△ADF的中位线，

∴DF=2ME，

∴BE=2DF=4ME，

∴BM=BE﹣ME=4ME﹣ME=3ME，

∴BE= BM．

在直角△BDM中，BD= BC=3，DM= AD= ，

∴BM= = ，

∴BE= ．

∵EM+CM=BE

∴EM+CM的最小值为 ．

点评：

考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．

考点：

含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．1518028

专题：

压轴题．

分析：

根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．

解答：

解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，

∴∠ACB=∠FDB=90°，

∵∠F=30°，

∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．

又AB的垂直平分线DE交AC于E，

∴∠EBA=∠A=30°，

∴直角△DBE中，BE=2DE=2．

故答案是：2．

点评：

本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA=30°．

考点：

等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．1518028

专题：

压轴题．

分析：

根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．

解答：

解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，

∵CG=CD，

∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，

∵DF=DE，

∴∠E=15°．

故答案为：15．

点评：

本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．

考点：

等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．1518028

专题：

压轴题．

分析：

分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD=PD，CE=PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为5cm．

解答：

解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，

∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，

∵PD∥AB，PE∥AC，

∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，

∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，

∴BD=PD，CE=PE，

∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm．

答：△PDE的周长是5cm．

点评：

此题主要考查了平行线的判定，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长．

考点：

勾股定理．1518028

专题：

压轴题．

分析：

过点A作AE∥BC交CD于点E，得到平行四边形ABCE和Rt△ADE，根据平行四边形的性质和勾股定理，不难证明三个正方形的边长对应等于所得直角三角形的边．

解答：

解：过点A作AE∥BC交CD于点E，

∵AB∥DC，

∴四边形AECB是平行四边形，

∴AB=CE，BC=AE，∠BCD=∠AED，

∵∠ADC+∠BCD=90°，DC=2AB，

∴AB=DE，∠ADC+∠AED=90°，

∴∠DAE=90°，那么AD²+AE²=DE²，

∵S₁=AD²，S₂=AB²=DE²，S₃=BC²=AE²

∴S₂=S₁+S₃．

点评：

本题的关键在于通过作辅助线把梯形的问题转换为平行四边形和直角三角形的问题，然后把三个正方形的边长整理到一个三角形中进行解题．

考点：

勾股定理．1518028

专题：

规律型．

分析：

根据勾股定理，逐一进行计算，从中寻求规律，进行解答．

解答：

解：根据勾股定理：

第一个三角形中：OA₁²=1+1，S₁=1×1÷2；

第二个三角形中：OA₂²=OA₁²+1=1+1+1，S₂=OA₁×1÷2= ×1÷2；

第三个三角形中：OA₃²=OA₂²+1=1+1+1+1，S₃=OA₂×1÷2= ×1÷2；

…

第n个三角形中：S_n= ×1÷2= ．

点评：

本题主要考查了勾股定理的应用，要注意图中三角形的面积的变化规律．

考点：

全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形．1518028

分析：

（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可；

（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．

解答：

（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，

∵在Rt△ACD和Rt△AED中

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；

（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∵∠B=30°，

∴BD=2DE=2．

点评：

本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．

考点：

全等三角形的判定与性质；勾股定理．1518028

专题：

证明题；压轴题．

分析：

（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AF，从而得证；

（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解．

解答：

（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴AD=BD，

∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠CAD+∠ACD=90°，

∠CBE+∠ACD=90°，

∴∠CAD=∠CBE，

在△ADC和△BDF中， ，

∴△ADC≌△BDF（ASA），

∴BF=AC，

∵AB=BC，BE⊥AC，

∴AC=2AE，

∴BF=2AE；

（2）解：∵△ADC≌△BDF，

∴DF=CD= ，

在Rt△CDF中，CF= = =2，

∵BE⊥AC，AE=EC，

∴AF=CF=2，

∴AD=AF+DF=2+ ．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

考点：

平行线的性质；角平分线的性质．1518028

专题：

动点型；探究型．

分析：

（1）如图1，延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；

（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论．

解答：

解：（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E．

∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD．

∵∠APB=∠PAE+∠PEA，

∴∠APB=∠PAC+∠PBD；

解法二：如图2

过点P作FP∥AC，

∴∠PAC=∠APF．

∵AC∥BD，∴FP∥BD．

∴∠FPB=∠PBD．

∴∠APB=∠APF+∠FPB

=∠PAC+∠PBD；

解法三：如图3，

∵AC∥BD，

∴∠CAB+∠ABD=180°，

∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．

又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，

∴∠APB=∠PAC+∠PBD．

（2）不成立．

（3）（a）

当动点P在射线BA的右侧时，结论是

∠PBD=∠PAC+∠APB．

（b）当动点P在射线BA上，

结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．

或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，

∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．

（c）当动点P在射线BA的左侧时，

结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．

选择（a）证明：

如图4，连接PA，连接PB交AC于M．

∵AC∥BD，

∴∠PMC=∠PBD．

又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），

∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

选择（b）证明：如图5

∵点P在射线BA上，∴∠APB=0度．

∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC．

∴∠PBD=∠PAC+∠APB

或∠PAC=∠PBD+∠APB

或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD．

选择（c）证明：

如图6，连接PA，连接PB交AC于F

∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD．

∵∠PAC=∠APF+∠PFA，

∴∠PAC=∠APB+∠PBD．

点评：

此题考查了角平分线的性质；是一道探索性问题，旨在考查同学们对材料的分析研究能力和对平行线及角平分线性质的掌握情况．认真做好（1）（2）小题，可以为（3）小题提供思路．

考点：

全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．1518028

分析：

（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=DC，则可判断△DCB为等边三角形，由于DE⊥BC，DE= BC；

（2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，则可根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF，则CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE= BC可得到BF+BP= DE；

（3）与（2）的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，则BF﹣BP=BC，所以BF﹣BP= DE．

解答：

解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠B=60°，

∵点D是AB的中点，

∴DB=DC，

∴△DCB为等边三角形，

∵DE⊥BC，

∴DE= BC；

故答案为DE= BC．

（2）BF+BP= DE．理由如下：

∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，

∴∠PDF=60°，DP=DF，

而∠CDB=60°，

∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB，

∴∠CDP=∠BDF，

在△DCP和△DBF中

，

∴△DCP≌△DBF（SAS），

∴CP=BF，

而CP=BC﹣BP，

∴BF+BP=BC，

∵DE= BC，

∴BC= DE，

∴BF+BP= DE；

（3）如图，

与（2）一样可证明△DCP≌△DBF，

∴CP=BF，

而CP=BC+BP，

∴BF﹣BP=BC，

∴BF﹣BP= DE．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系．

考点：

全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．1518028

专题：

证明题．

分析：

求出AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠EAC，根据SAS证出△ADB≌△AEC即可．

解答：

证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形

∴AD=AE，AB=AC，

又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，

∴∠DAB=∠EAC，

∵在△ADB和△AEC中

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴BD=CE．

点评：

本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△ADB≌△AEC．