第12章测试卷（2）
一、选择题
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若
有意义，则x的取值范围（ ）
A．x＞2 B．x≤
C．x≠
D．x≤2
3．若
=x+3，则x的取值应为（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x≥﹣3 D．x≤﹣3
4．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．二次根式
、
、
、
、
中，最简二次根式有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．计算
×
的结果是（ ）
A．
B．4 C．
D．2
7．若等式
=
成立，则x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≥1 C．﹣1≤x≤2 D．x≤﹣1或x≥2
8．已知：最简二次根式
与
能合并，则a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．4.5
9．下列式子与
是同类二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．下列计算中正确的是（ ）
A．
=﹣5 B．
=7 C．
+
=
D．5
﹣3
=2
11．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．下列计算中，结果错误的是（ ）
A．
+
=
B．5
﹣2
=3
C．
÷
=
D．（﹣
）2=2
13．下列算式(1)3
﹣4
=﹣1；(2)5
+5
=10
；(3)5
•5
=5
；(4)2
÷
=6；(5)a
=﹣
．其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
14．下列各式成立的是（ ）
A．
=
+
=5 B．
=
﹣
=1
C．
=
×
=20 D．
=3+4=7
15．下列计算正确的是（ ）
A．
+
=3 B．
×
=3
C．
÷
=4 D．（
﹣
）×
=3
二、填空题
16．已知
是正整数，则实数n的最大值是
．
17．使
有意义的x的取值范围是
．
18．在二次根式
，
，
，
，
中，最简二次根式有
．
19．若最简二次根式
与
是同类二次根式，则x=
．
20．
（
+
）=
．
三、解答题
21．计算：
(1)2
﹣3
﹣
(2)（3+
）2﹣（2﹣
）（2+
）
22．解答下列各题．
(1)把5.36万用科学记数法表示．
(2)计算：（x﹣2）（x+3）
(3)计算：
（
+2）﹣|3﹣
|+（π﹣1）0
(4)解方程：
=
．
23．化简下列各题：
(1)
；(2)
；(3)3÷
×
．
24． (1)计算或化简：
①
×
②
(2)长方形的面积为
cm2，一边长为
cm，求另一边长．
25．已知4＜a＜11，化简：
．
26．已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简
+|a+b|+|
﹣a|﹣
．
27．如图，a，b，c在数轴上的位置，求代数式
﹣|a﹣b|+
．
答案
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】71：二次根式的定义．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据二次根式的定义即可求出答案．
【解答】解：（A）当x＜0时，
无意义，故A不一定是二次根式；
（B）当x+2＜0时，
无意义，故B不一定是二次根式；
（D）当100x2﹣0.1＜0时，
无意义，故D不一定是二次根式；
故选（C）
【点评】本题考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解二次根式的定义，本题属于基础题型．
2．若
有意义，则x的取值范围（ ）
A．x＞2 B．x≤
C．x≠
D．x≤2
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据二次根式的性质（被开方数大于等于0）列出关于x的不等式，然后解不等式即可．
【解答】解：根据二次根式有意义得：1﹣2x≥0，
解得：x≤
．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数是非负数．
3．若
=x+3，则x的取值应为（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x≥﹣3 D．x≤﹣3
【考点】73：二次根式的性质与化简．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义计算即可求出x的值．
【解答】解：已知等式变形得：
=|x+3|=x+3，
∴x+3≥0，
解得：x≥﹣3，
故选C
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】74：最简二次根式．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、
=3
，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、
=2
，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选D．
【点评】本题考查了最简二次根式，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：①被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，②被开方数中不含有分母，符合以上两点的二次根式叫最简二次根式．
5．二次根式
、
、
、
、
中，最简二次根式有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】74：最简二次根式．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】利用最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而分析得出即可．
【解答】解：二次根式
、
、
、
、
中，最简二次根式有
、
，
故选B
【点评】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．
6．计算
×
的结果是（ ）
A．
B．4 C．
D．2
【考点】75：二次根式的乘除法．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则求出即可．
【解答】解：
×
=
=4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
7．若等式
=
成立，则x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≥1 C．﹣1≤x≤2 D．x≤﹣1或x≥2
【考点】75：二次根式的乘除法．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据二次根式的乘法：
（a≥0，b≥0），即可解答．
【解答】解：∵等式
=
成立，
∴
解得：x≥2，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的乘法，解决本题的关键是熟记二次根式的乘法：
（a≥0，b≥0）．
8．已知：最简二次根式
与
能合并，则a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．4.5
【考点】77：同类二次根式；74：最简二次根式．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】依据同类二次根式的定义可知5a﹣1=10a﹣16，从而可求得a的值．
【解答】解：∵最简二次根式
与
能合并，
∴5a﹣1=10a﹣16，解得a=3．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是同类二次根式的定义，由同类二次根式的定义得到关于a的方程是解题的关键．
9．下列式子与
是同类二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】77：同类二次根式．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据同类二次根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数为2者即可．
【解答】解：A、
与
被开方数不同，不是同类二次根式；
B、
与
被开方数不同，不是同类二次根式；
C、
与
被开方数相同，是同类二次根式；
D、
与
被开方数不同，不是同类二次根式．
故选C
【点评】此题考查根式问题，要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断．
10．下列计算中正确的是（ ）
A．
=﹣5 B．
=7 C．
+
=
D．5
﹣3
=2
【考点】78：二次根式的加减法；73：二次根式的性质与化简．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据二次根式的加减法，即可解答．
【解答】解：A、
=5，故本选项错误；
B、
，故本选项错误；
C、
，故本选项错误；
D、
，正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次公式的加减法，解决本题的关键是熟记二次根式的加减法．
11．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】78：二次根式的加减法．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】结合选项根据二次根式的加减法的运算法则求解即可．
【解答】解：A、
﹣
=2
﹣
=
，本选项正确；
B、
+
≠
，本选项错误；
C、3
﹣
=2
≠3，本选项错误；
D、3+2
≠5
，本选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握其运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
12．下列计算中，结果错误的是（ ）
A．
+
=
B．5
﹣2
=3
C．
÷
=
D．（﹣
）2=2
【考点】79：二次根式的混合运算．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【解答】解：A、
与
不能合并，所以A选项的计算错误；
B、原式=3
，所以B选项的计算正确；
C、原式=
=
，所以C选项的计算正确；
D、原式=2，所以D选项的计算正确．
故选A．
【点评】本题考查了二次根式的混合计算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的运算，最后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
13．下列算式(1)3
﹣4
=﹣1；(2)5
+5
=10
；(3)5
•5
=5
；(4)2
÷
=6；(5)a
=﹣
．其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【考点】79：二次根式的混合运算．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据二次根式的加减法对(1)、(2)进行判断；根据二次根式的乘法法则对(3)进行判断；根据二次根式的除法法则对(4)进行判断；根据二次根式的性质(5)进行判断．
【解答】解：3
﹣4
=﹣
，所以(1)计算错误；
5
与5
不能合并，所以(2)计算错误；
5
•5
=25
，所以(3)计算错误；
2
÷
=2
=6，所以(4)计算正确；
a
=﹣
，所以(5)计算正确．
故选B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
14．下列各式成立的是（ ）
A．
=
+
=5 B．
=
﹣
=1
C．
=
×
=20 D．
=3+4=7
【考点】79：二次根式的混合运算．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据二次根式的性质对A、B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断．
【解答】解：A、原式=
，所以A选项错误；
B、原式=
=3，所以B选项错误；
C、原式=
×
=5×4=20，所以C选项正确；
D、原式=
=5，所以D选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
15．下列计算正确的是（ ）
A．
+
=3 B．
×
=3
C．
÷
=4 D．（
﹣
）×
=3
【考点】79：二次根式的混合运算．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C、D进行判断．
【解答】解：A、
与
不能合并，所以A选项的计算错误；
B、原式=
=2
，所以B选项的计算错误；
C、原式=
=2，所以C选项的计算错误；
D、原式=
﹣1=2﹣1=2，所以D选项的计算正确．
故选D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16．已知
是正整数，则实数n的最大值是
．
【考点】71：二次根式的定义．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】直接利用二次根式的性质得出n的最值．
【解答】解：∵
是正整数，
∴当16﹣3n=1时，实数n的值最大是：5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握正整数定义是解题关键．
17．使
有意义的x的取值范围是
．
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】直接利用二次根式的定义结合分式的性质分析得出答案．
【解答】解：∵
有意义，
∴3x+2≥0，2﹣|x|≠0，
解得：x≥﹣
且x≠2．
故答案为：x≥﹣
且x≠2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
18．在二次根式
，
，
，
，
中，最简二次根式有
．
【考点】74：最简二次根式．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：
的被开方数中含有能开得尽方的因数，它不是最简二次根式；
的被开放数中含有分母，它不是最简二次根式；
的被开方数中含有能开得尽方的因式，它不是最简二次根式；
所以，符合题意的二次根式是：
a和
；
故答案是：
a和
．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
19．若最简二次根式
与
是同类二次根式，则x=
．
【考点】77：同类二次根式．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据同类二次根式的概念，最简二次根式被开方数相同的根式称为同类二次根式，
【解答】解：由同类二次根式的概念得：5x+2=8﹣x
解得x=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式．
20．
（
+
）=
．
【考点】79：二次根式的混合运算．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据二次根式的乘法法则运算．
【解答】解：原式=
×
+
×
=3+1
=4．
故答案为4．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
21．计算：
(1)2
﹣3
﹣
(2)（3+
）2﹣（2﹣
）（2+
）
【考点】79：二次根式的混合运算．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)先化成最简二次根式，再合并即可；
(2)先算乘法，再合并即可．
【解答】解：(1)原式=6
﹣3
﹣
=2.5
；
(2)原式=9+6
+5﹣4+5
=15+6
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．
22．解答下列各题．
(1)把5.36万用科学记数法表示．
(2)计算：（x﹣2）（x+3）
(3)计算：
（
+2）﹣|3﹣
|+（π﹣1）0
(4)解方程：
=
．
【考点】79：二次根式的混合运算；1I：科学记数法—表示较大的数；4B：多项式乘多项式；6E：零指数幂；B3：解分式方程．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)利用科学记数法的表示方法求解；
(2)利用乘法公式展开即可；
(3)根据二次根式的乘法法则、零指数幂的意义和绝对值的意义计算；
(4)先把方程化为整式方程，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．
【解答】解：(1)把5.36万用科学记数法表示为5.36×104；
(2)原式=x2+x﹣6；
(3)原式=2+2
﹣（3﹣2
）+1
=2+2
﹣3+2
+1
=4
；
(4)去分母得2x=3x﹣9，
解得x=9，
经检验，x=9为原方程的解．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了解分式方程、整式的运算和科学记数法．
23．化简下列各题：
(1)
；(2)
；(3)3÷
×
．
【考点】75：二次根式的乘除法．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)原式利用二次根式的除法法则计算即可得到结果；
(2)原式利用二次根式的除法法则计算即可得到结果；
(3)原式利用除法法则变形，计算即可得到结果．
【解答】解：(1)原式=
=
；
(2)原式=
=
=
；
(3)原式=3×
×
=1．
【点评】此题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24． (1)计算或化简：
①
×
②
(2)长方形的面积为
cm2，一边长为
cm，求另一边长．
【考点】75：二次根式的乘除法．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)①利用二次根式的乘法法则运算；
②先把带分数化为假分数，然后利用二次根式的除法法则进行化简；
(2)根据长方形的面积公式得到长方形的另一边长=
，然后利用二次根式的除法法则进行化简．
【解答】解：(1)①原式=
=
；
②原式=
=
=
；
(2)长方形的另一边长=
=
=
=
=
．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法：
=
（a≥0，b≥0）；
=
（a≥0，b＞0）．
25．已知4＜a＜11，化简：
．
【考点】73：二次根式的性质与化简．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】首先确定出a﹣4、a﹣11的正负情况，然后依据
=|a|进行化简，最后化简绝对值、合并同类项即可．
【解答】解：∵4＜a＜11，
∴a﹣4＞0，a﹣11＜0．
∴
=|a﹣4）|+|a﹣11|=a﹣4+11﹣a=7．
【点评】本题主要考查的是二次根式的性质与化简，依据
=|a|进行化简是解题的关键．
26．已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简
+|a+b|+|
﹣a|﹣
．
【考点】73：二次根式的性质与化简；29：实数与数轴．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】根据数轴判断a、a+b、
﹣a、b﹣
与0的大小，然后根据绝对值的性质进行化简即可．
【解答】解：由数轴可知：a＜b＜0，
∴a＜0，a+b＜0，
∵
＞0，
∴
﹣a＞0，b﹣
＜0，
∴原式=|a|﹣（a+b）+
﹣a﹣|b﹣
|
=﹣a﹣a﹣b+
﹣a+（b﹣
）
=﹣3a﹣b+
+b﹣
=﹣3a
【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是根据数轴判断a、a+b、
﹣a、b﹣
与0的大小，本题属于基础题型．
27．如图，a，b，c在数轴上的位置，求代数式
﹣|a﹣b|+
．
【考点】73：二次根式的性质与化简；29：实数与数轴．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】利用数轴得出a＜0，a﹣b＞0，a﹣c＜0，进而利用绝对值以及二次根式的性质化简求出即可．
【解答】解：由数轴可得：a＜0，a﹣b＞0，a﹣c＜0，
则
﹣|a﹣b|+
=﹣a﹣a+b+c﹣a
=b+c﹣3a．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，得出各项的符号是解题关键．