【330474】初中数学人教八下期中测试（2）

期中测试（2）

一、选择题

1．要使二次根式 有意义，字母x的取值必须满足（　　）

A．x≥0 B． C． D．

2．下列运算错误的是（　　）

A． + = B． • = C． ÷ = D．（﹣ ）²=2

3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）

A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1， ，3

4．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（　　）

A． cm² B．2 cm² C．3 cm² D．4cm²

5．若x=﹣3，则 等于（　　）

A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3

6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（　　）

A．4 B．3 C．5 D．4.5

7．若直角三角形两边分别是3和4，则第三边是（　　）

A．5 B． C．5或 D．无法确定

8．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=12，则HE等于（　　）

A．24 B．12 C．6 D．8

9．若 ，则x的值等于（　　）

A．4 B．±2 C．2 D．±4

10．若 的整数部分为x，小数部分为y，则 的值是（　　）

A． B． C．1 D．3

二、填空题

11．已知一直角三角形，两边长为3和4，则斜边上的中线长为　 　．

12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，若CD=3，则AB=　 　．

13．四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是　 　（横线只需填一个你认为合适的条件即可）

14．若x，y为实数，且满足|x﹣3|+ =0，则（ ）²⁰¹⁸的值是　 　．

15．已知a、b、c是△ABC的三边长且c=5，a、b满足关系式 +（b﹣3）²=0，则△ABC的形状为　 　三角形．

三、解答题

16．计算：

(1)9 +5 ﹣3 ；

(2)2 ；

(3)（ ）²⁰¹⁶（ ﹣ ）²⁰¹⁵．

17．若x，y为实数，且|x+2|+ =0，求（ ）²⁰¹¹．

18．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．

求证：四边形EFGH是平行四边形．

19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=8，求AC的长．

20．已知如图在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，求证：∠AED=∠CFB．

21．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于点E．求证：四边形AECD是菱形．

22．如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE，CG．

(1)求证：AE=CG；

(2)观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．

23．已知Rt△ABD中，边AB=OB=1，∠ABO=90°

问题探究：

(1)以AB为边，在Rt△ABO的右边作正方形ABC，如图(1)，则点O与点D的距离为　　 ．

(2)以AB为边，在Rt△ABO的右边作等边三角形ABC，如图(2)，求点O与点C的距离．

问题解决：

(3)若线段DE=1，线段DE的两个端点D，E分别在射线OA、OB上滑动，以DE为边向外作等边三角形DEF，如图(3)，则点O与点F的距离有没有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．

答案

1．要使二次根式 有意义，字母x的取值必须满足（　　）

A．x≥0 B． C． D．

【考点】二次根式有意义的条件．

【专题】选择题．

【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x+3≥0，再解不等式即可．

【解答】解：由题意得：2x+3≥0，

解得：x≥﹣ ，

故选D．

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

2．下列运算错误的是（　　）

A． + = B． • = C． ÷ = D．（﹣ ）²=2

【考点】二次根式的加减法；二次根式的乘除法．

【专题】选择题．

【分析】根据同类二次根式的合并，二次根式的乘除法则，分别进行各选项的判断即可．

【解答】解：A、 与 不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项正确；

B、 × = ，计算正确，故本选项错误；

C、 ÷ = ，计算正确，故本选项错误；

D、（﹣ ）²=2，计算正确，故本选项错误；

故选A．

【点评】本题考查了二次根式的加减及乘除运算，解答本题的关键是掌握二次根式的加减及乘除法则．

3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）

A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1， ，3

【考点】勾股定理的逆定理．

【专题】选择题．

【分析】根据勾股定理的逆定理求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可．

【解答】解：A、1.5²+2²=2.5²，即三角形是直角三角形，故本选项正确；

B、4²+5²≠6²，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；

C、2²+3²≠4²，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；

D、1²+（ ）²≠3²，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；

故选A．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，难度适中．

4．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（　　）

A． cm² B．2 cm² C．3 cm² D．4cm²

【考点】勾股定理；等边三角形的性质．

【专题】选择题．

【分析】注意三角形的面积的计算方法，首先要作出三角形的高，根据勾股定理就可求出高的长，三角形的面积就很容易求出．

【解答】解：作出三角形的高，则高是 = ，所以三角形的面积是 ×2× = cm²；故选A．

【点评】求高是关键，把三角形转化为解直角三角形问题就很易求出．

5．若x=﹣3，则 等于（　　）

A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3

【考点】二次根式的性质．

【专题】选择题．

【分析】x=﹣3时，1+x＜0， =﹣1﹣x，再去绝对值．

【解答】解：当x=﹣3时，1+x＜0，

=|1﹣（﹣1﹣x）|

=|2+x|=﹣2﹣x=1．故选B．

【点评】本题考查了二次根式的化简方法，关键是根据x的取值，判断算式的符号．

6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（　　）

A．4 B．3 C．5 D．4.5

【考点】勾股定理；三角形的面积．

【专题】选择题．

【分析】根据Rt△ABC中，∠C=90°，可证BC是△DAB的高，然后利用三角形面积公式求出BC的长，再利用勾股定理即可求出DC的长．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，

∴BC⊥AC，即BC是△DAB的高，

∵△DAB的面积为10，DA=5，

∴ DA•BC=10，

∴BC=4，

∴CD= = =3．

故选B．

【点评】此题主要考查学生对勾股定理和三角形面积的理解和掌握，此题的突破点是利用三角形面积公式求出BC的长．

7．若直角三角形两边分别是3和4，则第三边是（　　）

A．5 B． C．5或 D．无法确定

【考点】勾股定理．

【专题】选择题．

【分析】题干中没有明确指出边长为4的边是直角边还是斜边，所以我们需要分类讨论，(1)边长为4的边为直角边；(2)边长为4的边为斜边．

【解答】解：(1)边长为4的边为直角边，则第三边即为斜边，则第三边的长为： =5；

(2)边长为4的边为斜边，则第三边即为直角边，则第三边的长为： = ．

故第三边的长为5或 cm．

故选C．

【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了分类讨论思想，解题的关键讨论边长为4的边是直角边还是斜边．

8．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=12，则HE等于（　　）

A．24 B．12 C．6 D．8

【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．

【专题】选择题．

【分析】利用三角形中位线定理知DF= AC；然后在直角三角形AHC中根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可将所求线段EH与已知线段DF联系起来了．

【解答】解：∵D、F分别是AB、BC的中点，

∴DF是△ABC的中位线，

∴DF= AC（三角形中位线定理）；

又∵E是线段AC的中点，AH⊥BC，

∴EH= AC，

∴EH=DF=12，

故选B．

【点评】本题综合考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线．三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

9．若 ，则x的值等于（　　）

A．4 B．±2 C．2 D．±4

【考点】二次根式的加减法．

【专题】选择题．

【分析】方程左边化成最简二次根式，再解方程．

【解答】解：原方程化为 =10，

合并，得 =10

=2，即2x=4，x=2．故选C．

【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．

二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．

解无理方程，需要方程两边平方，注意检验算术平方根的结果为非负数．

10．若 的整数部分为x，小数部分为y，则 的值是（　　）

A． B． C．1 D．3

【考点】二次根式的加减法．

【专题】选择题．

【分析】因为 的整数部分为1，小数部分为 ﹣1，所以x=1，y= ﹣1，代入计算即可．

【解答】解：∵ 的整数部分为1，小数部分为 ﹣1，

∴x=1，y= ﹣1，

∴ = ﹣（ ﹣1）=1．

故选C．

【点评】关键是会表示 的整数部分和小数部分，再二次根式的加减运算，即将被开方数相同的二次根式进行合并．

11．已知一直角三角形，两边长为3和4，则斜边上的中线长为　 　．

【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理．

【专题】填空题．

【分析】分为两种情况，当3和4是直角边时，当4是斜边，3是直角边时，求出斜边，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．

【解答】解：当3和4是直角边时，斜边为： =5，

斜边上中线为 ；

当4是斜边，3是直角边时，

斜边上的中线为2；

故答案为： 或2．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质和勾股定理的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．

12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，若CD=3，则AB=　 　．

【考点】直角三角形斜边上的中线．

【专题】填空题．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD．

【解答】解：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，

∴AB=2CD=2×3=6．

故答案为：6．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．

13．四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是　 　（横线只需填一个你认为合适的条件即可）

【考点】平行四边形的判定．

【专题】填空题．

【分析】在已知一组对边平行的基础上，要判定是平行四边形，则需要增加另一组对边平行，或平行的这组对边相等，或一组对角相等均可．

【解答】解：根据平行四边形的判定方法，知

需要增加的条件是AD=BC或AB∥CD或∠A=∠C或∠B=∠D．

故答案为AD=BC（或AB∥CD）．

【点评】此题考查了平行四边形的判定，为开放性试题，答案不唯一，要掌握平行四边形的判定方法．

两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．

14．若x，y为实数，且满足|x﹣3|+ =0，则（ ）²⁰¹⁸的值是　 　．

【考点】二次根式的性质；算术平方根；非负数的性质：绝对值．

【专题】填空题．

【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出x，y的值，进而得出答案．

【解答】解：∵|x﹣3|+ =0，

∴x=3，y=﹣3，

∴（ ）²⁰¹⁸=（﹣1）²⁰¹⁸=1．

故答案为：1．

【点评】此题主要考查了偶次方的性质以及绝对值的性质，正确得出x，y的值是解题关键．

15．已知a、b、c是△ABC的三边长且c=5，a、b满足关系式 +（b﹣3）²=0，则△ABC的形状为　 　三角形．

【考点】勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．

【专题】填空题．

【分析】根据二次根式和偶次方的非负性求出a、b的值，根据勾股定理的逆定理判断即可．

【解答】解：∵ +（b﹣3）²=0，

∴a﹣4=0，b﹣3=0，

解得：a=4，b=3，

∵c=5，

∴a²+b²=c²，

∴∠C=90°，

即△ABC是直角三角形，

故答案为：直角．

【点评】本题考查了二次根式的性质，偶次方，勾股定理的逆定理的应用，关键是求出a²+b²=c²．

16．计算：

(1)9 +5 ﹣3 ；

(2)2 ；

(3)（ ）²⁰¹⁶（ ﹣ ）²⁰¹⁵．

【考点】二次根式的混合运算．

【专题】解答题．

【分析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

(2)利用二次根式的乘除法则运算；

(3)先利用积的乘方得到原式=[（ + ）（ ﹣ ）]²⁰¹⁵•（ + ），然后利用平方差公式计算．

【解答】解：(1)原式=9 +10 ﹣12 =7 ；

(2)原式=2×2×2× = ；

(3)原式=[（ + ）（ ﹣ ）]²⁰¹⁵•（ + ）

=（5﹣6）²⁰¹⁵•（ + ）

=﹣（ + ）

=﹣ ﹣ ．

【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

17．若x，y为实数，且|x+2|+ =0，求（ ）²⁰¹¹．

【考点】二次根式的性质；算术平方根；非负数的性质：绝对值．

【专题】解答题．

【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【解答】解：由题意得，x+2=0，y﹣2=0，

解得，x=﹣2，y=2，

所以，（ ）²⁰¹¹=（﹣1）²⁰¹¹=﹣1．

【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

18．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．

求证：四边形EFGH是平行四边形．

【考点】根据边的关系判定平行四边形．

【专题】解答题．

【分析】连接BD，再利用三角形中位线定理可得FG∥BD，FG= BD，EH∥BD，EH= BD．进而得到FG∥EH，且FG=EH，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出结论．

【解答】证明：如图，连接BD．

∵F，G分别是BC，CD的中点，

所以FG∥BD，FG= BD．

∵E，H分别是AB，DA的中点．

∴EH∥BD，EH= BD．

∴FG∥EH，且FG=EH．

∴四边形EFGH是平行四边形．

【点评】此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=8，求AC的长．

【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．

【专题】解答题．

【分析】在RT△ABC中，利用直角三角形的性质，结合已知条件易求∠A=30°，进而再利用30°的角所对的直角边等于斜边的一半，易求BC，再利用勾股定理可求AC．

【解答】解：如图所示，

在RT△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，

∴∠A=30°，

又∵AB=8，

∴BC=4，

∴AC= =4 ．

【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理的运用，解题的关键是先求出BC．

20．已知如图在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，求证：∠AED=∠CFB．

【考点】平行四边形的性质．

【专题】解答题．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AD=BC．AD∥BC，根据平行线的性质得到∠DAC=∠BCF，推出△ADE≌△BCF，根据全等三角形的性质即可得到结论．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC．AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCF，

在△ADE与△BCF中， ，

∴△ADE≌△BCF，

∴∠AED=∠CFB．

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意平行四边形的对边平行且相等．

21．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于点E．求证：四边形AECD是菱形．

【考点】菱形的判定；梯形．

【专题】解答题．

【分析】首先证明四边形AECD是平行四边形，再由AB∥CD，得∠EAC=∠DCA，AC平分∠BAD，得∠DAC=∠CAE，从而得到∠ACD=∠DAC，即AD=DC，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

【解答】证明：∵AB∥CD，CE∥AD，

∴四边形AECD是平行四边形．

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC，

又∵AB∥CD，

∴∠ACD=∠BAC=∠DAC，

∴AD=DC，

∴四边形AECD是菱形．

【点评】考查了平行四边形和菱形的判定，比较简单．

22．如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE，CG．

(1)求证：AE=CG；

(2)观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．

【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

【专题】解答题．

【分析】可以把结论涉及的线段放到△ADE和△CDG中，考虑证明全等的条件，又有两个正方形，∴AD=CD，DE=DG，它们的夹角都是∠ADG加上直角，故夹角相等，可以证明全等；再利用互余关系可以证明AE⊥CG．

【解答】(1)证明：如图，

∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，

又∵∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，

∴△ADE≌△CDG（SAS）．

∴AE=CG．

(2)猜想：AE⊥CG．

证明：如图，设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N．

∵△ADE≌△CDG，

∴∠DAE=∠DCG．

又∵∠ANM=∠CND，

∴△AMN∽△CDN．

∴∠AMN=∠ADC=90°．

∴AE⊥CG．

【点评】本题可围绕结论寻找全等三角形，根据正方形的性质找全等的条件，运用全等三角形的性质判定线段相等，垂直关系．

23．已知Rt△ABD中，边AB=OB=1，∠ABO=90°

问题探究：

(1)以AB为边，在Rt△ABO的右边作正方形ABC，如图(1)，则点O与点D的距离为　　 ．

(2)以AB为边，在Rt△ABO的右边作等边三角形ABC，如图(2)，求点O与点C的距离．

问题解决：

(3)若线段DE=1，线段DE的两个端点D，E分别在射线OA、OB上滑动，以DE为边向外作等边三角形DEF，如图(3)，则点O与点F的距离有没有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．

【考点】正方形的性质；矩形的判定定理2．

【专题】解答题．

【分析】(1)如图1中，连接OD，在Rt△ODC中，根据OD= 计算即可．

(2)如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．在Rt△OCE中，根据OC= 计算即可．

(3)如图3中，当OF⊥DE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM．分别求出MH、OM、FH即可解决问题．

【解答】解：(1)如图1中，连接OD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD=1，∠C=90°

在Rt△ODC中，∵∠C=90°，OC=2，CD=1，

∴OD= = = ．

故答案为 ．

(2)如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．

∵∠FBE=∠E=∠CFB=90°，

∴四边形BECF是矩形，

∴BF=CF= ，CF=BE= ，

在Rt△OCE中，OC= = = ．

(3)如图3中，当OF⊥DE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM．

∵FD=FE=DE=1，OF⊥DE，

∴DH=HE，OD=OE，∠DOH= ∠DOE=22.5°，

∵OM=DM，

∴∠MOD=∠MDO=22.5°，

∴∠DMH=∠MDH=45°，

∴DH=HM= ，

∴DM=OM= ，

∵FH= = ，

∴OF=OM+MH+FH= + + = ．

∴OF的最大值为 ．

【点评】本题考查四边形综合题、勾股定理、等边三角形的性质、正方形的性质等知识，教育的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会在特殊位置寻找最值问题，属于中考压轴题．