【330472】初中数学人教八下期末测试（3）

期末测试（3）

一、选择题

1．下列计算正确的是（　　）

A． B． C．4 D．3

2．一组数据4，5，7，7，8，6的中位数和众数分别是（　　）

A．7，7 B．7，6.5 C．6.5，7 D．5.5，7

3．已知下列三角形的各边长：

①3、4、5，②5、12、13，③3、4、6，④5、11、12

其中直角三角形有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

4．下列四个点，在正比例函数y= x的图象上的点是（　　）

A．（2，5） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）

5．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k、b的值为（　　）

A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0

6．如图，在▱ABCD中，AB=5，BC=3，且DB⊥BC，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24

7．下列命题中，真命题是（　　）

A．有两边相等的平行四边形是菱形B．对角线垂直的四边形是菱形C．四个角相等的菱形是正方形D．两条对角线相等的四边形是矩形

8．如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（　　）

A．2.4cm B．4.8cm C．5cm D．9.6cm

9．甲乙两人在跳远练习中，6次成绩分别为（单位：米）：

甲：3.8 3.8 3.9 3.9 4.0 4.0； 乙：3.8 3.9 3.9 3.9 3.9 4.0．

则这次跳远练习中，甲乙两人成绩方差的大小关系是（　　）

A． ＞ B． ＜ C． = D．无法确定

10．从某市5000名初一学生中，随机抽取100名学生，测得他们的身高数据，得到一个样本，则这个样本数据的平均数、中位数、众数、方差四个统计量中，服装厂最感兴趣的是（　　）

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

11．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程y千米与行进时间t的函数图象的示意图，同学们画出的示意图如下，你认为正确的是（　　）

A． B． C． D．

12．关于一次函数y=﹣2x+3，下列结论正确的是（　　）

A．图象过点（1，﹣1） B．图象经过一、二、三象限C．y随x的增大而增大 D．当x＞ 时，y＜0

13．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

14．如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　）

A． B． C． D．

15．如图，已知在正方形ABCD中，连接BD并延长至点E，连接CE，F、G分别为BE，CE的中点，连接FG．若AB=6，则FG的长度为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

16．如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形的两个顶点，以对角线OA₁为边作正方形 OAA₁B 再以正方形OA₁A₂B₁的对角线OA₂作正方形OA₂A₃B₂，…，依此规律，则点A₈的坐标是（　　）

A．（﹣8，0） B．（0，8） C．（0，8 ） D．（0，16）

二、填空题

17．在函数y= +5中，自变量x的取值范围是　 　．

18．已知一组数据x₁，x₂，x₃，x₄，x₅的平均数是2，那么另一组数据3x₁﹣2，3x₂﹣2，3x₃﹣2，3x₄﹣2，3x₅﹣2的平均数是　　．

19．如图，在直线y= x+1上取一点A₁，以O、A₁为顶点作等一个等边三角形OA₁B₁，再在直线上取一点A₂，以A₂、B₁为顶点作第二个等边三角形A₂B₁B₂，…，一直这样做下去，则B₁点的坐标为　 　，第10个等边三角形的边长为　 ．

三、解答题

20．计算：

(1)2 × × +

(2)已知x=2﹣ ，求（7+4 ）x²+（2+ ）x+ 的值．

21．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？

22．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：EB∥DF．

23．已知y关于x的一次函数y=（2m²﹣32）x³﹣（n﹣3）x²+（m﹣n）x+m+n．

(1)若该一次函数的y值随x的值的增大而增大，求该一次函数的表达式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象；

(2)若该一次函数的图象经过点（﹣2，13），求该函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．

24．小明、小亮都是射箭爱好者，他们在相同的条件下各射箭5次，每次射箭的乘积情况如表：

射箭次数	第1次	第2次	第3次	第4次	第5次
小明成绩（环）	6	7	7	7	8
小亮成绩（环）	4	8	8	6	9

(1)请你根据表中的数据填写下表：

姓名	平均数（环）	众数（环）	方差
小明	7		0.4
小亮		8

(2)从平均数和方差相结合看，谁的成绩好些？

25．某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：

(1)填空：甲种收费的函数关系式是　 　．

乙种收费的函数关系式是　 　．

(2)该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？

26．如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤25）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；

(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；

(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

答案

1．下列计算正确的是（　　）

A． B． C．4 D．3

【考点】二次根式的加减、乘除运算．

【专题】选择题．

【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．

【解答】解：A、 + 无法计算，故此选项错误；

B、 ÷ =3，正确；

C、4 ﹣3 = ，故此选项错误；

D、3 ×2 =12，故此选项错误；

故选B．

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式运算法则是解题关键．

2．一组数据4，5，7，7，8，6的中位数和众数分别是（　　）

A．7，7 B．7，6.5 C．6.5，7 D．5.5，7

【考点】众数；中位数．

【专题】选择题．

【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．

【解答】解：把这些数从小到大排列为4，5，6，7，7，8，中位数是 =6.5；

7出现了2次，出现的次数最多，则众数是7；

故选C．

【点评】本题考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．

3．已知下列三角形的各边长：

①3、4、5，②5、12、13，③3、4、6，④5、11、12

其中直角三角形有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【考点】勾股定理的逆定理．

【专题】选择题．

【分析】欲判断是否可以构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可得出答案．

【解答】解：①3²+4²=5²，能构成直角三角形；

②5²+12²=13²，能构成直角三角形；

③3²+4²≠6²，不能构成直角三角形；

④5²+11²=12²，能构成直角三角形；

其中直角三角形有2个．

故选C．

【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形．要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．

4．下列四个点，在正比例函数y= x的图象上的点是（　　）

A．（2，5） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）

【考点】正比例函数的图象．

【专题】选择题．

【分析】分别把各点坐标代入正比例函数的解析式进行一一验证即可．

【解答】解：A、∵当x=2时，y= ×2= ≠5，∴此点不在正比例函数y= x图象上，故本选项错误；

B、∵当x=5时，y= ×5=2，∴此点在正比例函数y= x图象上，故本选项正确；

C、∵当x=2时，y= ×2= ≠﹣5，∴此点不在正比例函数y= x图象上，故本选项错误；

D、∵当x=5时，y= ×5=2≠﹣2，∴此点不在正比例函数y= x图象上，故本选项错误．

故选B．

【点评】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，即正比例函数图象上各点的坐标特点一定适合此函数的解析式．

5．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k、b的值为（　　）

A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0

【考点】一次函数的性质．

【专题】选择题．

【分析】先根据一次函数y=kx+b的图象过一、三象限可知k＞0，由函数的图象与y轴的正半轴相交可知b＞0，进而可得出结论．

【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象过一、三象限，

∴k＞0，

∵函数的图象与y轴的正半轴相交，

∴b＞0．

故选A．

【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，函数图象过一、三象限，当b＞0时，函数图象与y轴的正半轴相交．

6．如图，在▱ABCD中，AB=5，BC=3，且DB⊥BC，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24

【考点】平行四边形的性质．

【专题】选择题．

【分析】由勾股定理求出BD，即可求出平行四边形的面积．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB=5，

∵BC=3，且DB⊥BC，

∴BD= =4，

∴平行四边形ABCD的面积=BC•BD=3×4=12；

故选B．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出BD是解决问题的关键．

7．下列命题中，真命题是（　　）

A．有两边相等的平行四边形是菱形B．对角线垂直的四边形是菱形C．四个角相等的菱形是正方形D．两条对角线相等的四边形是矩形

【考点】菱形、矩形和正方形判定．

【专题】选择题．

【分析】利用菱形的判定定理、矩形的判定定理及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；

B、对角线垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；

C、四个角相等的菱形是正方形，故正确，是真命题；

D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题，

故选C．

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定定理、矩形的判定定理及正方形的判定定理，属于基础题，难度不大．

8．如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（　　）

A．2.4cm B．4.8cm C．5cm D．9.6cm

【考点】菱形的性质．

【专题】选择题．

【分析】先由菱形的性质和勾股定理求出边长，再根据菱形面积的两种计算方法，即可求出菱形的高．

【解答】解：如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴OA= AC=4，OB= BD=3，AC⊥BD，

∴AB= = =5，

∵菱形ABCD的面积=AB•DE= AC•BD= ×8×6=24，

∴DE= =4.8；

故选B．

【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积的计算方法；熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理求出边长是解决问题的关键．

9．甲乙两人在跳远练习中，6次成绩分别为（单位：米）：

甲：3.8 3.8 3.9 3.9 4.0 4.0； 乙：3.8 3.9 3.9 3.9 3.9 4.0．

则这次跳远练习中，甲乙两人成绩方差的大小关系是（　　）

A． ＞ B． ＜ C． = D．无法确定

【考点】方差．

【专题】选择题．

【分析】欲比较甲，乙两人方差的大小关系，分别计算两人的平均数和方差后比较即可．

【解答】解：甲的平均成绩为：（3.8+3.8+3.9+3.9+4.0+4.0）÷6=3.9，

乙的平均成绩为：（3.8+3.9+3.9+3.9+3.9+4.0）÷6=3.9；

甲的方差S_甲²= [（3.8﹣3.9）²+（3.8﹣3.9）²+（3.9﹣3.9）²+（3.9﹣3.9）²+（4.0﹣3.9）²+（4.0﹣3.9）²]= ，

乙的方差S²= [（3.8﹣3.9）²+（3.9﹣3.9）²+（3.9﹣3.9）²+（3.9﹣3.9）²+（3.9﹣3.9）²+（4.0﹣3.9）²]= ，

故甲，乙两人方差的大小关系是：S²_甲＞S²_乙．

故选A．

【点评】此题考查了方差的定义：一般地设n个数据，x₁，x₂，…x_n的平均数为 ，则方差S²= [（x₁﹣ ）²+（x₂﹣ ）²+…+（x_n﹣ ）²]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

10．从某市5000名初一学生中，随机抽取100名学生，测得他们的身高数据，得到一个样本，则这个样本数据的平均数、中位数、众数、方差四个统计量中，服装厂最感兴趣的是（　　）

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

【考点】数据的分析．

【专题】选择题．

【分析】服装厂最感兴趣的是哪种尺码的服装售量较多，也就是需要参照指标众数．

【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故服装厂最感兴趣的指标是众数．

故选C．

【点评】本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．

11．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程y千米与行进时间t的函数图象的示意图，同学们画出的示意图如下，你认为正确的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】函数的图象．

【专题】选择题．

【分析】本题可用排除法．依题意，自行车以匀速前进后又停车修车，故可排除A项．然后自行车又加快速度保持匀速前进，故可排除B，D．

【解答】解：最初以某一速度匀速行进，这一段路程是时间的正比例函数；中途由于自行车故障，停下修车耽误了几分钟，这一段时间变大，路程不变，因而选项A一定错误．第三阶段李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校，这一段，路程随时间的增大而增大，因而选项B，一定错误，这一段时间中，速度要大于开始时的速度，即单位时间内路程变化大，直线的倾斜角要大．

故选C．

【点评】本题考查动点问题的函数图象问题．注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．

12．关于一次函数y=﹣2x+3，下列结论正确的是（　　）

A．图象过点（1，﹣1） B．图象经过一、二、三象限C．y随x的增大而增大 D．当x＞ 时，y＜0

【考点】一次函数的性质．

【专题】选择题．

【分析】A、把点的坐标代入关系式，检验是否成立；

B、根据系数的性质判断，或画出草图判断；

C、根据一次项系数判断；

D、可根据函数图象判断，亦可解不等式求解．

【解答】解：A、当x=1时，y=1．所以图象不过（1，﹣1），故错误；

B、∵﹣2＜0，3＞0，

∴图象过一、二、四象限，故错误；

C、∵﹣2＜0，

∴y随x的增大而减小，故错误；

D、画出草图．

∵当x＞ 时，图象在x轴下方，

∴y＜0，故正确．

故选D．

【点评】本题主要考查了一次函数的性质以及一次函数与方程、不等式的关系．常采用数形结合的方法求解．

13．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．

【专题】选择题．

【分析】先根据翻折变换的性质得出CD=C′D，∠C=∠C′=90°，再设DE=x，则AE=8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE=DE=x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出DE的长．

【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，

∴CD=C′D=AB=8，∠C=∠C′=90°，

设DE=x，则AE=8﹣x，

∵∠A=∠C′=90°，∠AEB=∠DEC′，

∴∠ABE=∠C′DE，

在Rt△ABE与Rt△C′DE中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），

∴BE=DE=x，

在Rt△ABE中，AB²+AE²=BE²，

∴4²+（8﹣x）²=x²，

解得：x=5，

∴DE的长为5．

故选C．

【点评】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．

14．如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　）

A． B． C． D．

【考点】一次函数与二元一次方程（组）．

【专题】选择题．

【分析】根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．

【解答】解：根据函数图可知，

函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P的坐标是（﹣3，1），

故 的解是 ，

故选C．

【点评】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．

15．如图，已知在正方形ABCD中，连接BD并延长至点E，连接CE，F、G分别为BE，CE的中点，连接FG．若AB=6，则FG的长度为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【考点】正方形的性质；三角形中位线定理．

【专题】选择题．

【分析】根据三角形中位线定理可知FG= BC，由此即可解决问题．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=6，

∵F、G分别为BE，CE的中点，

∴FG= BC=3，

故选A．

【点评】本题考查正方形的性质、三角形的中位线定理等知识，几天倒计时灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

16．如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形的两个顶点，以对角线OA₁为边作正方形 OAA₁B 再以正方形OA₁A₂B₁的对角线OA₂作正方形OA₂A₃B₂，…，依此规律，则点A₈的坐标是（　　）

A．（﹣8，0） B．（0，8） C．（0，8 ） D．（0，16）

【考点】正方形的性质；规律型：点的坐标．

【专题】选择题．

【分析】根据正方形的性质结合图形可知：“每经过一次变化，OA_n都顺时针旋转45°，边长都乘 ”，再根据45°×8=360°、1× =16结合点A的坐标即可得出点A₈的坐标．

【解答】解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，OA_n都顺时针旋转45°，边长都乘 ，

∵从A到A₈经过8次变化，45°×8=360°，1× =16，

∴点A₈的坐标是（0，16）．

故选D．

【点评】本题考查了规律型中点的坐标以及正方形的性质，根据边OA_n的变化找出变化规律“每经过一次变化，OA_n都顺时针旋转45°，边长都乘 ．”是解题的关键．

17．在函数y= +5中，自变量x的取值范围是　 　．

【考点】函数自变量的取值范围．

【专题】填空题．

【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．

【解答】解：由题意，得

x﹣2≥0，解得x≥2，故答案为：x≥2．

【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

18．已知一组数据x₁，x₂，x₃，x₄，x₅的平均数是2，那么另一组数据3x₁﹣2，3x₂﹣2，3x₃﹣2，3x₄﹣2，3x₅﹣2的平均数是　　．

【考点】算术平均数．

【专题】填空题．

【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．先求数据x₁，x₂，x₃，x₄，x₅的和，然后再用平均数的定义求新数据的平均数．

【解答】解：一组数据x₁，x₂，x₃，x₄，x₅的平均数是2，有 （x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）=2，

那么另一组数据3x₁﹣2，3x₂﹣2，3x₃﹣2，3x₄﹣2，3x₅﹣2的平均数是 （3x₁﹣2+3x₂﹣2+3x₃﹣2+3x₄﹣2+3x₅﹣2）=4．

故答案为4．

【点评】本题考查的是样本平均数的求法及运用，即平均数公式： ．

19．如图，在直线y= x+1上取一点A₁，以O、A₁为顶点作等一个等边三角形OA₁B₁，再在直线上取一点A₂，以A₂、B₁为顶点作第二个等边三角形A₂B₁B₂，…，一直这样做下去，则B₁点的坐标为　 　，第10个等边三角形的边长为　 ．

【考点】一次函数的图象；规律型：点的坐标．

【专题】填空题．

【分析】作A₁D⊥x轴于D，A₂E⊥x轴于E，根据等边三角形的性质得OD=B₁D，B₁E=B₂E，∠OA₁D=30°，∠B_1A2E=30°，设OD=t，B₁E=a，则A₁D= t，A₂E= a，则A₁点坐标为（t， t），把A₁（t， t）代入y= x+1可解得t= ，于是得到B₁点的坐标为（ ，0），OB₁= ，则A₂点坐标为（ +a， a），然后把A₂代入y= x+1可解得a= ，B₁B₂=2 ，同理得到B₂B₃=4 ，…，按照此规律得到B₉B₁₀=2⁹ ．

【解答】解：作A₁D⊥x轴于D，A₂E⊥x轴于E，如图，

∵△OA₁B₁、△B₁A₂B₂均为等边三角形，

∴OD=B₁D，B₁E=B₂E，∠OA₁D=30°，∠B_1A2E=30°，

设OD=t，B₁E=a，则A₁D= t，A₂E= a，

∴A₁点坐标为（t， t），

把A₁（t， t）代入y= x+1得 t= t+1，解得t= ，

∴OB₁= ，

∴B₁点的坐标为（ ，0），

∴A₂点坐标为（ +a， a），

把A₂（ +a， a）代入y= x+1得 a= （ +a）+1，解得a= ，

∴B₁B₂=2 ，

同理得到B₂B₃=2² ，…，按照此规律得到B₉B₁₀=2⁹ ．

故答案为（ ，0），2⁹ ．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了等边三角形的性质．

20．计算：

(1)2 × × +

(2)已知x=2﹣ ，求（7+4 ）x²+（2+ ）x+ 的值．

【考点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值．

【专题】解答题．

【分析】(1)根据二次根式的乘法和加法可以解答本题；

(2)根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题．

【解答】解：(1)2 × × +

=

= ；

(2)∵x=2﹣ ，

∴（7+4 ）x²+（2+ ）x+

=

= +1+

=1+1+ =2+ ．

【点评】本题考查二次根式的混合运算、二次根式的化简求值，解题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．

21．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？

【考点】勾股定理的逆定理．

【专题】解答题．

【分析】由勾股定理逆定理可得△ACD与△ABC均为直角三角形，进而可求解其面积．

【解答】解：∵4²+3²=5²，5²+12²=13²，

即AB²+BC²=AC²，故∠B=90°，

同理，∠ACD=90°

∴S_四边形ABCD=S_△ABC+S_△ACD

= ×3×4+ ×5×12=6+30=36．

【点评】熟练掌握勾股定理逆定理的运用，会求解三角形的面积问题．

22．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：EB∥DF．

【考点】平行四边形的性质．

【专题】解答题．

【分析】连接BD，交AC于点O，构建平行四边形EBFD，由“平行四边形对边互相平行”的性质证得结论．

【解答】证明：如图，连接BD，交AC于点O．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO，BO=DO．

∵AE=CF，

∴EO=FO，

∴四边形EBFD是平行四边形，

∴EB∥DF．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

23．已知y关于x的一次函数y=（2m²﹣32）x³﹣（n﹣3）x²+（m﹣n）x+m+n．

(1)若该一次函数的y值随x的值的增大而增大，求该一次函数的表达式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象；

(2)若该一次函数的图象经过点（﹣2，13），求该函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．

【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式．

【专题】解答题．

【分析】(1)直接利用一次函数增减性结合一次函数的定义得出m，n的值进而画出图象；

(2)利用一次函数图象上点的坐标特征得出一次函数解析式，进而求出图象与坐标轴围成的三角形的面积．

【解答】解：(1)∵y关于x的一次函数y=（2m²﹣32）x³﹣（n﹣3）x²+（m﹣n）x+m+n，

∴2m²﹣32=0，n﹣3=0，

解得：m=±4，n=3，

又∵该一次函数的y值随x的值的增大而增大，

∴m﹣n＞0，

则m=4，n=3，

∴该一次函数的表达式为：y=x+7，

如图所示：

；

(2)∵该一次函数的图象经过点（﹣2，13），

∴y=﹣7x﹣1，

如图所示：

，

当x=0，则y=﹣1，当y=0，则x=﹣ ，

故该函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为： ×1× = ．

【点评】此题主要考查了一次函数的定义以及一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，正确得出m的值是解题关键．

24．小明、小亮都是射箭爱好者，他们在相同的条件下各射箭5次，每次射箭的乘积情况如表：

射箭次数	第1次	第2次	第3次	第4次	第5次
小明成绩（环）	6	7	7	7	8
小亮成绩（环）	4	8	8	6	9

(1)请你根据表中的数据填写下表：

姓名	平均数（环）	众数（环）	方差
小明	7		0.4
小亮		8

(2)从平均数和方差相结合看，谁的成绩好些？

【考点】方差；加权平均数；众数．

【专题】解答题．

【分析】(1)根据平均数、众数和方差的定义进行填表即可；

(2)根据两人的成绩的平均数相同，再根据方差得出乙的成绩比甲稳定，即可求出答案．

【解答】解：(1)填表如下：

姓名	平均数（环）	众数（环）	方差
小明	7	7	0.4
小亮	7	8	3.2

(2)小明和小亮射箭的平均数都是7，但小明比小亮的方差要小，说明小明的成绩较为稳定，所以小明的成绩比小亮的成绩要好些．

【点评】此题主要考查了平均数、众数、中位数、方差的统计意义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．

25．某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：

(1)填空：甲种收费的函数关系式是　 　．

乙种收费的函数关系式是　 　．

(2)该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？

【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的应用．

【专题】解答题．

【分析】(1)设甲种收费的函数关系式y₁=kx+b，乙种收费的函数关系式是y₂=k₁x，直接运用待定系数法就可以求出结论；

(2)由(1)的解析式分三种情况进行讨论，当y₁＞y₂时，当y₁=y₂时，当y₁＜y₂时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式．

【解答】解：(1)设甲种收费的函数关系式y₁=kx+b，乙种收费的函数关系式是y₂=k₁x，由题意，得

，12=100k₁，

解得： ，k₁=0.12，

∴y₁=0.1x+6（x≥0），y₂=0.12x（x≥0）；

(2)由题意，得

当y₁＞y₂时，0.1x+6＞0.12x，得x＜300；

当y₁=y₂时，0.1x+6=0.12x，得x=300；

当y₁＜y₂时，0.1x+6＜0.12x，得x＞300；

∴当100≤x＜300时，选择乙种方式合算；

当x=300时，甲、乙两种方式一样合算；

当300＜x≤450时，选择甲种方式合算．

答：印制100～300（含100）份学案，选择乙种印刷方式较合算，印制300份学案，甲、乙两种印刷方式都一样合算，印制300～450（含450）份学案，选择甲种印刷方式较合算．

【点评】本题考查待定系数法求一次函数的解析式的运用，运用函数的解析式解答方案设计的运用，解答时求出函数解析式是关键，分类讨论设计方案是难点．

26．如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤25）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；

(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；

(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

【考点】平行四边形的判定；菱形的判定．

【专题】解答题．

【分析】(1)根据时间和速度表示出AE和CD的长，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出DF的长为4t，则AE=DF，再证明，AE∥DF即可解决问题．

(2)根据(1)的结论可以证明四边形AEFD为平行四边形，如果四边形AEFD能够成为菱形，则必有邻边相等，则AE=AD，列方程求出即可；

(3)当△DEF为直角三角形时，有三种情况：①当∠EDF=90°时，如图3，②当∠DEF=90°时，如图4，

③当∠DFE=90°不成立；分别找一等量关系列方程可以求出t的值．

【解答】证明：(1)由题意得：AE=2t，CD=4t，

∵DF⊥BC，

∴∠CFD=90°，

∵∠C=30°，

∴DF= CD= ×4t=2t，

∴AE=DF；

∵DF⊥BC，

∴∠CFD=∠B=90°，

∴DF∥AE，

∴四边形AEFD是平行四边形．

(2)四边形AEFD能够成为菱形，理由是：

由(1)得：AE=DF，

∵∠DFC=∠B=90°，

∴AE∥DF，

∴四边形AEFD为平行四边形，

若▱AEFD为菱形，则AE=AD，

∵AC=100，CD=4t，

∴AD=100﹣4t，

∴2t=100﹣4t，

t= ，

∴当t= 时，四边形AEFD能够成为菱形；

(3)分三种情况：

①当∠EDF=90°时，如图3，

则四边形DFBE为矩形，

∴DF=BE=2t，

∵AB= AC=50，AE=2t，

∴2t=50﹣2t，

t= ，

②当∠DEF=90°时，如图4，

∵四边形AEFD为平行四边形，

∴EF∥AD，

∴∠ADE=∠DEF=90°，

在Rt△ADE中，∠A=60°，AE=2t，

∴AD=t，

∴AC=AD+CD，

则100=t+4t，

t=20，

③当∠DFE=90°不成立；

综上所述：当t为 或20时，△DEF为直角三角形．

【点评】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形、菱形、矩形的性质和判定，也是运动型问题，难度不大，是常出题型；首先要表示出两个动点在时间t时的路程，弄清动点的运动路径，再根据其运动所形成的特殊图形列式计算；同时，所构成的直角三角形因为直角顶点不确定，所以要分情况进行讨论．