第十六章卷（2）
一、选择题
1．下列各式中，正确的是（ ）
A．2＜
＜3 B．3＜
＜4 C．4＜
＜5 D．14＜
＜16
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．把二次根式
（y＞0）化为最简二次根式结果是（ ）
A．
（y＞0） B．
（y＞0） C．
（y＞0） D．以上都不对
4．以下二次根式：①
；②
；③
；④
中，与
的被开方数相同的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
5．化简：a
的结果是（ ）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
6．当a≥0时，
，
，﹣
中，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）
A．
=
≥﹣
B．
＞
＞﹣
C．
＜
＜﹣
D．
=
＜﹣
二、填空题
7．下列各式：
、
、
、
（x＞0）、
、﹣
、
、
（x≥0，y≥0）中
是二次根式．
8．当x
时，
在实数范围内有意义．
9．化简
=
．（x≥0）
10．计算：
=
；
×
=
；
）=
；
=
．
11．若n＜0，则代数式
=
．
12．实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+
=
．
13．若
+y2﹣4y+4=0，则xy的值为
．
14．
+
的有理化因式是
．
三、解答题
15．计算：
(1)
﹣
；
(2)
×
；
(3)
﹣
；
(4)
（
+3
）；
(5)（
3
+2
）（2
﹣3
）；
(6)（3
﹣
）2；
(7)
；
(8)
×
+
．
16．先化简，再求值
，其中x=
，y=27．
17．解方程：
（x﹣1）=
（x+1）
18．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如
的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m，ab=n，这样（
）2+（
）2=m，
•
=
，那么便有
=
=
±
（a＞b）例如：化简
解：首先把
化为
，这里m=7，n=12；
由于4+3=7，4×3=12，即（
）2+（
）2=7，
•
=
，
∴
=
=
=2+
由上述例题的方法化简：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
答案
1．下列各式中，正确的是（ ）
A．2＜
＜3 B．3＜
＜4 C．4＜
＜5 D．14＜
＜16
【考点】二次根式的定义．
【专题】选择题．
【分析】首先估算
的整数部分和小数部分，再比较大小即可求解．
【解答】解：∵
≈3.87，3＜3.87＜4，
∴3＜
＜4；
故选B．
【点评】本题考查了同学们对无理数大小的估算能力，比较简单．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】最简二次根式．
【专题】选择题．
【分析】A选项中含有小数；D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数；C选项的被开方数中含有分母；
因此这三个选项都不符合最简二次根式的要求．所以本题的答案应该是B．
【解答】解：A、
=
=
，不是最简二次根式；
B、
，不含有未开尽方的因数或因式，是最简二次根式；
C、
=
，被开方数中含有分母，故不是最简二次根式；
D、
=2
，不是最简二次根式．
只有选项B中的是最简二次根式，故选B．
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：
(1)在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
3．把二次根式
（y＞0）化为最简二次根式结果是（ ）
A．
（y＞0） B．
（y＞0） C．
（y＞0） D．以上都不对
【考点】最简二次根式．
【专题】选择题．
【分析】根据最简二次根式的被开方数不含开的尽的因数或因式，被开方数不含分母，可得答案．
【解答】解：
=
=
，
故选C．
【点评】本题考查了最简二次根式，利用了二次根式的除法．
4．以下二次根式：①
；②
；③
；④
中，与
的被开方数相同的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
【考点】被开方数相同的最简二次根式．
【专题】选择题．
【分析】先把每个二次根式化为最简二次根式，然后根据被开方数相同的最简二次根式的定义解答．
【解答】解：∵
，
，
，
，
∴与
的被开方数相同的是①和④，
故选C．
【点评】本题考查了被开方数相同的最简二次根式的定义．
5．化简：a
的结果是（ ）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】选择题．
【分析】直接利用二次根式的性质得出a的符号，进而化简求出即可．
【解答】解：由题意可得：a＜0，
则a
=﹣
=﹣
．
故选C．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a的符号是解题关键．
6．当a≥0时，
，
，﹣
中，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）
A．
=
≥﹣
B．
＞
＞﹣
C．
＜
＜﹣
D．
=
＜﹣
【考点】二次根式的性质．
【专题】选择题．
【分析】首先根据二次根式的性质可知
=
≥0，而﹣
≤0，进一步得出
=
≥﹣
，由此选择答案即可．
【解答】解：由分析可知当a≥0时，
=
≥﹣
．
故选A．
【点评】此题考查实数的大小比较，掌握二次根式的性质与计算是解答的前提．
7．下列各式：
、
、
、
（x＞0）、
、﹣
、
、
（x≥0，y≥0）中
是二次根式．
【考点】二次根式的定义．
【专题】填空题．
【分析】根据二次根式的定义进行解答即可．
【解答】解：二次根式是
、
（x＞0）、﹣
、
（x≥0，y≥0），
故答案为
、
、﹣
、
．
【点评】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
8．当x
时，
在实数范围内有意义．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】填空题．
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：当3x﹣1≥0，即x≥
时，
在实数范围内有意义．
故答案为：x≥
．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子
（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
9．化简
=
．（x≥0）
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】填空题．
【分析】原式利用二次根式的性质化简即可得到结果．
【解答】解：原式=
=x
．
故答案为：x
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．计算：
=
；
×
=
；
）=
；
=
．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】填空题．
【分析】利用二次根式的除法法则运算
；
利用二次根式的乘除法则运算
×
=；利用分母有理化计算
）；利用二次根式的除法法则运算
．
【解答】解：
=
=﹣
；
×
=
=2
；
）=
=3
+2
；
=
．
故答案为﹣
，2
，3
﹣2
，
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
11．若n＜0，则代数式
=
．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】填空题．
【分析】首先写成
•
•
的形式，然后分别进行化简即可．
【解答】解：原式=
•
•
=3
•m
•（﹣n）
=﹣3mn
．
故答案是：﹣3mn
．
【点评】本题考查了二次根式的化简，关键是理解二次根式的性质：
=|a|．
12．实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+
=
．
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【专题】填空题．
【分析】根据数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大，分别得出a﹣1与0，a﹣2与0的关系，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义化简．
【解答】解：根据数轴上显示的数据可知：1＜a＜2，
∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，
∴|a﹣1|+
=a﹣1+2﹣a=1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了数轴，绝对值的意义和根据二次根式的意义化简．
二次根式
的化简规律总结：当a≥0时，
=a；当a≤0时，
=﹣a．
13．若
+y2﹣4y+4=0，则xy的值为
．
【考点】二次根式的性质．
【专题】填空题．
【分析】首先配方，进而利用二次根式的性质以及偶次方的性质，进而得出关于x，y的方程组求出即可．
【解答】解：∵
+y2﹣4y+4=0，
∴
+（y﹣2）2=0，
∴
，
解得：
，
∴xy的值为：4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了配方法应用以及偶次方的性质和二次根式的性质等知识，正确配方是解题关键．
14．
+
的有理化因式是
．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】填空题．
【分析】根据平方差公式即可得出（
+
）×（
﹣
）=﹣1，再结合有理化因式的定义即可得出结论．
【解答】解：∵（
+
）×（
﹣
）=
﹣
=2﹣3=﹣1，
∴
﹣
是
+
的一个有理化因式．
故答案为：
﹣
．
【点评】本题考查了平方差公式以及有理化因式的定义，根据平方差公式找出（
+
）×（
﹣
）=﹣1是解题的关键．
15．计算：
(1)
﹣
；
(2)
×
；
(3)
﹣
；
(4)
（
+3
）；
(5)（
3
+2
）（2
﹣3
）；
(6)（3
﹣
）2；
(7)
；
(8)
×
+
．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】解答题．
【分析】(1)先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
(2)利用二次根式的乘除法则运算；
(3)先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
(4)利用二次根式的乘法法则运算；
(5)利用多项式乘法展开，然后合并即可；
(6)利用完全平方公式计算；
(7)利用二次根式的乘除法则运算和平方差公式计算；
(8)利用二次根式的乘除法则运算和平方差公式计算．
【解答】解：(1)原式=
﹣2
+3
+
=4
﹣
；
(2)原式=1×
×
=10；
(3)原式=3
﹣
+2
=
；
(4)原式=﹣
+3
+
=﹣4+6
+2
；
(5)原式=18﹣9
+4
﹣12
=6﹣5
；
(6)原式=54﹣18
+15
=69﹣18
；
(7)原式=
+3﹣1
=3+2
=5；
(8)原式=
+
=4+2
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍
16．先化简，再求值
，其中x=
，y=27．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】解答题．
【分析】首先对二次根式进行化简，然后去括号、合并二次根式即可化简，然后把x，y的值代入求解．
【解答】解：原式=（6
+3
）﹣（
+6
）
=9
﹣
﹣6
=3
﹣
，
当x=
，y=27时，
原式=3
﹣
=
﹣
=
．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确对二次根式进行化简是关键．
17．解方程：
（x﹣1）=
（x+1）
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】解答题．
【分析】根据一元一次方程的解法求解．
【解答】解：移项得：（
﹣
）x=
+
，
解得：x=5+2
．
【点评】本题考查了二次根式的应用，解答本题的关键是掌握一元一次方程的解法．
18．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如
的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m，ab=n，这样（
）2+（
）2=m，
•
=
，那么便有
=
=
±
（a＞b）例如：化简
解：首先把
化为
，这里m=7，n=12；
由于4+3=7，4×3=12，即（
）2+（
）2=7，
•
=
，
∴
=
=
=2+
由上述例题的方法化简：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】解答题．
【分析】先把各题中的无理式变成
的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．
【解答】解：(1)
=
=
﹣
；
(2)
=
=
=
﹣
；
(3)
=
=
．
【点评】主要考查二次根式根号内含有根号的式子化简．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子．