【330446】初中数学北师八下期中测试卷（1）

期中测试（一）

一、选择题

1．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（　　）

A．40° B．36° C．30° D．25°

2．在△ABC中，若∠B与∠C互余，则△ABC是（　　）三角形．

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AB的垂直平分线分别交AB与AC于点D和点E．若CE=2，则AB的长是（　　）

A．4 B．4 C．8 D．8

4．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC=60°，∠ACE=24°，那么∠BCE的大小是（　　）

A．24° B．30° C．32° D．36°

5．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S_△ABO：S_△BCO：S_△CAO等于（　　）

A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5

6．式子：①2＞0；②4x+y≤1；③x+3=0；④y﹣7；⑤m﹣2.5＞3．其中不等式有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．下列不等式变形正确的是（　　）

A．由a＞b，得ac＞bc B．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2

C．由﹣ ＞﹣1，得﹣ ＞﹣a D．由a＞b，得c﹣a＜c﹣b

8．不等式组 的解集在数轴上表示为（　　）

A． B．

C． D．

9．不等式﹣2x＞ 的解集是（　　）

A．x＜﹣ B．x＜﹣1 C．x＞﹣ D．x＞﹣1

10．如图，△ABC的面积为12，将△ABC沿BC方向移到△A′B′C′的位置，使B′与C重合，连接AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为（　　）

A．10 B．8 C．6 D．4

11．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（　　）

A．∠BCB′=∠ACA′ B．∠ACB=2∠B

C．∠B′CA=∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′

12．下列运算正确的是（　　）

A．（a+b）²=a²+b² B．（﹣2ab³）²=﹣4a²b⁶

C．3a²﹣2a³=a⁶ D．a³﹣a=a（a+1）（a﹣1）

二、填空题

13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为　 　时，△ACP是等腰三角形．

14．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为　 　．

15不等式组 的解集为　 　．

16．因式分解：﹣2x²y+12xy﹣16y= 　．

四、解答题

17．已知关于x的不等式 ＞ x﹣1．

(1)当m=1时，求该不等式的解集；

(2)m取何值时，该不等式有解，并求出解集．

18．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA．

19．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G．求证：△EFG是等腰三角形．

20．如图，已知A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3），△ABC经过平移得到的△A′B′C′，△ABC中任意一点P（x₁，y₁）平移后的对应点为P′（x₁+6，y₁+4）．

(1)请在图中作出△A′B′C′；

(2)写出点A′、B′、C′的坐标．

21．分解因式

(1)2x²﹣2

(2)（a²+4）²﹣16a²．

　

22．数学课上老师出了一道题：计算296²的值，喜欢数学的小亮举手做出这道题，他的解题过程如下：

296²=（300﹣4）²=300²﹣2×300×（﹣4）+4²=90000+2400+16=92416

老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误，你认为小亮的解题过程错在哪儿，并给出正确的答案．

答案与解析

1．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（　　）

A．40° B．36° C．30° D．25°

【考点】KH：等腰三角形的性质．

【专题】选择题

【分析】根据AB=AC可得∠B=∠C，CD=DA可得∠ADB=2∠C=2∠B，BA=BD，可得∠BDA=∠BAD=2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．

【解答】解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵CD=DA，

∴∠C=∠DAC，

∵BA=BD，

∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，

又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，

∴5∠B=180°，

∴∠B=36°，

故选B．

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．

　

2．在△ABC中，若∠B与∠C互余，则△ABC是（　　）三角形．

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

【考点】KN：直角三角形的性质．

【专题】选择题

【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°可得∠B+∠C=90°，然后根据三角形的内角和定理求出∠A=90°，即可判断△ABC的形状．

【解答】解：∵∠B与∠C互余，

∴∠B+∠C=90°，

在△ABC中，∠A=180°﹣（∠B+∠C）=180°﹣90°=90°，

∴△ABC是直角三角形．

故选B．

【点评】本题考查了直角三角形的定义，互余的定义，三角形内角和定理，熟记概念和定理是解题的关键．

　

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AB的垂直平分线分别交AB与AC于点D和点E．若CE=2，则AB的长是（　　）

A．4 B．4 C．8 D．8

【考点】KO：含30度角的直角三角形；KG：线段垂直平分线的性质．

【专题】选择题

【分析】由ED是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理得到EA=EB，根据等边对等角可得∠A和∠ABE相等，由∠A的度数求出∠ABE的度数，得出∠EBC=∠EBA=30°，再由角平分线上的点到角的两边的距离相等得出DE=CE=2．由30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE=2ED=4，由勾股定理求出AD，那么AB=2AD．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，

∴∠A=30°，

∵DE是线段AB的垂直平分线，

∴EA=EB，ED⊥AB，

∴∠A=∠EBA=30°，

∴∠EBC=∠ABC﹣∠EBA=30°，

又∵BC⊥AC，ED⊥AB，

∴DE=CE=2．

在直角三角形ADE中，DE=2，∠A=30°，

∴AE=2DE=4，

∴AD= =2 ，

∴AB=2AD=4 ．

故选B．

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握含30°角的直角三角形的性质，即在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

　

4．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC=60°，∠ACE=24°，那么∠BCE的大小是（　　）

A．24° B．30° C．32° D．36°

【考点】KG：线段垂直平分线的性质．

【专题】选择题

【分析】由EF是BC的垂直平分线，得到BE=CE，根据等腰三角形的性质得到∠EBC=∠ECB，由BD是∠ABC的平分线，得到∠ABD=∠CBD，根据三角形的内角和即可得到结论．

【解答】解：∵EF是BC的垂直平分线，

∴BE=CE，

∴∠EBC=∠ECB，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠ABD=∠DBC=∠ECB，

∵∠BAC=60°，∠ACE=24°，

∴∠ABD=∠DBC=∠ECB= （180°﹣60°﹣24°）=32°．

故选C．

【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．

　

5．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S_△ABO：S_△BCO：S_△CAO等于（　　）

A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5

【考点】KF：角平分线的性质．

【专题】选择题

【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．

【解答】解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C．

故选C．

【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的．

　

6．式子：①2＞0；②4x+y≤1；③x+3=0；④y﹣7；⑤m﹣2.5＞3．其中不等式有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】C1：不等式的定义．

【专题】选择题

【分析】找到用不等号连接的式子的个数即可．

【解答】解：①是用“＞”连接的式子，是不等式；

②是用“≤”连接的式子，是不等式；

③是等式，不是不等式；

④没有不等号，不是不等式；

⑤是用“＞”连接的式子，是不等式；

∴不等式有①②⑤共3个，故选C．

【点评】用到的知识点为：用“＜，＞，≤，≥，≠”连接的式子叫做不等式．

　

7．下列不等式变形正确的是（　　）

A．由a＞b，得ac＞bc B．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2

C．由﹣ ＞﹣1，得﹣ ＞﹣a D．由a＞b，得c﹣a＜c﹣b

【考点】C2：不等式的性质．

【专题】选择题

【分析】分别利用不等式的基本性质判断得出即可．

【解答】解：A、由a＞b，得ac＞bc（c＞0），故此选项错误；

B、由a＞b，得a﹣2＞b﹣2，故此选项错误；

C、由﹣ ＞﹣1，得﹣ ＞﹣a（a＞0），故此选项错误；

D、由a＞b，得c﹣a＜c﹣b，此选项正确．

故选：D．

【点评】此题主要考查了不等式的基本性质，正确掌握不等式基本性质是解题关键．

　

8．不等式组 的解集在数轴上表示为（　　）

A． B． C． D．

【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集．

【专题】选择题

【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可．

【解答】解：∵x＞﹣1，

∴在﹣1处是空心圆点且折线向右，

∵x＜2，

∴在2处是空心圆点且折现向左，

不等式组 的解集在数轴上表示在数轴上表示为：

故选B．

【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知小于向左，大于向右是解答此题的关键．

　

9．不等式﹣2x＞ 的解集是（　　）

A．x＜﹣ B．x＜﹣1 C．x＞﹣ D．x＞﹣1

【考点】C6：解一元一次不等式．

【专题】选择题

【分析】根据不等式的基本性质两边都除以﹣2可得．

【解答】解：两边都除以﹣2可得：x＜﹣ ，

故选：A．

【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

　

10．如图，△ABC的面积为12，将△ABC沿BC方向移到△A′B′C′的位置，使B′与C重合，连接AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为（　　）

A．10 B．8 C．6 D．4

【考点】Q2：平移的性质．

【专题】选择题

【分析】根据题意，可求得D为A′B′的中点，则可知△C′DC的面积为△ABC的面积的一半．

【解答】解：∵将△ABC沿BC方向移到△A′B′C′的位置，使B′与C重合，

∴AB∥A′B′，

∵BC=CC′，

∴D为A′B′的中点，

∴△C′DC的面积为△ABC的面积的一半，即6，

故选C．

【点评】本题考查平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．

　

11．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（　　）

A．∠BCB′=∠ACA′ B．∠ACB=2∠B

C．∠B′CA=∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′

【考点】R2：旋转的性质．

【专题】选择题

【分析】根据旋转的性质得到∠BCB′=∠ACA′，故A正确，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BB'C，根据三角形的外角的性质得到∠A'CB'=2∠B，等量代换得到∠ACB=2∠B，故B正确；等量代换得到∠A′B′C=∠BB′C，于是得到B′C平分∠BB′A′，故D正确．

【解答】解：根据旋转的性质得，∠BCB'和∠ACA'都是旋转角，则∠BCB′=∠ACA′，故A正确，

∵CB=CB'，

∴∠B=∠BB'C，

又∵∠A'CB'=∠B+∠BB'C，

∴∠A'CB'=2∠B，

又∵∠ACB=∠A'CB'，

∴∠ACB=2∠B，故B正确；

∵∠A′B′C=∠B，

∴∠A′B′C=∠BB′C，

∴B′C平分∠BB′A′，故D正确；

故选C．

【点评】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．

　

12．下列运算正确的是（　　）

A．（a+b）²=a²+b² B．（﹣2ab³）²=﹣4a²b⁶

C．3a²﹣2a³=a⁶ D．a³﹣a=a（a+1）（a﹣1）

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．

【专题】选择题

【分析】A、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断；

B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；

C、原式不能合并，错误；

D、原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．

【解答】解：A、原式=a²+b²+2ab，错误；

B、原式=4a²b⁶，错误；

C、原式不能合并，错误；

D、原式=a（a+1）（a﹣1），正确，

故选D

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

　

13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为　 　时，△ACP是等腰三角形．

【考点】KI：等腰三角形的判定．

【专题】填空题

【分析】由于没有说明哪一条边是腰，故需要分情况讨论．

【解答】解：∵AC=6，BC=8，

∴由勾股定理可知：AB=10，

当点P在CB上运动时，

由于∠ACP=90°，

∴只能有AC=CP，如图1，

∴CP=6，

∴t= =3，

当点P在AB上运动时，

①AC=AP时，如图2，

∴AP=6，PB=AB﹣CP=10﹣6=4，

∴t= =6，

②当AP=CP时，如图3，

此时点P在线段AC的垂直平分线上，

过点P作PD⊥AC于点D，

∴CD= AC=3，PD是△ACB的中位线，

∴PD= BC=4，

∴由勾股定理可知：AP=5，

∴PB=5，

∴t= =6.5；

③AC=PC时，如图4，

过点C作CF⊥AB于点F，

∴cos∠A= = ，

∴AF=3.6，

∴AP=2AF=7.2，

∴PB=10﹣7.2=2.8，

∴t= =5.4；

综上所述，当t为3或6或6.5或5.4时，△ACP是等腰三角形．

故答案为：3或6或6.5或5.4．

【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是根据腰的情况进行分类讨论，本题属于中等题型．

　

14．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为　 　．

【考点】KF：角平分线的性质．

【专题】填空题

【分析】作PE⊥OB于E，如图，然后根据角平分线的性质求解．

【解答】解：作PE⊥OB于E，如图，

∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PE=PD=6，

即点P到边OB的距离为6，

故答案为6．

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

　

15．不等式组 的解集为　 　．

【考点】CB：解一元一次不等式组．

【专题】填空题

【分析】分别求出求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

【解答】解： ，

解不等式①，得x＞2．

解不等式②，得x≤3，

故不等式组的解集为2＜x≤3，

故答案为2＜x≤3．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

　

16．因式分解：﹣2x²y+12xy﹣16y= 　．

【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等；53：因式分解﹣提公因式法．

【专题】填空题

【分析】原式提取公因式，再利用十字相乘法分解即可．

【解答】解：原式=﹣2y（x²﹣6x+8）=﹣2y（x﹣2）（x﹣4），

故答案为：﹣2y（x﹣2）（x﹣4）

【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

　

17．已知关于x的不等式 ＞ x﹣1．

(1)当m=1时，求该不等式的解集；

(2)m取何值时，该不等式有解，并求出解集．

【考点】C3：不等式的解集．

【专题】解答题

【分析】(1)把m=1代入不等式，求出解集即可；

(2)不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出m的范围，进而求出解集即可．

【解答】解：(1)当m=1时，不等式为 ＞ ﹣1，

去分母得：2﹣x＞x﹣2，

解得：x＜2；

(2)不等式去分母得：2m﹣mx＞x﹣2，

移项合并得：（m+1）x＜2（m+1），

当m≠﹣1时，不等式有解，

当m＞﹣1时，不等式解集为x＜2；

当x＜﹣1时，不等式的解集为x＞2．

【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．

　

18．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

求证：∠OAB=∠OBA．

【考点】KF：角平分线的性质；KD：全等三角形的判定与性质．

【专题】解答题

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AM=BM，然后利用“HL”证明Rt△AOM和Rt△BOM全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=OB，再根据等边对等角的性质即可得证．

【解答】证明：∵OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，

∴AM=BM，

在Rt△AOM和Rt△BOM中， ，

∴Rt△AOM≌Rt△BOM（HL），

∴OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键．

　

19．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G．求证：△EFG是等腰三角形．

【考点】KI：等腰三角形的判定；JA：平行线的性质．

【专题】解答题

【分析】先根据角平分线的定义求出∠GFG=∠EFG，根据平行线的性质得到∠EGF=∠GFD，等量代换得到∠EFG=∠EGF，于是得到即可．

【解答】略解：∵FG平分∠EFD交AB于点G，

∴∠GFD=∠EFG，

∵AB∥CD，

∴∠EGF=∠GFD，

∴∠EFG=∠EGF，

∴△EFG是等腰三角形．

【点评】本题考查的是等腰三角形的判定，平行线的性质，用到的知识点为；两直线平行，内错角相等．

　

20．如图，已知A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3），△ABC经过平移得到的△A′B′C′，△ABC中任意一点P（x₁，y₁）平移后的对应点为P′（x₁+6，y₁+4）．

(1)请在图中作出△A′B′C′；

(2)写出点A′、B′、C′的坐标．

【考点】Q4：作图﹣平移变换．

【专题】解答题

【分析】(1)由点P（x₁，y₁）平移后的对应点为P′（x₁+6，y₁+4）可得其平移规律为：向右平移6个单位，向上平移4个单位；故把△ABC的各顶点向右平移6个单位，再向上平移4个单位，顺次连接各顶点即为△A′B′C′；

(2)根据各点所在的象限和距离坐标轴的距离得到平移后相应各点的坐标即可．

【解答】解：(1)∵△ABC中任意一点P（x₁，y₁）平移后的对应点为P′（x₁+6，y₁+4），

∴平移规律为：向右平移6个单位，向上平移4个单．

如图所示：

(2)A′（2，3），B′（1，0），C′（5，1）．

【点评】解决本题的难点是理解对应各点的平移规律就是三角形平移的规律．

　

21．分解因式

(1)2x²﹣2

(2)（a²+4）²﹣16a²．

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．

【专题】解答题

【分析】根据因式分解的方法即可求出答案．

【解答】解：(1)原式=2（x²﹣1）=2（x+1）（x﹣1）

(2)原式=（a²+4﹣4a）（a²+4+4a）

=（a﹣2）²（a+2）²

【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解的方法，本题属于基础题型．

　

22．数学课上老师出了一道题：计算296²的值，喜欢数学的小亮举手做出这道题，他的解题过程如下：

296²=（300﹣4）²=300²﹣2×300×（﹣4）+4²=90000+2400+16=92416

老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误，你认为小亮的解题过程错在哪儿，并给出正确的答案．

【考点】59：因式分解的应用．

【专题】解答题

【分析】运用完全平方公式进行正确的计算后即可得到正确的结果．

【解答】解：答案：错在“﹣2×300×（﹣4）”，

应为“﹣2×300×4”，公式用错．

∴296²=（300﹣4）²

=300²﹣2×300×4+4²

=90000﹣2400+16

=87616．

【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是了解完全平方公式的形式并正确的应用．