【330445】初中数学北师八下期末测试卷（3）

期末测试（三）

一、选择题

1．下列图案中，不是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2．如果a＜0，则下列式子错误的是（　　）

A．5+a＞3+a B．5﹣a＞3﹣a C．5a＞3a D．

3．下列因式分解错误的是（　　）

A．x²﹣y²=（x+y）（x﹣y） B．x²+6x+9=（x+3）²

C．x²+xy=x（x+y） D．x²+y²=（x+y）²

4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件（　　）

A．AB=DC B．∠1=∠2 C．AB=AD D．∠D=∠B

5．某地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．若原计划每天修x米，则所列方程正确的是（　　）

A． B．

C． D．

6．不等式组 的整数解是（　　）

A．﹣1，0，1 B．0，1 C．﹣2，0，1 D．﹣1，1

7．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（　　）

A．18 B．22 C．24 D．26

8．如图，已知直角坐标系中的点A、B的坐标分别为A（2，4）、B（4，0），且P为AB的中点．若将线段AB向右平移3个单位后，与点P对应的点为Q，则点Q的坐标是（　　）

A．（3，2） B．（6，2） C．（6，4） D．（3，5）

9．如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′．ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E′D′．已知BC=4，则E′D′=（　　）

A．2 B．3 C．4 D．1.5

10．已知x+y=12，xy=9，则 的值等于（　　）

A． B． C． D．

11．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（　　）

A．3：4 B． ：2 C． ：2 D．2 ：

12．在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论：①AE+BF=AC，②AE²+BF²=EF²，③S_四边形CEDF= S_△ABC，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③

二、填空题

13．一个n边形的每个外角都等于36°，则n=　 　．

14．若分式 的值为零，则m=　 　．

15．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，DF⊥AC于点F，E在AB边上，ED⊥BC于点D，∠AED=155°，则∠EDF等于　 　．

16．如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=　 　度．

17．如图，函数y=2x和y=ax+5的图象相交于A（m，3），则不等式2x＜ax+5的解集为　 　．

18．如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC= CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S₁，S，S₃，若S₁+S₃=10，则S=　 　．

三、解答题

19．分解因式：

(1)2（m﹣n）²+m（n﹣m）；

(2)（2x+y）²﹣（x+2y）²．

20． 并将解集在数轴上表示出来．

21．计算 ，其中 ．

22．某市政府计划修建一处公共服务设施，使它到三所公寓A、B、C的距离相等．

(1)若三所公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

(2)若∠BAC=56°，则∠BPC=　 　°．

23．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．

(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；

(2)线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．

24．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

(1)求证：AD⊥CF；

(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．

25．为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：

运动鞋 价格	甲	乙
进价（元/双）	m	m﹣20
售价（元/双）	240	160

已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．

(1)求m的值；

(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？

(3)在(2)的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？

26．在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．

(1)如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．

①求证：BE=BF．

②请判断△AGC的形状，并说明理由；

(2)如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）

答案与解析

1．下列图案中，不是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】R5：中心对称图形．

【专题】选择题

【分析】根据中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是中心对称图形，故A选项错误；

B、不是中心对称图形，故B选项正确；

C、是中心对称图形，故C选项错误；

D、是中心对称图形，故D选项错误；

故选：B．

【点评】本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后重合．

　

2. 如果a＜0，则下列式子错误的是（　　）

A．5+a＞3+a B．5﹣a＞3﹣a C．5a＞3a D．

【考点】C2：不等式的性质．

【专题】选择题

【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．

【解答】解：A、∵5＞3，∴5+a＞3+a，故A选项正确；

B、∵5＞3，∴5﹣a＞3﹣a，故B选项正确；

C、∵5＞3，a＜0，∴5a＜3a，故C选项错误；

D、∵5＞3，∴ ＜ ，∵a＜0，∴ ＞ ，故D选项正确．

故选：C．

【点评】本题考查的是不等式的基本性质，熟知不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解答此题的关键．

　

3．下列因式分解错误的是（　　）

A．x²﹣y²=（x+y）（x﹣y） B．x²+6x+9=（x+3）²

C．x²+xy=x（x+y） D．x²+y²=（x+y）²

【考点】51：因式分解的意义．

【专题】选择题

【分析】根据公式特点判断，然后利用排除法求解．

【解答】解：A、是平方差公式，故A选项正确；

B、是完全平方公式，故B选项正确；

C、是提公因式法，故C选项正确；

D、（x+y）²=x²+2xy+y²，故D选项错误；

故选：D．

【点评】本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握．

　

4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件（　　）

A．AB=DC B．∠1=∠2 C．AB=AD D．∠D=∠B

【考点】L6：平行四边形的判定；JB：平行线的判定与性质；K7：三角形内角和定理；LJ：等腰梯形的性质．

【专题】选择题

【分析】根据等腰梯形的定义判断A；根据平行线的性质可以判断B；根据平行四边形的判定可判断C；根据平行线的性质和三角形的内角和定理求出∠BAC=∠DCA，推出AB∥CD即可．

【解答】解：A、符合条件AD∥BC，AB=DC，可能是等腰梯形，故A选项错误；

B、根据∠1=∠2，推出AD∥BC，不能推出平行四边形，故B选项错误；

C、根据AB=AD和AD∥BC不能推出平行四边形，故C选项错误；

D、∵AD∥BC，

∴∠1=∠2，

∵∠B=∠D，

∴∠BAC=∠DCA，

∴AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项正确．

故选：D．

【点评】本题主要考查对平行四边形的判定，等腰梯形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．

　

5．某地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．若原计划每天修x米，则所列方程正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．

【专题】选择题

【分析】关键描述语为：提前4天开通了列车；等量关系为：计划用的时间﹣实际用的时间=4．

【解答】解：题中原计划修 天，实际修了 天，

可列得方程 ﹣ =4，

故选：B．

【点评】本题考查了用方程的思想来求解实际生活中的未知量，从关键描述语找到等量关系是解决问题的关键．

　

6．不等式组 的整数解是（　　）

A．﹣1，0，1 B．0，1 C．﹣2，0，1 D．﹣1，1

【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．

【专题】选择题

【分析】首先解不等式组，再从不等式组的解集中找出适合条件的整数即可．

【解答】解： ，

由不等式①，得x＞﹣2，

由不等式②，得x≤1.5，

所以不等组的解集为﹣2＜x≤1.5，

因而不等式组的整数解是﹣1，0，1，

故选：A．

【点评】此题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

　

7．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（　　）

A．18 B．22 C．24 D．26

【考点】KG：线段垂直平分线的性质．

【专题】选择题

【分析】根据线段垂直平分线性质得出AB=2AE=8，AD=BD，求出△ABC的周长为：AB+AD+DC+AC，求出AD+DC+AC=18，即可求出答案．

【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE=4，

∴AB=2AE=8，AD=BD，

∵△ACD的周长为18，

∴AD+DC+AC=18，

∴△ABC的周长为：

AB+BC+AC

=8+BD+DC+AC

=8+AD+DC+AC

=8+18

=26，

故选：D．

【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

　

8．如图，已知直角坐标系中的点A、B的坐标分别为A（2，4）、B（4，0），且P为AB的中点．若将线段AB向右平移3个单位后，与点P对应的点为Q，则点Q的坐标是（　　）

A．（3，2） B．（6，2） C．（6，4） D．（3，5）

【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．

【专题】选择题

【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

【解答】解：根据中点坐标的求法可知点PD坐标为（3，2），因为左右平移点的纵坐标不变，由题意向右平移3个单位，则各点的横坐标加3，所以点Q的坐标是（6，2）．

故选：B．

【点评】本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点．

　

9．如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′．ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E′D′．已知BC=4，则E′D′=（　　）

A．2 B．3 C．4 D．1.5

【考点】R2：旋转的性质；KX：三角形中位线定理．

【专题】选择题

【分析】先根据图形旋转不变性的性质求出B′C′的长，再根据三角形中位线定理即可得出结论．

【解答】解：∵△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′，

∴B′C′=BC=4，

∵D′E′是△A′B′C′的中位线，

∴D′E′= B′C′= ×4=2，

故选：A．

【点评】本题考查的是图形旋转的性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．

　

10．已知x+y=12，xy=9，则 的值等于（　　）

A． B． C． D．

【考点】6D：分式的化简求值．

【专题】选择题

【分析】把所求式子的分子配方变为x+y与xy的关系式，分母提取xy也变为xy与x+y的形式，然后把已知的x+y与xy的值代入即可求出值．

【解答】解：∵x+y=12，xy=9，

∴

=

=

=

= ．

故选：A

【点评】此题考查了分式的化简求值，利用了整体代入的思想．其中灵活运用完全平方公式及提取公因式的方法把所求式子化为关于x+y与xy的式子是解本题的关键．

　

11．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（　　）

A．3：4 B． ：2 C． ：2 D．2 ：

【考点】L5：平行四边形的性质；K3：三角形的面积；KQ：勾股定理．

【专题】选择题

【分析】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角形的面积和平行四边形的面积得出S_△DEC=S_△DFA= S_{平行四边形}ABCD，求出AF×DP=CE×DQ，设AB=3a，BC=2a，则BF=a，BE=2a，BN= a，BM=a，FN= a，CM= a，求出AF= a，CE=2 a，代入求出即可．

【解答】解：连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，

∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：S_△DEC=S_△DFA= S_{平行四边形}ABCD，

即 AF×DP= CE×DQ，

∴AF×DP=CE×DQ，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∵∠DAB=60°，

∴∠CBN=∠DAB=60°，

∴∠BFN=∠MCB=30°，

∵AB：BC=3：2，

∴设AB=3a，BC=2a，

∵AE：EB=1：2，F是BC的中点，

∴BF=a，BE=2a，

BN= a，BM=a，

由勾股定理得：FN= a，CM= a，

AF= = a，

CE= =2 a，

∴ a•DP=2 a•DQ

∴DP：DQ=2 ： ．

故选：D．

【点评】本题考查了平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的应用，关键是求出AF×DP=CE×DQ和求出AF、CE的值．

　

12．在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论：①AE+BF=AC，②AE²+BF²=EF²，③S_四边形CEDF= S_△ABC，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③

【考点】R2：旋转的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；KW：等腰直角三角形．

【专题】选择题

【分析】连接CD，根据等腰直角三角形的性质得CD=BD，∠B=∠DCA=45°，CD⊥AB，再根据等角的余角相等得∠CDE=∠BDF，则可根据“AAS”判断△CDE≌△BDF，所以CE=BF，DE=DF，易得AE+BF=AC，△△DEF等腰直角三角形；再由△CDE≌△BDF得S_△CDE=S_△BDF，于是S_四边形CEDF=S_△CDB= S_△ABC；然后根据CE=BF，AC=BC，CF²+CE²=EF²判断AE²+BF²=EF²．

【解答】解：连接CD，如图，

∵AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，

∴CD=BD，∠B=∠DCA=45°，CD⊥AB，

∵∠GDF=90°，即∠CDE+∠CDF=90°，

而∠CDF+∠BDF=90°，

∴∠CDE=∠BDF，

在△CDE和△BDF中，

，

∴△CDE≌△BDF（AAS），

∴CE=BF，DE=DF，

∴AE+BF=AE+CE=AC，故①正确；

∵∠EDF=90°，

∴△DEF始终为等腰直角三角形，故④正确；

∵△CDE≌△BDF，

∴S_△CDE=S_△BDF，

∴S_四边形CEDF=S_△CDB= S_△ABC，故③正确；

∵CE=BF，AC=BC，

∴AE=CF，

∵CF²+CE²=EF²，

∴AE²+BF²=EF²，故②正确．

故选：A．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质和勾股定理．

　

13．一个n边形的每个外角都等于36°，则n=　 　．

【考点】L3：多边形内角与外角．

【专题】填空题

【分析】正n边形有n个外角，外角和为360°，那么边数n=360°÷一个外角的度数．

【解答】解：n=360°÷36°=10．

故答案为：10．

【点评】本题考查的是多边形内角与外角，用到的知识点为：正多边形的边数等于360÷正多边形的一个外角度数．

　

14．若分式 的值为零，则m=　 　．

【考点】63：分式的值为零的条件．

【专题】填空题

【分析】根据分式的值为零的条件（分子为零、分母不为零）可以求出m的值．

【解答】解：根据题意，得

m+2=0，且m﹣2≠0、m+3≠0；

解得m=﹣2；

故答案是：﹣2．

【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0．这两个条件缺一不可．

　

15．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，DF⊥AC于点F，E在AB边上，ED⊥BC于点D，∠AED=155°，则∠EDF等于　 　．

【考点】KH：等腰三角形的性质．

【专题】填空题

【分析】由于∠EDF、∠C同为∠EDC的余角，因此它们相等，欲求∠EDF，只需求得∠C或∠B的度数即可，已知了∠AED的度数，可直接利用三角形的外角性质来求得∠B的度数，由此得解．

【解答】解：∵∠B=∠AED﹣∠BDE=155°﹣90°=65°，

又∵AB=AC，

∴∠C=∠B=65°，

∵DF⊥AC，ED⊥BC，

∴∠EDF=∠C=65°，

故答案为：65°．

【点评】综合考查了三角形的外角性质和等腰三角形的性质．注意：等角的余角相等，根据这一性质是发现角相等的一种常用方法．

　

16．如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=　 　度．

【考点】R2：旋转的性质；L5：平行四边形的性质．

【专题】填空题

【分析】根据旋转的性质得出AB=AB′，∠BAB′=30°，进而得出∠B的度数，再利用平行四边形的性质得出∠C的度数．

【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，

得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），

∴AB=AB′，∠BAB′=30°，

∴∠B=∠AB′B=（180°﹣30°）÷2=75°，

∴∠C=180°﹣75°=105°．

故答案为：105．

【点评】此题主要考查了旋转的性质以及平行四边形的性质，根据已知得出∠B=∠AB′B=75°是解题关键．

　

17．如图，函数y=2x和y=ax+5的图象相交于A（m，3），则不等式2x＜ax+5的解集为　 　．

【考点】FD：一次函数与一元一次不等式．

【专题】填空题

【分析】先把点A（m，3）代入函数y=2x求出m的值，再根据函数图象即可直接得出结论．

【解答】解：∵点A（m，3）在函数y=2x的图象上，

∴3=2m，解得m= ，

∴A（ ，3），

由函数图象可知，当x＜ 时，函数y=2x的图象在函数y=ax+5图象的下方，

∴不等式2x＜ax+5的解集为：x＜ ．

故答案为：x＜ ．

【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．

　

18．如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC= CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S₁，S，S₃，若S₁+S₃=10，则S=　 　．

【考点】L5：平行四边形的性质；KK：等边三角形的性质．

【专题】填空题

【分析】根据题意，可以证明S与S₁两个平行四边形的高相等，长是S₁的2倍，S₃与S的长相等，高是S₃的一半，这样就可以把S₁和S₃用S来表示，从而计算出S的值．

【解答】解：根据正三角形的性质，∠ABC=∠HFG=∠DCE=60°，

∴AB∥HF∥DC∥GN，

设AC与FH交于P，CD与HG交于Q，

∴△PFC、△QCG和△NGE是正三角形，

∵F、G分别是BC、CE的中点，

∴BF=MF= AC= BC，CP=PF= AB= BC

∴CP=MF，CQ=BC，QG=GC=CQ=AB，

∴S₁= S，S₃=2S，

∵S₁+S₃=10，

∴ S+2S=10，

∴S=4，

故答案为：4．

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质及平行四边形的面积求法，平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即S=a•h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高．

　

19．分解因式：

(1)2（m﹣n）²+m（n﹣m）；

(2)（2x+y）²﹣（x+2y）²．

【考点】54：因式分解﹣运用公式法；53：因式分解﹣提公因式法．

【专题】解答题

【分析】(1)先变形得到原式=2（m﹣n）²﹣m（m﹣n），然后利用提公因式法分解因式；

(2)利用平方差分解因式．

【解答】解：(1)原式=2（m﹣n）²﹣m（m﹣n）

=（m﹣n）（2m﹣2n﹣m）

=（m﹣n）（m﹣2n）；

(2)原式=（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）

=3（x+y）（x﹣y）．

【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法；平方差公式：a²﹣b²=（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a²±2ab+b²=（a±b）²；也考查了提公因式法分解因式．

　

20． 并将解集在数轴上表示出来．

【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．

【专题】解答题

【分析】求出不等式的解集，根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．

【解答】解：∵解不等式①得：x≤0，

解不等式②得：x＞﹣5，

∴不等式组的解集为：﹣5＜x≤0，

在数轴上表示不等式组的解集为：

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，关键是求出不等式组的解集．

　

21．计算 ，其中 ．

【考点】6D：分式的化简求值．

【专题】解答题

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入原式进行计算即可．

【解答】解：原式= ÷

= ×

= ，

当x=2+ 时，原式= = ．

【点评】本题考查分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分、约分的灵活运用．

　

22．某市政府计划修建一处公共服务设施，使它到三所公寓A、B、C的距离相等．

(1)若三所公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

(2)若∠BAC=56°，则∠BPC=　 　°．

【考点】N4：作图—应用与设计作图．

【专题】解答题

【分析】(1)到线段两个端点距离相等的点应在线段的垂直平分线上，所以应作出任意两条线段的垂直平分线，它们的交点即为所求；

(2)连接点P和各顶点，以及AC．根据线段的垂直平分线的性质和三角形的内角和定理求解．

【解答】解：(1)如图：

．

(2)连接点P和各顶点，延长AP到D交BC于D，

∵PA=PB，

∴∠PAB=∠PBA，

同理∠PAC=∠PCA，

∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=56°，

∴∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=112°，

∵∠BPD=∠PAB+∠PBA，∠CPD=∠PAC+∠PCA，

∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=112°．

故答案为：112．

【点评】此题考查应用与设计作图．本题用到的知识点为：到线段两个端点距离相等的点应在线段的垂直平分线上；线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．等边对等角．

　

23．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．

(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；

(2)线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．

【考点】L7：平行四边形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质．

【专题】解答题

【分析】(1)证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE=EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件EF∥BC可证出结论；

(2)先证明BF=DE= BG，再证明AG=AC，可得到BF= （AB﹣AG）= （AB﹣AC）．

【解答】(1)证明：延长CE交AB于点G，

∵AE⊥CE，

∴∠AEG=∠AEC=90°，

在△AEG和△AEC中，

∴△AGE≌△ACE（ASA）．

∴GE=EC．

∵BD=CD，

∴DE为△CGB的中位线，

∴DE∥AB．

∵EF∥BC，

∴四边形BDEF是平行四边形．

(2)解：BF= （AB﹣AC）．

理由如下：

∵四边形BDEF是平行四边形，

∴BF=DE．

∵D、E分别是BC、GC的中点，

∴BF=DE= BG．

∵△AGE≌△ACE，

∴AG=AC，

∴BF= （AB﹣AG）= （AB﹣AC）．

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明GE=EC，再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键．

　

24．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

(1)求证：AD⊥CF；

(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．

【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质．

【专题】解答题

【分析】(1)欲求证AD⊥CF，先证明∠CAG+∠ACG=90°，需证明∠CAG=∠BCF，利用三角形全等，易证．

(2)要判断△ACF的形状，看其边有无关系．根据(1)的推导，易证CF=AF，从而判断其形状．

【解答】(1)证明：在等腰直角三角形ABC中，

∵∠ACB=90°，

∴∠CBA=∠CAB=45°．

又∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°．

∴∠BDE=45°．

又∵BF∥AC，

∴∠CBF=90°．

∴∠BFD=45°=∠BDE．

∴BF=DB．

又∵D为BC的中点，

∴CD=DB．

即BF=CD．

在△CBF和△ACD中，

，

∴△CBF≌△ACD（SAS）．∴∠BCF=∠CAD．

又∵∠BCF+∠GCA=90°，

∴∠CAD+∠GCA=90°．

即AD⊥CF．

(2)△ACF是等腰三角形，理由为：

连接AF，如图所示，

由(1)知：△CBF≌△ACD，∴CF=AD，

∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，

∴BE垂直平分DF，

∴AF=AD，

∵CF=AD，∴CF=AF，

∴△ACF是等腰三角形．

【点评】此题难度中等，考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形性质和判定．

　

25．为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：

运动鞋 价格	甲	乙
进价（元/双）	m	m﹣20
售价（元/双）	240	160

已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．

(1)求m的值；

(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？

(3)在(2)的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？

【考点】FH：一次函数的应用；B7：分式方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用．

【专题】解答题

【分析】(1)用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可；

(2)设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋（200﹣x）双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；

(3)设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．

【解答】解：(1)依题意得， = ，

整理得，3000（m﹣20）=2400m，

解得m=100，

经检验，m=100是原分式方程的解，

所以，m=100；

(2)设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，

根据题意得， ，

解不等式①得，x≥95，

解不等式②得，x≤105，

所以，不等式组的解集是95≤x≤105，

∵x是正整数，105﹣95+1=11，

∴共有11种方案；

(3)设总利润为W，则W=（240﹣100﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），

①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，

所以，当x=105时，W有最大值，

即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；

②当a=60时，60﹣a=0，W=16000，(2)中所有方案获利都一样；

③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，

所以，当x=95时，W有最大值，

即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．

【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，(3)要根据一次项系数的情况分情况讨论．

　

26．在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．

(1)如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．

①求证：BE=BF．

②请判断△AGC的形状，并说明理由；

(2)如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）

【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KL：等边三角形的判定；KW：等腰直角三角形．

【专题】解答题

【分析】(1)①先判定四边形ABCD是矩形，再根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，然后根据平行线的性质求出∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，再根据DF是∠ADC的平分线，利用角平分线的定义得到∠ADF=∠FDC，从而得到∠F=∠BEF，然后根据等角对等边的性质即可证明；

②连接BG，根据等腰直角三角形的性质可得∠F=∠BEF=45°，再根据等腰三角形三线合一的性质求出BG=FG，∠F=∠CBG=45°，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，再求出∠GAC+∠ACG=90°，然后求出∠AGC=90°，然后根据等腰直角三角形的定义判断即可；

(2)连接BG，根据旋转的性质可得△BFG是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出AF=AD，平行四边形的对角相等求出∠ABC=∠ADC=60°，然后求出∠CBG=60°，从而得到∠AFG=∠CBG，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，全等三角形对应角相等可得∠FAG=∠BCG，然后求出∠GAC+∠ACG=120°，再求出∠AGC=60°，然后根据等边三角形的判定方法判定即可．

【解答】(1)证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，

∴∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，

∵DF是∠ADC的平分线，

∴∠ADF=∠FDC，

∴∠F=∠BEF，

∴BF=BE；

②△AGC是等腰直角三角形．

理由如下：连接BG，

由①知，BF=BE，∠FBC=90°，

∴∠F=∠BEF=45°，

∵G是EF的中点，

∴BG=FG，∠F=∠CBG=45°，

∵∠FAD=90°，

∴AF=AD，

又∵AD=BC，

∴AF=BC，

在△AFG和△CBG中， ，

∴△AFG≌△CBG（SAS），

∴AG=CG，

∴∠FAG=∠BCG，

又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB=90°，

∴∠BCG+∠GAC+∠ACB=90°，

即∠GAC+∠ACG=90°，

∴∠AGC=90°，

∴△AGC是等腰直角三角形；

(2)连接BG，∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG，

∴△BFG是等边三角形，

∴FG=BG，∠FBG=60°，

又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，

∴∠ABC=∠ADC=60°

∴∠CBG=180°﹣∠FBG﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴∠AFG=∠CBG，

∵DF是∠ADC的平分线，

∴∠ADF=∠FDC，

∵AB∥DC，

∴∠AFD=∠FDC，

∴∠AFD=∠ADF，

∴AF=AD，

在△AFG和△CBG中， ，

∴△AFG≌△CBG（SAS），

∴AG=CG，∠FAG=∠BCG，

在△ABC中，∠GAC+∠ACG=∠ACB+∠BCG+∠GAC=∠ACB+∠BAG+∠GAC=∠ACB+∠BAC=180°﹣60°=120°，

∴∠AGC=180°﹣（∠GAC+∠ACG）=180°﹣120°=60°，

∴△AGC是等边三角形．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，难度较大，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．