【330431】初中数学北师八下第1章卷（1）

单元测试（一）

一、选择题

1．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（　　）

A．15° B．25° C．30° D．10°

2．如图，将三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A的度数是（　　）

A．35° B．65° C．55° D．25°

3．如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长是（　　）

A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对

4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点A₁处，CA₁与AB交于点N，且AN=AC，则∠A的度数是（　　）

A．30° B．36° C．50° D．60°

5．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（　　）

A．90° B．100° C．110° D．120°

6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

7．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AC上的点，且∠1=∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC=3cm，则AE等于（　　）

A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm

8．在直角△ABC中，∠C=30°，斜边AC的长为5cm，则AB的长为（　　）

A．4cm B．3cm C．2.5cm D．2cm

9．如果直角三角形中30°角所对的直角边是1cm，那么另一条直角边长是（　　）

A．1cm B．2cm C． cm D．3cm

10．10（1分）（2014春•九龙坡区校级期中）等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（　　）

A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°

11．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是（　　）

A．21 B．18 C．13 D．15

12．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（　　）

A．59° B．60° C．56° D．22°

13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，则AB²+BC²+CA²的值为（　　）

A．2 B．4 C．8 D．16

14．如图，在三角形纸片ABC中，AC=6，∠A=30°，∠C=90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（　　）

A．1 B． C． D．2

15．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有（　　）

A．AD与BD B．BD与BC C．AD与BC D．AD、BD与BC

16．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）

A．20 B．12 C．14 D．13

17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，D为AB的中点，则CD等于（　　）

A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm

二、填空题

18．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=　　．

19．如图，△ABC中，∠C=90°，AC﹣BC=2 ，△ABC的面积为7，则AB=　　．

20．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则AC=　　．

21．如图：△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=3cm，则AD=　　 cm．

22．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=BC，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），则点C的坐标为　　．

23．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD=　　．

24．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD= BC，则△ABC底角的度数为　 　．

25．若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长为20，则此直角三角形的面积为　 　．

三、解答题

26．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，且AD⊥BC于D，求证：CD=AB+BD，

　

27．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB，

(1) 求∠B的度数；

(2) 求证：CE是AB边上的中线，且CE= AB，

28．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，AB=CD=4cm，求：

(1) AD的长；

(2) 四边形ABCD的周长．

29．已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM，EM．

(1) 若DE=3，BC=8，求△DME的周长；

(2) 若∠A=60°，求证：∠DME=60°；

(3) 若BC²=2DE²，求∠A的度数．

答案与解析

1．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（　　）

A．15° B．25° C．30° D．10°

【考点】K8：三角形的外角性质．

【专题】选择题

【分析】先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．

【解答】解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，

∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，

∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，

∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°．

故选A．

【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．

　

2．如图，将三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A的度数是（　　）

A．35° B．65° C．55° D．25°

【考点】R2：旋转的性质．

【专题】选择题

【分析】根据旋转的性质，可得知∠ACA′=35°，从而求得∠A′的度数，又因为∠A的对应角是∠A′，则∠A度数可求．

【解答】解：∵△ABC绕着点C时针旋转35°，得到△AB′C′

∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90°

∴∠A′=55°，

∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′，

∴∠A=55°．

故选C．

【点评】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．解题的关键是正确确定对应角．

　

3．如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长是（　　）

A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对

【考点】KF：角平分线的性质；KW：等腰直角三角形．

【专题】选择题

【分析】由∠C=90°，根据垂直定义得到DC与AC垂直，又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，利用角平分线定理得到DC=DE，再利用HL证明三角形ACD与三角形AED全等，根据全等三角形的对应边相等可得AC=AE，又AC=BC，可得BC=AE，然后由三角形BED的三边之和表示出三角形的周长，将其中的DE换为DC，由CD+DB=BC进行变形，再将BC换为AE，由AE+EB=AB，可得出三角形BDE的周长等于AB的长，由AB的长可得出周长．

【解答】解：∵∠C=90°，∴DC⊥AC，

又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，

∴CD=ED，

在Rt△ACD和Rt△AED中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴AC=AE，又AC=BC，

∴AC=AE=BC，又AB=6cm，

∴△DEB的周长=DB+BE+ED=DB+CD+BE=BC+BE=AE+EB=AB=6cm．

故选A．

【点评】此题考查了角平分线定理，垂直的定义，直角三角形证明全等的方法﹣HL，利用了转化及等量代换的思想，熟练掌握角平分线定理是解本题的关键．

　

4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点A₁处，CA₁与AB交于点N，且AN=AC，则∠A的度数是（　　）

A．30° B．36° C．50° D．60°

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．

【专题】选择题

【分析】首先证明∠ACN=∠ANC=2∠ACM，然后证明∠A=∠ACM即可解决问题．

【解答】解：由题意知：

∠ACM=∠NCM；

又∵AN=AC，

∴∠ACN=∠ANC=2∠ACM；

∵CM是直角△ABC的斜边AB上的中线，

∴CM=AM，

∴∠A=∠ACM；

由三角形的内角和定理知：

∠A+2∠A+2∠A=180°，

∴∠A=36°，

故选：B．

【点评】该命题考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系；灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．

　

5．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（　　）

A．90° B．100° C．110° D．120°

【考点】KN：直角三角形的性质．

【专题】选择题

【分析】由三角形内角和定理求得∠A=70°；由垂直的定义得到∠AED=∠AFD=90°；然后根据四边形内角和是360度进行求解．

【解答】解：如图，∵在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，

∴∠A=70°．

∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，

∴∠AED=∠AFD=90°，

∴∠EDF=360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=110°．

故选：C．

【点评】本题考查了直角三角形的性质．注意利用隐含在题中的已知条件：三角形内角和是180°、四边形的内角和是360°．

　

6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【考点】KN：直角三角形的性质．

【专题】选择题

【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，找出与∠A互余的角．

【解答】解：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，

∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，

∴与∠A互余的角有2个，

故选C．

【点评】此题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余．

　

7．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AC上的点，且∠1=∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC=3cm，则AE等于（　　）

A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm

【考点】KO：含30度角的直角三角形；KG：线段垂直平分线的性质．

【专题】选择题

【分析】求出AE=BE，推出∠A=∠1=∠2=30°，求出DE=CE=3cm，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．

【解答】解：∵DE垂直平分AB，

∴AE=BE，

∴∠2=∠A，

∵∠1=∠2，

∴∠A=∠1=∠2，

∵∠C=90°，

∴∠A=∠1=∠2=30°，

∵∠1=∠2，ED⊥AB，∠C=90°，

∴CE=DE=3cm，

在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠A=30°，

∴AE=2DE=6cm，

故选C．

【点评】本题考查了垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出∠A=30°和得出DE的长．

　

8．在直角△ABC中，∠C=30°，斜边AC的长为5cm，则AB的长为（　　）

A．4cm B．3cm C．2.5cm D．2cm

【考点】KO：含30度角的直角三角形．

【专题】选择题

【分析】由题意可得，∠B是直角，AB= AC，直接代入即可求得AB的长．

【解答】解：∵△ABC为直角三角形，∠C=30°，

∴AB= AC=2.5，

故选C．

【点评】此题考查的是直角三角形的性质，30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半．

　

9．如果直角三角形中30°角所对的直角边是1cm，那么另一条直角边长是（　　）

A．1cm B．2cm C． cm D．3cm

【考点】KO：含30度角的直角三角形．

【专题】选择题

【分析】根据勾股定理和直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半求另一条直角边长．

【解答】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边是1cm，

∴该直角三角形的斜边是2cm，

∴另一条直角边长是： = ；

故选C．

【点评】本题考查了含30度角的直角三角形．在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．

　

10．等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（　　）

A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°

【考点】KO：含30度角的直角三角形；KH：等腰三角形的性质．

【专题】选择题

【分析】分为两种情况：①高BD在△ABC内时，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；②高CD在△ABC外时，求出∠DAC，根据平角的定义求出∠BAC即可．

【解答】解：①如图，

∵BD是△ABC的高，AB=AC，BD= AB，

∴∠A=30°，

②如图，

∵CD是△ABC边BA 上的高，DC= AC，

∴∠DAC=30°，

∴∠BAC=180°﹣30°=150°，

综上所述，这个等腰三角形的顶角等于30°或150°．

故选：C．

【点评】本题考查了等腰三角形性质和含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生能否求出符合条件的所有情况，注意：一定要分类讨论．

　

11．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是（　　）

A．21 B．18 C．13 D．15

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线．

【专题】选择题

【分析】根据“BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点”得到FM=EM= BC，所以△EFM的周长便不难求出．

【解答】解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，

∴在Rt△BCE中，EM= BC=4，

在Rt△BCF中，FM= BC=4，

∴△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13，

故选C．

【点评】本题利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

　

12．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（　　）

A．59° B．60° C．56° D．22°

【考点】K7：三角形内角和定理．

【专题】选择题

【分析】根据高线的定义可得∠AEC=90°，然后根据∠C=70°，∠ABC=48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．

【解答】解：∵BE为△ABC的高，

∴∠AEB=90°

∵∠C=70°，∠ABC=48°，

∴∠CAB=62°，

∵AF是角平分线，

∴∠1= ∠CAB=31°，

在△AEF中，∠EFA=180°﹣31°﹣90°=59°．

∴∠3=∠EFA=59°，

故选：A．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键．

　

13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，则AB²+BC²+CA²的值为（　　）

A．2 B．4 C．8 D．16

【考点】KQ：勾股定理．

【专题】选择题

【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理得到斜边的平方等于两直角边的平方和，根据斜边AB的长，可得出两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．

【解答】解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，

∴CA²+BC²=AB²，

又∵AB=2，

∴CA²+BC²=AB²=4，

则AB²+BC²+CA²=AB²+（BC²+CA²）=4+4=8，

故选C．

【点评】此题考查了勾股定理的知识，是一道基本题型，解题关键是熟练掌握勾股定理，难度一般．

　

14．如图，在三角形纸片ABC中，AC=6，∠A=30°，∠C=90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（　　）

A．1 B． C． D．2

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形．

【专题】选择题

【分析】利用翻折变换及勾股定理的性质．

【解答】解：∵∠A=30°，∠C=90°，

∴∠CBD=60°．

∵将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，

∴∠A=∠DBE=∠EBC=30°．

∵∠EBC=∠DBE，∠BCE=∠BDE=90°，BE=BE，

∴△BCE≌△BDE．

∴CE=DE．

∵AC=6，∠A=30°，

∴BC=AC×tan30°=2 ．

∵∠CBE=30°．

∴CE=2．即DE=2，

故选D．

【点评】考查了学生运用翻折变换及勾股定理等来综合解直角三角形的能力．

　

15．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有（　　）

A．AD与BD B．BD与BC C．AD与BC D．AD、BD与BC

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线．

【专题】选择题

【分析】由“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，得CD= AB，又因为点D是AB的中点，故得与CD相等的线段．

【解答】解：∵CD= AB，点D是AB的中点，

∴AD=BD= AB，

∴CD=AD=BD，

故选A．

【点评】本题利用了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

　

16．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）

A．20 B．12 C．14 D．13

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KH：等腰三角形的性质．

【专题】选择题

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE= AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．

【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，

∴AD⊥BC，CD=BD= BC=4，

∵点E为AC的中点，

∴DE=CE= AC=5，

∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14，

故选：C．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

　

17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，D为AB的中点，则CD等于（　　）

A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线．

【专题】选择题

【分析】本题涉及到的知识点是“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，所以有CD= AB，故可直接求得结果．

【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

∴CD= AB=2.5cm．

故选B．

【点评】此题主要是考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

　

18．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=　　．

【考点】KO：含30度角的直角三角形．

【专题】填空题

【分析】由于∠C=90°，∠ABC=60°，可以得到∠A=30°，又由BD平分∠ABC，可以推出∠CBD=∠ABD=∠A=30°，∴BD=AD=6，再由30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．

【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=60°，

∴∠A=30°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°，

∴BD=AD=6，

∴CD= BD=6× =3．

故答案为：3．

【点评】本题利用了直角三角形的性质和角的平分线的性质求解．

　

19．如图，△ABC中，∠C=90°，AC﹣BC=2 ，△ABC的面积为7，则AB=　　．

【考点】KQ：勾股定理．

【专题】填空题

【分析】先根据AC﹣BC=2 得出（AC﹣BC）²=8，再根据△ABC的面积等于7得出AC•BC的值，进而可得出结论．

【解答】解：∵AC﹣BC=2 ，

∴（AC﹣BC）²=8①．

∵S△ABC= AC•BC=7，

∴AC•BC=14②，

把②代入①得，AC²+BC²=36，

∴AB= =6．

故答案为：6．

【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

　

20．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则AC=　　．

【考点】KO：含30度角的直角三角形．

【专题】填空题

【分析】根据三角形内角和定理和角平分线定义求出∠A=∠ABD=∠CBD=30°，求出AD=BD=6，CD= BD=3，即可求出答案．

【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，

∠A=90°﹣60°=30°，∠CBD=∠ABD= ∠ABC=30°，

∴∠A=∠ABD，

∴AD=BD=，

∵AD=6，

∴BD=6，

∴CD= BD=3，

∴AC=6+3=9，

故答案为：9．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是求出AD=BD和CD= BD，题目比较好，难度适中．

　

21．如图：△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=3cm，则AD=　　 cm．

【考点】KO：含30度角的直角三角形．

【专题】填空题

【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD=∠A=30°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC、AB的长，然后根据AD=AB﹣BD计算即可得解．

【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，

∴∠BCD=∠A=30°，

∵BD=3cm，

∴BC=2BD=6cm，AB=2BC=12cm，

∴AD=AB﹣BD=9cm．

故答案是：9．

【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．

　

22．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=BC，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），则点C的坐标为　　．

【考点】KW：等腰直角三角形；D5：坐标与图形性质；KD：全等三角形的判定与性质．

【专题】填空题

【分析】先根据AAS判定△ACD≌△BAO，得出CD=AO，AD=BO，再根据点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），求得CD和OD的长，得出点C的坐标．

【解答】解：过C作CD⊥x轴于D，则∠CDA=∠AOB=90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠CAB=90°，

又∵∠AOB=90°，

∴∠CAD+∠BAO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠CAD=∠ABO，

在△ACD和△BAO中，

，

∴△ACD≌△BAO（AAS），

∴CD=AO，AD=BO，

又∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），

∴CD=AO=2，AD=BO=1，

∴DO=3，

又∵点C在第三象限，

∴点C的坐标为（﹣3，2）．

故答案为：（﹣3，2）．

【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是根据全等三角形的性质，求得点C到坐标轴的距离．

　

23．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD=　　．

【考点】KO：含30度角的直角三角形；KF：角平分线的性质．

【专题】填空题

【分析】根据角平分线性质求出∠BAD的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD．

【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°，

AD平分∠CAB，

∴∠BAD=30°，

∴BD=AD=2CD=2，

故答案为2．

【点评】本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用，求出AD的长是解此题的关键．

　

24．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD= BC，则△ABC底角的度数为　 　．

【考点】KO：含30度角的直角三角形；KH：等腰三角形的性质．

【专题】填空题

【分析】分四种情况：①当AB=AC时，根据AD= BC，可得出底角为45度；②当AB=BC时，根据AD= BC，可得出底角为15度．③当AC=BC时，底角等于75°④点A是底角顶点，且AD在△ABC外部时．

【解答】解：分四种情况进行讨论：

①当AB=AC时，∵AD⊥BC，∴BD=CD，

∵AD= BC，

∴AD=BD=CD，

∴底角为45度；

②当AB=BC时，

∵AD= BC，

∴AD= AB，

∴∠ABD=30°，

∴∠BAC=∠BCA=75°，

∴底角为75度．

③当AC=BC时，

∵AD= BC，AC=BC，

∴AD= AC，

∴∠C=30°，

∴∠BAC=∠ABC= （180°﹣30°）=75°；

④点A是底角顶点，且AD在△ABC外部时，

∵AD= BC，AC=BC，

∴AD= AC，

∴∠ACD=30°，

∴∠BAC=∠ABC= ×30°=15°，

故答案为15°或45°或75°．

【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及等腰三角形的性质，注意分类讨论思想的运用．

　

25．若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长为20，则此直角三角形的面积为　 　．

【考点】KQ：勾股定理．

【专题】填空题

【分析】先根据比值设出直角三角形的两直角边，用勾股定理求出未知数x，即两条直角边，用面积公式计算即可．

【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为3x，4x（x＞0），

根据勾股定理得，（3x）²+（4x）²=20²，

∴x=4或x=﹣4（舍），

∴3x=12，4x=16

∴直角三角形的两直角边分别为12，16，

∴直角三角形的面积为 ×12×16=96，

故答案为96．

【点评】此题是勾股定理的应用，主要考查了勾股定理，三角形的面积计算方法，解本题的关键是用勾股定理求出直角边．

　

26．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，且AD⊥BC于D，求证：CD=AB+BD，

【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质．

【专题】解答题

【分析】在DC上取DE=BD，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB=AE，根据等边对等角的性质可得∠B=∠AEB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C=∠CAE，再根据等角对等边的性质求出AE=CE，然后即可得证．

【解答】证明：如图，在DC上取DE=BD，

∵AD⊥BC，

∴AB=AE，

∴∠B=∠AEB，

在△ACE中，∠AEB=∠C+∠CAE，

又∵∠B=2∠C，

∴2∠C=∠C+∠CAE，

∴∠C=∠CAE，

∴AE=CE，

∴CD=CE+DE=AB+BD，

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．

　

27．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB，

(1) 求∠B的度数；

(2) 求证：CE是AB边上的中线，且CE= AB，

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KJ：等腰三角形的判定与性质．

【专题】解答题

【分析】(1) 利用直角△BCD的两个锐角互余的性质进行解答；

(2) 利用已知条件和(1) 中的结论可以得到△ACE是等边三角形和△BCE为等腰三角形，利用等腰三角形的性质证得结论．

【解答】(1) 解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD，CE三等分∠ACB，

∴∠ACD=∠DCE=∠BCE=30°，则∠BCD=60°，

又∵CD为高，

∴∠B=90°﹣60°=30°

30°；

(2) 证明：由(1) 知，∠B=∠BCE=30°，则CE=BE，AC= AB，

∵∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠A=60°，

又∵由(1) 知，∠ACD=∠DCE=30°，

∴∠ACE=∠A=60°，

∴△ACE是等边三角形，

∴AC=AE=EC= AB，

∴AE=BE，即点E是AB的中点．

∴CE是AB边上的中线，且CE= AB，

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线．本题解题过程中利用了“等角对等边”以及等边三角形的判定与性质证得(2) 的结论的．

　

28．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，AB=CD=4cm，求：

(1) AD的长；

(2) 四边形ABCD的周长．

【考点】JA：平行线的性质．

【专题】解答题

【分析】(1) 根据AD∥BC，可得∠ADB=∠CBD；根据BD平分∠ABC，可得∠ABD=∠DBC，于是得到∠ABD=∠ADB，所以可证AB=AD；

(2) 证出△BCD是直角三角形，利用30°的角所对的直角边是斜边的一半，即可求出BC的长．

【解答】(1) 解：∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AD=AB=4cm；

(2) 解：∵AD∥BC，∠A=120°，∠C=60°，

∴∠ADC=120°，∠ABC=60°，∠ADB=∠DBC；

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠ADB=30°，∠BDC=90°；

∴AB=AD，BC=2CD；又AB=CD=4cm，

∴AD=4，BC=8，

∴AB+BC+CD+AD=4+8+4+4=20（cm），

∴四边形ABCD的周长为20cm．

【点评】本题考查了等腰梯形的性质的运用，角平分线的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，勾股定理的运用及等腰梯形的周长．在解答中掌握等腰梯形的周长的算法是关键．

　

29．已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM，EM．

(1) 若DE=3，BC=8，求△DME的周长；

(2) 若∠A=60°，求证：∠DME=60°；

(3) 若BC²=2DE²，求∠A的度数．

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KJ：等腰三角形的判定与性质．

【专题】解答题

【分析】(1) 根据直角三角形斜边上中线性质求出DM= BC=4，EM= BC=4，即可求出答案；

(2) 根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DM=BM，EM=CM，推出∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，根据三角形内角和定理求出即可；

(3) 求出EM= EN，解直角三角形求出∠EMD度数，根据三角形的内角和定理求出即可．

【解答】解：(1) ∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，

∴∠BDC=∠BEC=90°，

∵M是线段BC的中点，BC=8，

∴DM= BC=4，EM= BC=4，

∴△DME的周长是DE+EM+DM=3+4+4=11；

(2) 证明：∵∠A=60°，

∴∠ABC+∠ACB=120°，

∵∠BDC=∠BEC=90°，M是线段BC的中点，

∴DM=BM，EM=CM，

∴∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，

∴∠EMC+∠DMB=∠ABC+∠ACB=120°，

∴∠DME=180°﹣120°=60°；

(3) 解：过M作MN⊥DE于N，

∵DM=EM，

∴EN=DN= DE，∠ENM=90°，

∵EM=DM= BC，DN=EN= DE，BC²=2DE²，

∴（2EM）²=2（2EN）²，

∴EM= EN，

∴sin∠EMN= = ，

∴∠EMN=45°，

同理∠DMN=45°，

∴∠DME=90°，

∴∠DMB+∠EMC=180°﹣90°=90°，

∵∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，

∴∠ABC+∠ACB= （180°﹣∠DMB+180°﹣∠EMC）=135°，

∴∠BAC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=45°．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，本题综合性比较强，有一定的难度，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．