【330374】2020年浙江省宁波市中考数学试卷

2020年浙江省宁波市中考数学试卷

一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．（4分） 的相反数为 　　

A． B． C． D．3

2．（4分）下列计算正确的是 　　

A． B． C． D．

3．（4分）2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长 ，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为 　　

A． B． C． D．

4．（4分）如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是 　　

A． B．

C． D．

5．（4分）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 　　

A． B． C． D．

6．（4分）二次根式 中字母 的取值范围是 　　

A． B． C． D．

7．（4分）如图，在 中， ， 为中线，延长 至点 ，使 ，连结 ， 为 中点，连结 ．若 ， ，则 的长为 　　

A．2 B．2.5 C．3 D．4

8．（4分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长 尺，绳子长 尺，那么可列方程组为 　　

A． B．

C． D．

9．（4分）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴正半轴交于点 ，它的对称轴为直线 ．则下列选项中正确的是 　　

A． B．

C． D．当 为实数）时，

10．（4分） 和 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形 内．若求五边形 的周长，则只需知道 　　

A． 的周长 B． 的周长

C．四边形 的周长 D．四边形 的周长

二、填空题（每小题5分，共30分）

11．（5分）实数8的立方根是　　．

12．（5分）分解因式： 　　．

13．（5分）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数 （单位：千克）及方差 （单位：千克 如表所示：

	甲	乙	丙
	45	45	42
	1.8	2.3	1.8

明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是　　．

14．（5分）如图，折扇的骨柄长为 ，折扇张开的角度为 ，图中 的长为　　 （结果保留 ．

15．（5分）如图， 的半径 ， 是 上的动点（不与点 重合），过点 作 的切线 ， ，连结 ， ．当 是直角三角形时，其斜边长为　　．

16．（5分）如图，经过原点 的直线与反比例函数 的图象交于 ， 两点（点 在第一象限），点 ， ， 在反比例函数 的图象上， 轴， 轴，五边形 的面积为56，四边形 的面积为32，则 的值为　　， 的值为　　．

三、解答题（本大题有8小题，共80分）

17．（8分）（1）计算： ．

（2）解不等式： ．

18．（8分）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：

（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．

（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．

（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）

19．（8分）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条 ， ．

（1）求车位锁的底盒长 ．

（2）若一辆汽车的底盘高度为 ，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？

（参考数据： ， ，

20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 图象的顶点是 ，与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．点 的坐标是 ．

（1）求 ， 两点的坐标，并根据图象直接写出当 时 的取值范围．

（2）平移该二次函数的图象，使点 恰好落在点 的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

21．（10分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分 均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格 ，合格 ，良好 ，优秀 ，制作了如图统计图（部分信息未给出）．

由图中给出的信息解答下列问题：

（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．

（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．

（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？

（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？

22．（10分） ， 两地相距200千米．早上 货车甲从 地出发将一批物资运往 地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与 地联系． 地收到消息后立即派货车乙从 地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往 地．两辆货车离开各自出发地的路程 （千米）与时间 （小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）

（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程 关于 的函数表达式．

（2）因实际需要，要求货车乙到达 地的时间比货车甲按原来的速度正常到达 地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回 地的速度至少为每小时多少千米？

23．（12分）【基础巩固】

（1）如图1，在 中， 为 上一点， ．求证： ．

【尝试应用】

（2）如图2，在 中， 为 上一点， 为 延长线上一点， ．若 ， ，求 的长．

【拓展提高】

（3）如图3，在菱形 中， 是 上一点， 是 内一点， ， ， ， ， ，求菱形 的边长．

24．（14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

（1）如图1， 是 中 的遥望角，若 ，请用含 的代数式表示 ．

（2）如图2，四边形 内接于 ， ，四边形 的外角平分线 交 于点 ，连结 并延长交 的延长线于点 ．求证： 是 中 的遥望角．

（3）如图3，在（2）的条件下，连结 ， ，若 是 的直径．

①求 的度数；

②若 ， ，求 的面积．

2020年浙江省宁波市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．（4分） 的相反数为 　　

A． B． C． D．3

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答．

【解答】解： 的相反数是3．

故选： ．

【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．

2．（4分）下列计算正确的是 　　

A． B． C． D．

【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．

【解答】解： 、 ，故此选项错误；

、 ，故此选项错误；

、 ，正确；

、 ，不是同类项，不能合并，故此选项错误；

故选： ．

【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．

3．（4分）2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长 ，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为 　　

A． B． C． D．

【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．

【解答】解： ，

故选： ．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．

4．（4分）如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是 　　

A． B．

C． D．

【分析】根据主视图的意义和画法可以得出答案．

【解答】解：根据主视图的意义可知，从正面看物体所得到的图形，选项 符合题意，

故选： ．

【点评】考查简单几何体的三视图的画法，主视图就是从正面看物体所得到的图形．

5．（4分）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 　　

A． B． C． D．

【分析】根据概率公式计算．

【解答】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率 ．

故选： ．

【点评】本题考查了概率公式：随机事件 的概率 （A） 事件 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．

6．（4分）二次根式 中字母 的取值范围是 　　

A． B． C． D．

【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．

【解答】解：由题意得， ，

解得 ．

故选： ．

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

7．（4分）如图，在 中， ， 为中线，延长 至点 ，使 ，连结 ， 为 中点，连结 ．若 ， ，则 的长为 　　

A．2 B．2.5 C．3 D．4

【分析】利用勾股定理求得 ；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得 的长度；结合题意知线段 是 的中位线，则 ．

【解答】解： 在 中， ， ， ，

．

又 为中线，

．

为 中点， 即点 是 的中点，

是 的中位线，则 ．

故选： ．

【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段 的长度和线段 是 的中位线．

8．（4分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长 尺，绳子长 尺，那么可列方程组为 　　

A． B．

C． D．

【分析】直接利用“绳长 木条 ； 绳子 木条 ”分别得出等式求出答案．

【解答】解：设木条长 尺，绳子长 尺，那么可列方程组为：

．

故选： ．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．

9．（4分）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴正半轴交于点 ，它的对称轴为直线 ．则下列选项中正确的是 　　

A． B．

C． D．当 为实数）时，

【分析】由图象开口向上，可知 ，与 轴的交点在 轴的上方，可知 ，根据对称轴方程得到 ，于是得到 ，故 错误；根据一次函数 的图象与 轴的交点，得到 ，求得 ，故 错误；根据对称轴方程得到 ，当 时， ，于是得到 ，故 错误；当 为实数）时，代入解析式得到 ，于是得到 ，故 正确．

【解答】解：由图象开口向上，可知 ，

与 轴的交点在 轴的上方，可知 ，

又对称轴方程为 ，所以 ，所以 ，

，故 错误 ；

一次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，

，

，故 错误；

，

，

当 时， ，

，

，故 错误；

当 为实数）时， ，

， ， ，

，故 正确，

故选： ．

【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．

10．（4分） 和 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形 内．若求五边形 的周长，则只需知道 　　

A． 的周长 B． 的周长

C．四边形 的周长 D．四边形 的周长

【分析】证明 ，得出 ．由题意可知 ，则得出五边形 的周长 ，则可得出答案．

【解答】解： 为等边三角形，

， ，

，

为等边三角形，

， ，

，

，

，

．

和 是两个全等的等边三角形，

，

五边形 的周长 ，

，

．

只需知道 的周长即可．

故选： ．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

二、填空题（每小题5分，共30分）

11．（5分）实数8的立方根是　2　．

【分析】根据立方根的性质和求法，求出实数8的立方根是多少即可．

【解答】解：实数8的立方根是：

．

故答案为：2．

【点评】此题主要考查了立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．

12．（5分）分解因式： 　 　．

【分析】首先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式得出答案．

【解答】解：

．

故答案为： ．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．

13．（5分）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数 （单位：千克）及方差 （单位：千克 如表所示：

	甲	乙	丙
	45	45	42
	1.8	2.3	1.8

明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是　甲　．

【分析】先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定．

【解答】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，

又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，

即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；

故答案为：甲．

【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数．

14．（5分）如图，折扇的骨柄长为 ，折扇张开的角度为 ，图中 的长为　 　 （结果保留 ．

【分析】根据弧长公式即可得到结论．

【解答】解： 折扇的骨柄长为 ，折扇张开的角度为 ，

的长 ，

故答案为： ．

【点评】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．

15．（5分）如图， 的半径 ， 是 上的动点（不与点 重合），过点 作 的切线 ， ，连结 ， ．当 是直角三角形时，其斜边长为　 或 　．

【分析】当 时，连接 ，根据切线的性质得到 ，根据勾股定理得到 ．

【解答】解： 是 的切线，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

，

当 是直角三角形时，① ，连接 ，

，

；

②当 是直角三角形时， ，连接 ，

是 的切线，

，

，

是等腰直角三角形，

，

故答案为： 或 ．

【点评】本题考查了切线的性质．勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．

16．（5分）如图，经过原点 的直线与反比例函数 的图象交于 ， 两点（点 在第一象限），点 ， ， 在反比例函数 的图象上， 轴， 轴，五边形 的面积为56，四边形 的面积为32，则 的值为　24　， 的值为　　．

【分析】如图，连接 ， ， ， ，延长 交 的延长线于 ，设 交 轴于 ．求出证明四边形 是平行四边形，推出 ，推出 ，可得 ，推出 ．再证明 ，证明 ，推出 ，再证明 即可解决问题．

【解答】解：如图，连接 ， ， ， ，延长 交 的延长线于 ，设 交 轴于 ．

由题意 ， 关于原点对称，

， 的纵坐标的绝对值相等，

，

， 的纵坐标的绝对值相等，

， 在反比例函数 的图象上，

， 关于原点对称，

， ， 共线，

， ， 四边形 是平行四边形，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，设 ，则 ， ， ，

，

，

．

故答案为24， ．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

三、解答题（本大题有8小题，共80分）

17．（8分）（1）计算： ．

（2）解不等式： ．

【分析】（1）直接利用单项式乘以多项式以及完全平方公式分别计算得出答案；

（2）直接利用一元一次不等式的解法进而计算即可．

【解答】解：（1）

；

（2）

，

移项得： ，

合并同类项，系数化1得： ．

【点评】此题主要考查了一元一次不等式的解法以及单项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．

18．（8分）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：

（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．

（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．

（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）

【分析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）．

（2）根据中心对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）．

【解答】解：（1）轴对称图形如图1所示．

（2）中心对称图形如图2所示．

【点评】本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

19．（8分）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条 ， ．

（1）求车位锁的底盒长 ．

（2）若一辆汽车的底盘高度为 ，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？

（参考数据： ， ，

【分析】（1）过点 作 于点 ，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．

（2）根据锐角三角函数的定义求出 的长度即可判断．

【解答】解：（1）过点 作 于点 ，

，

，

在 中， ， ，

，

．

（2）在 中，

，

，

当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型．

20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 图象的顶点是 ，与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．点 的坐标是 ．

（1）求 ， 两点的坐标，并根据图象直接写出当 时 的取值范围．

（2）平移该二次函数的图象，使点 恰好落在点 的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

【分析】（1）利用待定系数法求出 ，再求出点 的坐标即可解决问题．

（2）由题意点 平移的 ，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，由此可得抛物线的解析式．

【解答】解：（1）把 代入 ，得 ，解得 ，

，

，

对称轴 ， ， 关于 对称，

，

当 时， ．

（2） ，

点 平移的 ，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为 ．

【点评】本题考查抛物线与 轴的交点，二次函数的性质，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

21．（10分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分 均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格 ，合格 ，良好 ，优秀 ，制作了如图统计图（部分信息未给出）．

由图中给出的信息解答下列问题：

（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．

（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．

（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？

（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？

【分析】（1）根据基本合格人数已经百分比求出总人数即可解决问题．

（2）根据圆心角 百分比计算即可．

（3）根据中位数的定义判断即可．

（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可．

【解答】解：（1） （人 ，

（人 ，

直方图如图所示：

（2）“良好”所对应的扇形圆心角的度数 ．

（3）这次测试成绩的中位数是良好．

（4） （人 ，

答：估计该校获得优秀的学生有300人．

【点评】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，扇形统计图，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

22．（10分） ， 两地相距200千米．早上 货车甲从 地出发将一批物资运往 地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与 地联系． 地收到消息后立即派货车乙从 地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往 地．两辆货车离开各自出发地的路程 （千米）与时间 （小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）

（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程 关于 的函数表达式．

（2）因实际需要，要求货车乙到达 地的时间比货车甲按原来的速度正常到达 地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回 地的速度至少为每小时多少千米？

【分析】（1）由待定系数法可求出函数解析式；

（2）根据图中的信息求出乙返回 地所需的时间，由题意可列出不等式 ，解不等式即可得出答案．

【解答】解：（1）设函数表达式为 ，

把 ， 代入 ，得 ，

解得： ，

关于 的函数表达式为 ；

（2）当 时，

，

解得 ，

由图可甲的速度为 （千米 小时），

货车甲正常到达 地的时间为 （小时），

（小时）， （小时）， （小时），

设货车乙返回 地的车速为 千米 小时，

，

解得 ．

答：货车乙返回 地的车速至少为75千米 小时．

【点评】本题考查了一次函数的应用；待定系数法求函数的解析式，根据数形结合得到甲乙相应的速度以及相应的时间是解决本题的关键．

23．（12分）【基础巩固】

（1）如图1，在 中， 为 上一点， ．求证： ．

【尝试应用】

（2）如图2，在 中， 为 上一点， 为 延长线上一点， ．若 ， ，求 的长．

【拓展提高】

（3）如图3，在菱形 中， 是 上一点， 是 内一点， ， ， ， ， ，求菱形 的边长．

【分析】（1）证明 ，得出 ，则可得出结论；

（2）证明 ，得出比例线段 ，则 ，求出 ，则可求出 ．

（3）分别延长 ， 相交于点 ，证得四边形 为平行四边形，得出 ， ， ，证明 ，得出比例线段 ，则 ，可求出 ，则答案可求出．

【解答】解：（1）证明： ， ，

，

，

．

（2） 四边形 是平行四边形，

， ，

又 ，

，

又 ，

，

，

，

，

．

（3）如图，分别延长 ， 相交于点 ，

四边形 是菱形，

， ，

，

四边形 为平行四边形，

， ， ，

，

，

，

又 ，

，

，

，

又 ，

，

，

又 ，

，

．

【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．

24．（14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

（1）如图1， 是 中 的遥望角，若 ，请用含 的代数式表示 ．

（2）如图2，四边形 内接于 ， ，四边形 的外角平分线 交 于点 ，连结 并延长交 的延长线于点 ．求证： 是 中 的遥望角．

（3）如图3，在（2）的条件下，连结 ， ，若 是 的直径．

①求 的度数；

②若 ， ，求 的面积．

【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论；

（2）由圆内接四边形的性质得出 ，得出 ，证得 ，证出 ，则 是 的外角平分线，可得出结论；

（3）①连接 ，由条件得出 ，则 ，得出 ，证明 ，由全等三角形的性质得出 ，则 ，得出 ，则可求出答案；

②过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，证得 ，得出 ，求出 ，设 ， ，则有 ，解得 ，求出 ， 的长，求出 ，由等腰直角三角形的性质求出 ，根据三角形的面积公式可得出答案．

【解答】解：（1） 平分 ， 平分 ，

，

（2）如图1，延长 到点 ，

四边形 内接于 ，

，

又 ，

，

平分 ，

，

，

，

是 的平分线，

，

，

， ，

，

，

是 的外角平分线，

是 中 的遥望角．

（3）①如图2，连接 ，

是 中 的遥望角，

，

，

，

，

，

，

，

又 ， ，

，

，

，

是 的直径，

，

，

，

②如图3，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，

是 的直径，

，

平分 ，

，

，

，

，

，

，

，

，

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在 中， ，

在 中， ，

，

在 中， ，

设 ， ，则有 ，

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，

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，

，

，

，

，

，

，

．

【点评】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．