2020年浙江省丽水市中考数学试卷
一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)实数3的相反数是
A.
B.3 C.
D.
2.(3分)分式
的值是零,则
的值为
A.2 B.5 C.
D.
3.(3分)下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是
A.
B.
C.
D.
4.(3分)下列四个图形中,是中心对称图形的是
A.
B.
C.
D.
5.(3分)如图,有一些写有号码的卡片,它们的背面都相同,现将它们背面朝上,从中任意摸出一张,摸到1号卡片的概率是
A.
B.
C.
D.
6.(3分)如图,工人师傅用角尺画出工件边缘
的垂线
和
,得到
.理由是
A.连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短
B.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C.在同一平面内,过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
7.(3分)已知点
,
,
,
在函数
的图象上,则下列判断正确的是
A.
B.
C.
D.
8.(3分)如图,
是等边
的内切圆,分别切
,
,
于点
,
,
,
是
上一点,则
的度数是
A.
B.
C.
D.
9.(3分)如图,在编写数学谜题时,“□”内要求填写同一个数字,若设“□”内数字为
.则列出方程正确的是
A.
B.
C.
D.
10.(3分)如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到正方形
与正方形
.连结
,
相交于点
、
与
相交于点
.若
,则
的值是
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分)
11.(4分)点
在第二象限内,则
的值可以是(写出一个即可) .
12.(4分)数据1,2,4,5,3的中位数是 .
13.(4分)如图为一个长方体,则该几何体主视图的面积为
.
14.(4分)如图,平移图形
,与图形
可以拼成一个平行四边形,则图中
的度数是
.
15.(4分)如图是小明画的卡通图形,每个正六边形的边长都相等,相邻两正六边形的边重合,点
,
,
均为正六边形的顶点,
与地面
所成的锐角为
.则
的值是 .
16.(4分)图1是一个闭合时的夹子,图2是该夹子的主视示意图,夹子两边为
,
(点
与点
重合),点
是夹子转轴位置,
于点
,
于点
,
,
,
,
.按图示方式用手指按夹子,夹子两边绕点
转动.
(1)当
,
两点的距离最大时,以点
,
,
,
为顶点的四边形的周长是
.
(2)当夹子的开口最大(即点
与点
重合)时,
,
两点的距离为
.
三、解答题(本题有8小题,共66分,各小题都必须写出解答过程)
17.(6分)计算:
.
18.(6分)解不等式:
.
19.(6分)某市在开展线上教学活动期间,为更好地组织初中学生居家体育锻炼,随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查(每人必须且只选其中一项),得到如图两幅不完整的统计图表.请根据图表信息回答下列问题:
抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表
类别 |
项目 |
人数(人 |
|
跳绳 |
59 |
|
健身操 |
▲ |
|
俯卧撑 |
31 |
|
开合跳 |
▲ |
|
其它 |
22 |
(1)求参与问卷调查的学生总人数.
(2)在参与问卷调查的学生中,最喜爱“开合跳”的学生有多少人?
(3)该市共有初中学生约8000人,估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数.
20.(8分)如图,
的半径
,
于点
,
.
(1)求弦
的长.
(2)求
的长.
21.(8分)某地区山峰的高度每增加1百米,气温大约降低
,气温
和高度
(百米)的函数关系如图所示.
请根据图象解决下列问题:
(1)求高度为5百米时的气温;
(2)求
关于
的函数表达式;
(3)测得山顶的气温为
,求该山峰的高度.
22.(10分)如图,在
中,
,
,
.
(1)求
边上的高线长.
(2)点
为线段
的中点,点
在边
上,连结
,沿
将
折叠得到
.
①如图2,当点
落在
上时,求
的度数.
②如图3,连结
,当
时,求
的长.
23.(10分)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数
图象的顶点为
,与
轴交于点
,异于顶点
的点
在该函数图象上.
(1)当
时,求
的值.
(2)当
时,若点
在第一象限内,结合图象,求当
时,自变量
的取值范围.
(3)作直线
与
轴相交于点
.当点
在
轴上方,且在线段
上时,求
的取值范围.
24.(12分)如图,在平面直角坐标系中,正方形
的两直角边分别在坐标轴的正半轴上,分别过
,
的中点
,
作
,
的平行线,相交于点
,已知
.
(1)求证:四边形
为菱形.
(2)求四边形
的面积.
(3)若点
在
轴正半轴上(异于点
,点
在
轴上,平面内是否存在点
,使得以点
,
,
,
为顶点的四边形与四边形
相似?若存在,求点
的坐标;若不存在,试说明理由.
2020年浙江省丽水市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)实数3的相反数是
A.
B.3 C.
D.
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案.
【解答】解:实数3的相反数是:
.
故选:
.
【点评】此题主要考查了实数的性质,正确掌握相反数的定义是解题关键.
2.(3分)分式
的值是零,则
的值为
A.2 B.5 C.
D.
【分析】利用分式值为零的条件可得
,且
,再解即可.
【解答】解:由题意得:
,且
,
解得:
,
故选:
.
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件,关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.注意:“分母不为零”这个条件不能少.
3.(3分)下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是
A.
B.
C.
D.
【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式,两项都能写成平方的形式,且符号相反进行分析即可.
【解答】解:
、
不能运用平方差公式分解,故此选项错误;
、
不能运用平方差公式分解,故此选项错误;
、
能运用平方差公式分解,故此选项正确;
、
不能运用平方差公式分解,故此选项错误;
故选:
.
【点评】此题考查了平方差公式,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.
4.(3分)下列四个图形中,是中心对称图形的是
A.
B.
C.
D.
【分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解.
【解答】解:
、该图形不是中心对称图形,故本选项不合题意;
、该图形不是中心对称图形,故本选项不合题意;
、该图形是中心对称图形,故本选项符合题意;
、该图形不是中心对称图形,故本选项不合题意;
故选:
.
【点评】本题考查了中心对称图形的概念,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
5.(3分)如图,有一些写有号码的卡片,它们的背面都相同,现将它们背面朝上,从中任意摸出一张,摸到1号卡片的概率是
A.
B.
C.
D.
【分析】根据概率公式直接求解即可.
【解答】解:
共有6张卡片,其中写有1号的有3张,
从中任意摸出一张,摸到1号卡片的概率是
;
故选:
.
【点评】此题考查了概率的求法,用到的知识点为:可能性等于所求情况数与总情况数之比.
6.(3分)如图,工人师傅用角尺画出工件边缘
的垂线
和
,得到
.理由是
A.连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短
B.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C.在同一平面内,过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可.
【解答】解:由题意
,
,
(垂直于同一条直线的两条直线平行),
故选:
.
【点评】本题考查平行线的判定,平行公理等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
7.(3分)已知点
,
,
,
在函数
的图象上,则下列判断正确的是
A.
B.
C.
D.
【分析】根据反比例函数的性质得到函数
的图象分布在第一、三象限,在每一象限,
随
的增大而减小,则
,
.
【解答】解:
,
函数
的图象分布在第一、三象限,在每一象限,
随
的增大而减小,
,
,
,
.
故选:
.
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.
8.(3分)如图,
是等边
的内切圆,分别切
,
,
于点
,
,
,
是
上一点,则
的度数是
A.
B.
C.
D.
【分析】如图,连接
,
.求出
的度数即可解决问题.
【解答】解:如图,连接
,
.
是
的内切圆,
,
是切点,
,
,
,
是等边三角形,
,
,
,
故选:
.
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心,切线的性质,圆周角定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
9.(3分)如图,在编写数学谜题时,“□”内要求填写同一个数字,若设“□”内数字为
.则列出方程正确的是
A.
B.
C.
D.
【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可.
【解答】解:设“□”内数字为
,根据题意可得:
.
故选:
.
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程,正确表示十位数是解题关键.
10.(3分)如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到正方形
与正方形
.连结
,
相交于点
、
与
相交于点
.若
,则
的值是
A.
B.
C.
D.
【分析】证明
,得出
.设
,则
,
,由勾股定理得出
,则可得出答案.
【解答】解:
四边形
为正方形,
,
,
,
,
,
又
,
,
,
,
,
,
.
设
,
为
,
的交点,
,
,
四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,
,
,
,
.
故选:
.
【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,直角三角形的性质等知识,熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键.
二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分)
11.(4分)点
在第二象限内,则
的值可以是(写出一个即可)
(答案不唯一). .
【分析】直接利用第二象限内点的坐标特点得出
的取值范围,进而得出答案.
【解答】解:
点
在第二象限内,
,
则
的值可以是
(答案不唯一).
故答案为:
(答案不唯一).
【点评】此题主要考查了点的坐标,正确得出
的取值范围是解题关键.
12.(4分)数据1,2,4,5,3的中位数是 3 .
【分析】先将题目中的数据按照从小到大排列,即可得到这组数据的中位数.
【解答】解:数据1,2,4,5,3按照从小到大排列是1,2,3,4,5,
则这组数据的中位数是3,
故答案为:3.
【点评】本题考查中位数,解答本题的关键是明确中位数的含义,会求一组数据的中位数.
13.(4分)如图为一个长方体,则该几何体主视图的面积为 20
.
【分析】根据从正面看所得到的图形,即可得出这个几何体的主视图的面积.
【解答】解:该几何体的主视图是一个长为5,宽为4的矩形,所以该几何体主视图的面积为
.
故答案为:20.
【点评】本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图.
14.(4分)如图,平移图形
,与图形
可以拼成一个平行四边形,则图中
的度数是 30
.
【分析】根据平行四边形的性质解答即可.
【解答】解:
四边形
是平行四边形,
,
,
故答案为:30.
【点评】此题考查平行四边形的性质,关键是根据平行四边形的邻角互补解答.
15.(4分)如图是小明画的卡通图形,每个正六边形的边长都相等,相邻两正六边形的边重合,点
,
,
均为正六边形的顶点,
与地面
所成的锐角为
.则
的值是
.
【分析】如图,作
,过点
作
于
,设正六边形的边长为
,则正六边形的半径为
,边心距
.求出
,
即可解决问题.
【解答】解:如图,作
,过点
作
于
,设正六边形的边长为
,则正六边形的半径为,边心距
.
观察图象可知:
,
,
,
,
.
故答案为
.
【点评】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是理解题意,学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.
16.(4分)图1是一个闭合时的夹子,图2是该夹子的主视示意图,夹子两边为
,
(点
与点
重合),点
是夹子转轴位置,
于点
,
于点
,
,
,
,
.按图示方式用手指按夹子,夹子两边绕点
转动.
(1)当
,
两点的距离最大时,以点
,
,
,
为顶点的四边形的周长是 16
.
(2)当夹子的开口最大(即点
与点
重合)时,
,
两点的距离为
.
【分析】(1)当
,
两点的距离最大时,
,
,
共线,此时四边形
是矩形,求出矩形的长和宽即可解决问题.
(2)如图3中,连接
交
于
.想办法求出
,利用平行线分线段成比例定理即可解决问题.
【解答】解:(1)当
,
两点的距离最大时,
,
,
共线,此时四边形
是矩形,
,
,
,
此时四边形
的周长为
,
故答案为16.
(2)如图3中,连接
交
于
.
由题意
,
,
垂直平分线段
,
,
,
,
,
,
.
故答案为
.
【点评】本题考查旋转的性质,矩形的判定和性质,平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
三、解答题(本题有8小题,共66分,各小题都必须写出解答过程)
17.(6分)计算:
.
【分析】利用零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计算,再算加减即可.
【解答】解:原式
.
【点评】此题主要考查了实数运算,关键是掌握零次幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质.
18.(6分)解不等式:
.
【分析】去括号,移项、合并同类项,系数化为1求得即可.
【解答】解:
,
,
,
.
【点评】本题考查了解一元一次不等式,熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键.
19.(6分)某市在开展线上教学活动期间,为更好地组织初中学生居家体育锻炼,随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查(每人必须且只选其中一项),得到如图两幅不完整的统计图表.请根据图表信息回答下列问题:
抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表
类别 |
项目 |
人数(人 |
|
跳绳 |
59 |
|
健身操 |
▲ |
|
俯卧撑 |
31 |
|
开合跳 |
▲ |
|
其它 |
22 |
(1)求参与问卷调查的学生总人数.
(2)在参与问卷调查的学生中,最喜爱“开合跳”的学生有多少人?
(3)该市共有初中学生约8000人,估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数.
【分析】(1)从统计图表中可得,“
组
其它”的频数为22,所占的百分比为
,可求出调查学生总数;
(2)“开合跳”的人数占调查人数的
,即可求出最喜爱“开合跳”的人数;
(3)求出“健身操”所占的百分比,用样本估计总体,即可求出8000人中喜爱“健身操”的人数.
【解答】解:(1)
(人
,
答:参与调查的学生总数为200人;
(2)
(人
,
答:最喜爱“开合跳”的学生有48人;
(3)最喜爱“健身操”的学生数为
(人
,
(人
,
答:最喜爱“健身操”的学生数大约为1600人.
【点评】考查统计表、扇形统计图的意义和制作方法,理解统计图表中的数量之间的关是解决问题的关键.
20.(8分)如图,
的半径
,
于点
,
.
(1)求弦
的长.
(2)求
的长.
【分析】(1)根据题意和垂径定理,可以求得
的长,然后即可得到
的长;
(2)根据
,可以得到
的度数,然后根据弧长公式计算即可.
【解答】解:(1)
的半径
,
于点
,
,
,
;
(2)
,
,
,
,
的长是:
.
【点评】本题考查弧长的计算、垂径定理,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
21.(8分)某地区山峰的高度每增加1百米,气温大约降低
,气温
和高度
(百米)的函数关系如图所示.
请根据图象解决下列问题:
(1)求高度为5百米时的气温;
(2)求
关于
的函数表达式;
(3)测得山顶的气温为
,求该山峰的高度.
【分析】(1)根据高度每增加1百米,气温大约降低
,由3百米时温度为
,即可得出高度为5百米时的气温;
(2)应用待定系数法解答即可;
(3)根据(2)的结论解答即可.
【解答】解:(1)由题意得,高度增加2百米,则气温降低
,
,
高度为5百米时的气温大约是
;
(2)设
关于
的函数表达式为
,
则:
,
解得
,
关于
的函数表达式为
;
(3)当
时,
,
解得
.
该山峰的高度大约为15百米.
【点评】本题考查一次函数的应用,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答问题.
22.(10分)如图,在
中,
,
,
.
(1)求
边上的高线长.
(2)点
为线段
的中点,点
在边
上,连结
,沿
将
折叠得到
.
①如图2,当点
落在
上时,求
的度数.
②如图3,连结
,当
时,求
的长.
【分析】(1)如图1中,过点
作
于
.解直角三角形求出
即可.
(2)①证明
,可得
解决问题.
②如图3中,由(1)可知:
,证明
,推出
,由此求出
即可解决问题.
【解答】解:(1)如图1中,过点
作
于
.
在
中,
.
(2)①如图2中,
,
,
,
,
,
,
.
②如图3中,由(1)可知:
,
,
,
,
,
,
,
,
,即
,
,
在
,
,
.
【点评】本题属于三角形综合题,考查了解直角三角形的应用,翻折变换,全等三角形的性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型.
23.(10分)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数
图象的顶点为
,与
轴交于点
,异于顶点
的点
在该函数图象上.
(1)当
时,求
的值.
(2)当
时,若点
在第一象限内,结合图象,求当
时,自变量
的取值范围.
(3)作直线
与
轴相交于点
.当点
在
轴上方,且在线段
上时,求
的取值范围.
【分析】(1)利用待定系数法求解即可.
(2)求出
时,
的值即可判断.
(3)由题意点
的坐标为
,求出几个特殊位置
的值即可判断.
【解答】解:(1)当
时,
,
当
时,
.
(2)当
时,将
代入函数表达式
,得
,
解得
或
(舍弃),
此时抛物线的对称轴
,
根据抛物线的对称性可知,当
时,
或5,
的取值范围为
.
(3)
点
与点
不重合,
,
抛物线的顶点
的坐标是
,
抛物线的顶点在直线
上,
当
时,
,
点
的坐标为
,
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置,
逐渐减小,点
沿
轴向上移动,
当点
与
重合时,
,
解得
或
,
当点
与点
重合时,如图2,顶点
也与
,
重合,点
到达最高点,
点
,
,解得
,
当抛物线从图2的位置继续向左平移时,如图3点
不在线段
上,
点在线段
上时,
的取值范围是:
或
.
【点评】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,待定系数法,一次函数的性质等知识,解题的关键是理解题意,学会寻找特殊位置解决数学问题,属于中考常压轴题.
24.(12分)如图,在平面直角坐标系中,正方形
的两直角边分别在坐标轴的正半轴上,分别过
,
的中点
,
作
,
的平行线,相交于点
,已知
.
(1)求证:四边形
为菱形.
(2)求四边形
的面积.
(3)若点
在
轴正半轴上(异于点
,点
在
轴上,平面内是否存在点
,使得以点
,
,
,
为顶点的四边形与四边形
相似?若存在,求点
的坐标;若不存在,试说明理由.
【分析】(1)根据邻边相等的四边形是菱形证明即可.
(2)连接
,求出
的面积即可解决问题.
(3)首先证明
,①当
为菱形的一边,点
在
轴的上方,有图2,图3两种情形.②当
为菱形的边,点
在
轴的下方时,有图4,图5两种情形.③如图6中,当
为菱形的对角线时,有图6一种情形.分别利用相似三角形的性质求解即可.
【解答】(1)证明:如图1中,
,
,
四边形
是平行四边形,
四边形
是正方形,
,
,
,
分别是
,
的中点,
,
,
,
四边形
是菱形.
(2)解:如图1中,连接
.
,
,
,
.
(3)解:如图1中,连接
,设
交
于
,
,
,
,
,
,
,
,
①当
为菱形的一边,点
在
轴的上方,有图2,图3两种情形:
如图2中,设
交
于
,过点
作
轴于
,交
于
,设
.
菱形
菱形
,
,
,
,
,
是
的中位线,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
如图3中,过点
作
轴于
,过点
作
轴交
于
,延长
交
于
.
同法可证:
,
,设
,
,
,
是
的中位线,
,
,
,
,
,
.
②当
为菱形的边,点
在
轴的下方时,有图4,图5两种情形:
如图4中,
,过点
作
于
,过
点
作
于
.
是
的中位线,
,
同法可得:
,
,
,
,设
,则
,
,
,
,
,
点
的坐标为
,
.
如图5中,
,过点
作
轴于
交
于
,过点
作
于
.
是
的中位线,
,
,
同法可得:
,
,则
,
设
,则
,
,
,
,
,
,
.
③如图6中,当
为菱形的对角线时,有图6一种情形:
过点
作
轴于于点
,交
于
,过点
作
于
.
轴,
,
,
,
同法可得:
,
,
,
,
是
的中位线,
,
,
,
综上所述,满足条件的点
的坐标为
或
或
,
或
,
或
.
【点评】本题属于相似形综合题,考查了正方形的性质,菱形的判定和性质,解直角三角形,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会寻找相似三角形,利用相似三角形的性质构建方程解决问题,属于中考压轴题.