【330373】2020年浙江省丽水市中考数学试卷

2020年浙江省丽水市中考数学试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）实数3的相反数是 　　

A． B．3 C． D．

2．（3分）分式 的值是零，则 的值为 　　

A．2 B．5 C． D．

3．（3分）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是 　　

A． B． C． D．

4．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是 　　

A． B．

C． D．

5．（3分）如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是 　　

A． B． C． D．

6．（3分）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘 的垂线 和 ，得到 ．理由是 　　

A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线

D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

7．（3分）已知点 ， ， ， 在函数 的图象上，则下列判断正确的是 　　

A． B． C． D．

8．（3分）如图， 是等边 的内切圆，分别切 ， ， 于点 ， ， ， 是 上一点，则 的度数是 　　

A． B． C． D．

9．（3分）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为 ．则列出方程正确的是 　　

A． B．

C． D．

10．（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形 与正方形 ．连结 ， 相交于点 、 与 相交于点 ．若 ，则 的值是 　　

A． B． C． D．

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）点 在第二象限内，则 的值可以是（写出一个即可）　　．

12．（4分）数据1，2，4，5，3的中位数是　　．

13．（4分）如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为　　 ．

14．（4分）如图，平移图形 ，与图形 可以拼成一个平行四边形，则图中 的度数是　　 ．

15．（4分）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点 ， ， 均为正六边形的顶点， 与地面 所成的锐角为 ．则 的值是　　．

16．（4分）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为 ， （点 与点 重合），点 是夹子转轴位置， 于点 ， 于点 ， ， ， ， ．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点 转动．

（1）当 ， 两点的距离最大时，以点 ， ， ， 为顶点的四边形的周长是　　 ．

（2）当夹子的开口最大（即点 与点 重合）时， ， 两点的距离为　　 ．

三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）

17．（6分）计算： ．

18．（6分）解不等式： ．

19．（6分）某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题：

抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表

类别	项目	人数（人
	跳绳	59
	健身操	▲
	俯卧撑	31
	开合跳	▲
	其它	22

（1）求参与问卷调查的学生总人数．

（2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？

（3）该市共有初中学生约8000人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数．

20．（8分）如图， 的半径 ， 于点 ， ．

（1）求弦 的长．

（2）求 的长．

21．（8分）某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低 ，气温 和高度 （百米）的函数关系如图所示．

请根据图象解决下列问题：

（1）求高度为5百米时的气温；

（2）求 关于 的函数表达式；

（3）测得山顶的气温为 ，求该山峰的高度．

22．（10分）如图，在 中， ， ， ．

（1）求 边上的高线长．

（2）点 为线段 的中点，点 在边 上，连结 ，沿 将 折叠得到 ．

①如图2，当点 落在 上时，求 的度数．

②如图3，连结 ，当 时，求 的长．

23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 图象的顶点为 ，与 轴交于点 ，异于顶点 的点 在该函数图象上．

（1）当 时，求 的值．

（2）当 时，若点 在第一象限内，结合图象，求当 时，自变量 的取值范围．

（3）作直线 与 轴相交于点 ．当点 在 轴上方，且在线段 上时，求 的取值范围．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过 ， 的中点 ， 作 ， 的平行线，相交于点 ，已知 ．

（1）求证：四边形 为菱形．

（2）求四边形 的面积．

（3）若点 在 轴正半轴上（异于点 ，点 在 轴上，平面内是否存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形与四边形 相似？若存在，求点 的坐标；若不存在，试说明理由．

2020年浙江省丽水市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）实数3的相反数是 　　

A． B．3 C． D．

【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．

【解答】解：实数3的相反数是： ．

故选： ．

【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的定义是解题关键．

2．（3分）分式 的值是零，则 的值为 　　

A．2 B．5 C． D．

【分析】利用分式值为零的条件可得 ，且 ，再解即可．

【解答】解：由题意得： ，且 ，

解得： ，

故选： ．

【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．

3．（3分）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是 　　

A． B． C． D．

【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行分析即可．

【解答】解： 、 不能运用平方差公式分解，故此选项错误；

、 不能运用平方差公式分解，故此选项错误；

、 能运用平方差公式分解，故此选项正确；

、 不能运用平方差公式分解，故此选项错误；

故选： ．

【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

4．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是 　　

A． B．

C． D．

【分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．

【解答】解： 、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；

、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；

、该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；

、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；

故选： ．

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

5．（3分）如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是 　　

A． B． C． D．

【分析】根据概率公式直接求解即可．

【解答】解： 共有6张卡片，其中写有1号的有3张，

从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是 ；

故选： ．

【点评】此题考查了概率的求法，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．

6．（3分）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘 的垂线 和 ，得到 ．理由是 　　

A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线

D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．

【解答】解：由题意 ， ，

（垂直于同一条直线的两条直线平行），

故选： ．

【点评】本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

7．（3分）已知点 ， ， ， 在函数 的图象上，则下列判断正确的是 　　

A． B． C． D．

【分析】根据反比例函数的性质得到函数 的图象分布在第一、三象限，在每一象限， 随 的增大而减小，则 ， ．

【解答】解： ，

函数 的图象分布在第一、三象限，在每一象限， 随 的增大而减小，

，

， ，

．

故选： ．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

8．（3分）如图， 是等边 的内切圆，分别切 ， ， 于点 ， ， ， 是 上一点，则 的度数是 　　

A． B． C． D．

【分析】如图，连接 ， ．求出 的度数即可解决问题．

【解答】解：如图，连接 ， ．

是 的内切圆， ， 是切点，

， ，

，

是等边三角形，

，

，

，

故选： ．

【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

9．（3分）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为 ．则列出方程正确的是 　　

A． B．

C． D．

【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可．

【解答】解：设“□”内数字为 ，根据题意可得：

．

故选： ．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示十位数是解题关键．

10．（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形 与正方形 ．连结 ， 相交于点 、 与 相交于点 ．若 ，则 的值是 　　

A． B． C． D．

【分析】证明 ，得出 ．设 ，则 ， ，由勾股定理得出 ，则可得出答案．

【解答】解： 四边形 为正方形，

， ，

，

，

，

又 ，

，

，

， ，

，

．

设 ，

为 ， 的交点，

， ，

四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，

，

，

，

．

故选： ．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）点 在第二象限内，则 的值可以是（写出一个即可）　 （答案不唯一）．　．

【分析】直接利用第二象限内点的坐标特点得出 的取值范围，进而得出答案．

【解答】解： 点 在第二象限内，

，

则 的值可以是 （答案不唯一）．

故答案为： （答案不唯一）．

【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出 的取值范围是解题关键．

12．（4分）数据1，2，4，5，3的中位数是　3　．

【分析】先将题目中的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数．

【解答】解：数据1，2，4，5，3按照从小到大排列是1，2，3，4，5，

则这组数据的中位数是3，

故答案为：3．

【点评】本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义，会求一组数据的中位数．

13．（4分）如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为　20　 ．

【分析】根据从正面看所得到的图形，即可得出这个几何体的主视图的面积．

【解答】解：该几何体的主视图是一个长为5，宽为4的矩形，所以该几何体主视图的面积为 ．

故答案为：20．

【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

14．（4分）如图，平移图形 ，与图形 可以拼成一个平行四边形，则图中 的度数是　30　 ．

【分析】根据平行四边形的性质解答即可．

【解答】解： 四边形 是平行四边形，

，

，

故答案为：30．

【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的邻角互补解答．

15．（4分）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点 ， ， 均为正六边形的顶点， 与地面 所成的锐角为 ．则 的值是　 　．

【分析】如图，作 ，过点 作 于 ，设正六边形的边长为 ，则正六边形的半径为 ，边心距 ．求出 ， 即可解决问题．

【解答】解：如图，作 ，过点 作 于 ，设正六边形的边长为 ，则正六边形的半径为，边心距 ．

观察图象可知： ， ，

，

，

．

故答案为 ．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

16．（4分）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为 ， （点 与点 重合），点 是夹子转轴位置， 于点 ， 于点 ， ， ， ， ．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点 转动．

（1）当 ， 两点的距离最大时，以点 ， ， ， 为顶点的四边形的周长是　16　 ．

（2）当夹子的开口最大（即点 与点 重合）时， ， 两点的距离为　　 ．

【分析】（1）当 ， 两点的距离最大时， ， ， 共线，此时四边形 是矩形，求出矩形的长和宽即可解决问题．

（2）如图3中，连接 交 于 ．想办法求出 ，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．

【解答】解：（1）当 ， 两点的距离最大时， ， ， 共线，此时四边形 是矩形，

，

，

，

此时四边形 的周长为 ，

故答案为16．

（2）如图3中，连接 交 于 ．

由题意 ，

，

垂直平分线段 ，

，

，

，

，

，

．

故答案为 ．

【点评】本题考查旋转的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）

17．（6分）计算： ．

【分析】利用零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计算，再算加减即可．

【解答】解：原式 ．

【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握零次幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质．

18．（6分）解不等式： ．

【分析】去括号，移项、合并同类项，系数化为1求得即可．

【解答】解： ，

，

，

．

【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．

19．（6分）某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题：

抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表

类别	项目	人数（人
	跳绳	59
	健身操	▲
	俯卧撑	31
	开合跳	▲
	其它	22

（1）求参与问卷调查的学生总人数．

（2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？

（3）该市共有初中学生约8000人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数．

【分析】（1）从统计图表中可得，“ 组 其它”的频数为22，所占的百分比为 ，可求出调查学生总数；

（2）“开合跳”的人数占调查人数的 ，即可求出最喜爱“开合跳”的人数；

（3）求出“健身操”所占的百分比，用样本估计总体，即可求出8000人中喜爱“健身操”的人数．

【解答】解：（1） （人 ，

答：参与调查的学生总数为200人；

（2） （人 ，

答：最喜爱“开合跳”的学生有48人；

（3）最喜爱“健身操”的学生数为 （人 ，

（人 ，

答：最喜爱“健身操”的学生数大约为1600人．

【点评】考查统计表、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中的数量之间的关是解决问题的关键．

20．（8分）如图， 的半径 ， 于点 ， ．

（1）求弦 的长．

（2）求 的长．

【分析】（1）根据题意和垂径定理，可以求得 的长，然后即可得到 的长；

（2）根据 ，可以得到 的度数，然后根据弧长公式计算即可．

【解答】解：（1） 的半径 ， 于点 ， ，

，

；

（2） ， ，

，

，

的长是： ．

【点评】本题考查弧长的计算、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

21．（8分）某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低 ，气温 和高度 （百米）的函数关系如图所示．

请根据图象解决下列问题：

（1）求高度为5百米时的气温；

（2）求 关于 的函数表达式；

（3）测得山顶的气温为 ，求该山峰的高度．

【分析】（1）根据高度每增加1百米，气温大约降低 ，由3百米时温度为 ，即可得出高度为5百米时的气温；

（2）应用待定系数法解答即可；

（3）根据（2）的结论解答即可．

【解答】解：（1）由题意得，高度增加2百米，则气温降低 ，

，

高度为5百米时的气温大约是 ；

（2）设 关于 的函数表达式为 ，

则： ，

解得 ，

关于 的函数表达式为 ；

（3）当 时， ，

解得 ．

该山峰的高度大约为15百米．

【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．

22．（10分）如图，在 中， ， ， ．

（1）求 边上的高线长．

（2）点 为线段 的中点，点 在边 上，连结 ，沿 将 折叠得到 ．

①如图2，当点 落在 上时，求 的度数．

②如图3，连结 ，当 时，求 的长．

【分析】（1）如图1中，过点 作 于 ．解直角三角形求出 即可．

（2）①证明 ，可得 解决问题．

②如图3中，由（1）可知： ，证明 ，推出 ，由此求出 即可解决问题．

【解答】解：（1）如图1中，过点 作 于 ．

在 中， ．

（2）①如图2中，

，

，

，

，

，

，

．

②如图3中，由（1）可知： ，

，

，

，

，

，

，

，

，即 ，

，

在 ， ，

．

【点评】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 图象的顶点为 ，与 轴交于点 ，异于顶点 的点 在该函数图象上．

（1）当 时，求 的值．

（2）当 时，若点 在第一象限内，结合图象，求当 时，自变量 的取值范围．

（3）作直线 与 轴相交于点 ．当点 在 轴上方，且在线段 上时，求 的取值范围．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可．

（2）求出 时， 的值即可判断．

（3）由题意点 的坐标为 ，求出几个特殊位置 的值即可判断．

【解答】解：（1）当 时， ，

当 时， ．

（2）当 时，将 代入函数表达式 ，得 ，

解得 或 （舍弃），

此时抛物线的对称轴 ，

根据抛物线的对称性可知，当 时， 或5，

的取值范围为 ．

（3） 点 与点 不重合，

，

抛物线的顶点 的坐标是 ，

抛物线的顶点在直线 上，

当 时， ，

点 的坐标为 ，

抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置， 逐渐减小，点 沿 轴向上移动，

当点 与 重合时， ，

解得 或 ，

当点 与点 重合时，如图2，顶点 也与 ， 重合，点 到达最高点，

点 ，

，解得 ，

当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点 不在线段 上，

点在线段 上时， 的取值范围是： 或 ．

【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考常压轴题．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过 ， 的中点 ， 作 ， 的平行线，相交于点 ，已知 ．

（1）求证：四边形 为菱形．

（2）求四边形 的面积．

（3）若点 在 轴正半轴上（异于点 ，点 在 轴上，平面内是否存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形与四边形 相似？若存在，求点 的坐标；若不存在，试说明理由．

【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可．

（2）连接 ，求出 的面积即可解决问题．

（3）首先证明 ，①当 为菱形的一边，点 在 轴的上方，有图2，图3两种情形．②当 为菱形的边，点 在 轴的下方时，有图4，图5两种情形．③如图6中，当 为菱形的对角线时，有图6一种情形．分别利用相似三角形的性质求解即可．

【解答】（1）证明：如图1中，

， ，

四边形 是平行四边形，

四边形 是正方形，

， ，

， 分别是 ， 的中点，

，

，

，

四边形 是菱形．

（2）解：如图1中，连接 ．

，

，

，

．

（3）解：如图1中，连接 ，设 交 于 ，

， ，

，

，

，

，

，

①当 为菱形的一边，点 在 轴的上方，有图2，图3两种情形：

如图2中，设 交 于 ，过点 作 轴于 ，交 于 ，设 ．

菱形 菱形 ，

，

， ，

，

是 的中位线，

，

， ，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

如图3中，过点 作 轴于 ，过点 作 轴交 于 ，延长 交 于 ．

同法可证： ，

，设 ，

，

，

是 的中位线，

，

，

，

，

，

．

②当 为菱形的边，点 在 轴的下方时，有图4，图5两种情形：

如图4中， ，过点 作 于 ，过 点 作 于 ．

是 的中位线，

，

同法可得： ，

，

，

，设 ，则 ，

，

，

，

，

点 的坐标为 ， ．

如图5中， ，过点 作 轴于 交 于 ，过点 作 于 ．

是 的中位线，

， ，

同法可得： ，

，则 ，

设 ，则 ，

，

，

，

，

， ．

③如图6中，当 为菱形的对角线时，有图6一种情形：

过点 作 轴于于点 ，交 于 ，过点 作 于 ．

轴， ，

，

，

同法可得： ，

，

， ，

是 的中位线，

，

，

，

综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 或 ， 或 ， 或 ．

【点评】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找相似三角形，利用相似三角形的性质构建方程解决问题，属于中考压轴题．