2020年四川省达州市中考数学试卷
一、单项选择题(每小题3分,共30分)
1.(3分)人类与病毒的斗争是长期的,不能松懈.据中央电视台报道,截止北京时间2020年6月30日凌晨,全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万.1002万用科学记数法表示,正确的是
A.
B.
C.
D.
万
2.(3分)下列各数中,比3大比4小的无理数是
A.3.14 B.
C.
D.
3.(3分)下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字.其中,手的对面是口的是
A.
B.
C.
D.
4.(3分)下列说法正确的是
A.为了解全国中小学生的心理健康状况,应采用普查
B.确定事件一定会发生
C.某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96,那么这组数据的众数为98
D.数据6、5、8、7、2的中位数是6
5.(3分)图2是图1中长方体的三视图,用
表示面积,
,
,则
A.
B.
C.
D.
6.(3分)如图,正方体的每条棱上放置相同数目的小球,设每条棱上的小球数为
,下列代数式表示正方体上小球总数,则表达错误的是
A.
B.
C.
D.
7.(3分)中国奇书《易经》中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来计数,即“结绳计数”.如图,一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结,满5进1,用来记录孩子自出生后的天数.由图可知,孩子自出生后的天数是
A.10 B.89 C.165 D.294
8.(3分)如图,在半径为5的
中,将劣弧
沿弦
翻折,使折叠后的
恰好与
、
相切,则劣弧
的长为
A.
B.
C.
D.
9.(3分)如图,直线
与抛物线
交于
、
两点,则
的图象可能是
A.
B.
C.
D.
10.(3分)如图,
,
,点
在
上,四边形
是矩形,连接
、
交于点
,连接
交
于点
.下列4个判断:①
平分
;②
;③
;④若点
是线段
的中点,则
为等腰直角三角形.正确判断的个数是
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(3分)2019年是中华人民共和国成立70周年,天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动.其中,群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题,包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分,某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分,制作扇形统计图.以下是打乱了的统计步骤:
①绘制扇形统计图
②收集三个部分本班学生喜欢的人数
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比
其中正确的统计顺序是 .
12.(3分)如图,点
与点
关于直线
对称,则
.
13.(3分)小明为测量校园里一棵大树
的高度,在树底部
所在的水平面内,将测角仪
竖直放在与
相距
的位置,在
处测得树顶
的仰角为
.若测角仪的高度是
,则大树
的高度约为 .(结果精确到
.参考数据:
,
,
14.(3分)如图,点
、
在反比函数
的图象上,
、
的纵坐标分别是3和6,连接
、
,则
的面积是 .
15.(3分)已知
的三边
、
、
满足
,则
的内切圆半径
.
16.(3分)已知
为正整数,无论
取何值,直线
与直线
都交于一个固定的点,这个点的坐标是 ;记直线
和
与
轴围成的三角形面积为
,则
,
的值为 .
三、解答题:解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤(共72分)
17.(5分)计算:
.
18.(7分)求代数式
的值,其中
.
19.(7分)如图,点
在
的边
上,以
为半径作
,
的平分线
交
于点
,过点
作
于点
.
(1)尺规作图(不写作法,保留作图痕迹),补全图形;
(2)判断
与
交点的个数,并说明理由.
20.(7分)争创全国文明城市,从我做起.尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程,为了解学生的学习情况,随机抽取了20名学生的测试成绩,分数如下:
94 83 90 86 94 88 96 100 89 82
94 82 84 89 88 93 98 94 93 92
整理上面的数据,得到频数分布表和扇形统计图:
等级 |
成绩 |
频数 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
5 |
|
|
4 |
根据以上信息,解答下列问题.
(1)填空:
,
;
(2)若成绩不低于90分为优秀,估计该校1200名八年级学生中,达到优秀等级的人数;
(3)已知
等级中有2名女生,现从
等级中随机抽取2名同学,试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率.
21.(8分)如图,
中,
,
、
分别是边
、
的中点.将
绕点
旋转180度,得
.
(1)判断四边形
的形状,并证明;
(2)已知
,
,求四边形
的面积
.
22.(8分)某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售,有关信息如下表:
|
原进价(元 |
零售价(元 |
成套售价(元 |
餐桌 |
|
380 |
940 |
餐椅 |
|
160 |
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同.
(1)求表中
的值;
(2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张,且餐桌和餐椅的总数量不超过200张.若将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售,其余餐桌、餐椅以零售方式销售,请问怎样进货,才能获得最大利润?最大利润是多少?
23.(8分)如图,在梯形
中,
,
,
,
.
为线段
上的一动点,且和
、
不重合,连接
,过点
作
交射线
于点
.聪聪根据学习函数的经验,对这个问题进行了研究:
(1)通过推理,他发现
,请你帮他完成证明.
(2)利用几何画板,他改变
的长度,运动点
,得到不同位置时,
、
的长度的对应值:
当
时,得表
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
0.83 |
1.33 |
1.50 |
1.33 |
0.83 |
|
当
时,得表
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
1.17 |
2.00 |
2.50 |
2.67 |
2.50 |
2.00 |
1.17 |
|
这说明,点
在线段
上运动时,要保证点
总在线段
上,
的长度应有一定的限制.
①填空:根据函数的定义,我们可以确定,在
和
的长度这两个变量中, 的长度为自变量, 的长度为因变量;
②设
,当点
在线段
上运动时,点
总在线段
上,求
的取值范围.
24.(10分)(1)
阅读与证明
如图1,在正
的外角
内引射线
,作点
关于
的对称点
(点
在
内),连接
,
、
分别交
于点
、
.
①完成证明:
点
是点
关于
的对称点,
,
,
.
正
中,
,
,
,得
.
在
中,
,
.
在
中,
,
.
②求证:
.
(2)
类比与探究
把(1)中的“正
”改为“正方形
”,其余条件不变,如图2.类比探究,可得:
①
;
②线段
、
、
之间存在数量关系 .
(3)
归纳与拓展
如图3,点
在射线
上,
,
,在
内引射线
,作点
关于
的对称点
(点
在
内),连接
,
、
分别交
于点
、
.则线段
、
、
之间的数量关系为 .
25.(12分)如图,在平面直角坐标系
中,已知直线
与
轴交于点
,与
轴交于点
,过
、
两点的抛物线
与
轴交于另一点
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在一点
,使
?若存在,请求出点
的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)点
为直线
下方抛物线上一点,点
为
轴上一点,当
的面积最大时,求
的最小值.
2020年四川省达州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题(每小题3分,共30分)
1.(3分)人类与病毒的斗争是长期的,不能松懈.据中央电视台报道,截止北京时间2020年6月30日凌晨,全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万.1002万用科学记数法表示,正确的是
A.
B.
C.
D.
万
【解答】解:1002万用科学记数法表示为
,
故选:
.
2.(3分)下列各数中,比3大比4小的无理数是
A.3.14 B.
C.
D.
【解答】解:
,
,
、3.14是有理数,故此选项不合题意;
、
是有理数,故此选项不符合题意;
、
是比3大比4小的无理数,故此选项符合题意;
、
比4大的无理数,故此选项不合题意;
故选:
.
3.(3分)下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字.其中,手的对面是口的是
A.
B.
C.
D.
【解答】解:
、手的对面是勤,不符合题意;
、手的对面是口,符合题意;
、手的对面是罩,不符合题意;
、手的对面是罩,不符合题意;
故选:
.
4.(3分)下列说法正确的是
A.为了解全国中小学生的心理健康状况,应采用普查
B.确定事件一定会发生
C.某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96,那么这组数据的众数为98
D.数据6、5、8、7、2的中位数是6
【解答】解:
.为了解全国中小学生的心理健康状况,应采用抽样调查,此选项错误;
.确定事件一定会发生,或一定不会发生,此选项错误;
.某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96,那么这组数据的众数为98和99,此选项错误;
.数据6、5、8、7、2的中位数是6,此选项正确;
故选:
.
5.(3分)图2是图1中长方体的三视图,用
表示面积,
,
,则
A.
B.
C.
D.
【解答】解:
,
,
俯视图的长为
,宽为
,
则俯视图的面积
,
故选:
.
6.(3分)如图,正方体的每条棱上放置相同数目的小球,设每条棱上的小球数为
,下列代数式表示正方体上小球总数,则表达错误的是
A.
B.
C.
D.
【解答】解:由题意得,当每条棱上的小球数为
时,正方体上的所有小球数为
.
而
,
,
,
所以
选项表达错误,符合题意;
、
、
选项表达正确,不符合题意;
故选:
.
7.(3分)中国奇书《易经》中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来计数,即“结绳计数”.如图,一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结,满5进1,用来记录孩子自出生后的天数.由图可知,孩子自出生后的天数是
A.10 B.89 C.165 D.294
【解答】解:
,
故选:
.
8.(3分)如图,在半径为5的
中,将劣弧
沿弦
翻折,使折叠后的
恰好与
、
相切,则劣弧
的长为
A.
B.
C.
D.
【解答】解:如图,作
点关于
的对称点
,连接
、
,
,
四边形
为菱形,
折叠后的
与
、
相切,
,
,
四边形
为正方形,
,
劣弧
的长
.
故选:
.
9.(3分)如图,直线
与抛物线
交于
、
两点,则
的图象可能是
A.
B.
C.
D.
【解答】解:设
,
,
,
,
由图象可知,在点
和点
之间,
,在点
的左侧或点
的右侧,
,
故选项
符合题意,选项
、
、
不符合题意;
故选:
.
10.(3分)如图,
,
,点
在
上,四边形
是矩形,连接
、
交于点
,连接
交
于点
.下列4个判断:①
平分
;②
;③
;④若点
是线段
的中点,则
为等腰直角三角形.正确判断的个数是
A.4 B.3 C.2 D.1
【解答】解:①
四边形
是矩形,
,
,
平分
,
故①正确;
②
四边形
是矩形,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
故②正确;
③
,
,
连接
,如图1,
,
,
,
,
,
故③正确;
④根据题意作出图形,如图2,
是
的中点,
,
,
,
,
平分
,
,
,
,
四边形
是矩形,
,
,
,
,
,
,
为等腰直角三角形,
故④正确;
故选:
.
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(3分)2019年是中华人民共和国成立70周年,天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动.其中,群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题,包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分,某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分,制作扇形统计图.以下是打乱了的统计步骤:
①绘制扇形统计图
②收集三个部分本班学生喜欢的人数
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比
其中正确的统计顺序是 ②③① .
【解答】解:正确的统计顺序是:
②收集三个部分本班学生喜欢的人数;
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比;
①绘制扇形统计图;
故答案为:②③①.
12.(3分)如图,点
与点
关于直线
对称,则
.
【解答】解:
点
与点
关于直线
对称,
,
,
,
故答案为
.
13.(3分)小明为测量校园里一棵大树
的高度,在树底部
所在的水平面内,将测角仪
竖直放在与
相距
的位置,在
处测得树顶
的仰角为
.若测角仪的高度是
,则大树
的高度约为 11 .(结果精确到
.参考数据:
,
,
【解答】解:如图,过点
作
,垂足为
,由题意得,
,
,
在
中,
,
(米
故答案为:11.
14.(3分)如图,点
、
在反比函数
的图象上,
、
的纵坐标分别是3和6,连接
、
,则
的面积是 9 .
【解答】解:
点
、
在反比函数
的图象上,
、
的纵坐标分别是3和6,
,
,
作
轴于
,
轴于
,
,
,
,
故答案为9.
15.(3分)已知
的三边
、
、
满足
,则
的内切圆半径
1 .
【解答】解:
,
,
,
,
,
,
,
是直角三角形,
,
设内切圆的半径为
,
根据题意,得
,
,
故答案为:1.
16.(3分)已知
为正整数,无论
取何值,直线
与直线
都交于一个固定的点,这个点的坐标是
;记直线
和
与
轴围成的三角形面积为
,则
,
的值为 .
【解答】解:
直线
,
直线
经过点
;
直线
,
直线
经过点
.
无论
取何值,直线
与
的交点均为定点
.
直线
与
轴的交点为
,
,
直线
与
轴的交点为
,
,
,
;
.
故答案为
;
;
.
三、解答题:解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤(共72分)
17.(5分)计算:
.
【解答】解:原式
.
18.(7分)求代数式
的值,其中
.
【解答】解:原式
当
时,
原式
.
19.(7分)如图,点
在
的边
上,以
为半径作
,
的平分线
交
于点
,过点
作
于点
.
(1)尺规作图(不写作法,保留作图痕迹),补全图形;
(2)判断
与
交点的个数,并说明理由.
【解答】解:(1)如图,
,射线
,直线
即为所求.
(2)直线
与
相切,交点只有一个.
理由:
,
,
平分
,
,
,
,
,
,
直线
是
的切线,
与直线
只有一个交点.
20.(7分)争创全国文明城市,从我做起.尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程,为了解学生的学习情况,随机抽取了20名学生的测试成绩,分数如下:
94 83 90 86 94 88 96 100 89 82
94 82 84 89 88 93 98 94 93 92
整理上面的数据,得到频数分布表和扇形统计图:
等级 |
成绩 |
频数 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
5 |
|
|
4 |
根据以上信息,解答下列问题.
(1)填空:
3 ,
;
(2)若成绩不低于90分为优秀,估计该校1200名八年级学生中,达到优秀等级的人数;
(3)已知
等级中有2名女生,现从
等级中随机抽取2名同学,试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率.
【解答】解:(1)由题意知
,
,即
;
故答案为:3、40;
(2)估计该校1200名八年级学生中,达到优秀等级的人数为
(人
;
(3)列表如下:
|
男 |
女 |
女 |
男 |
|
(男,女) |
(男,女) |
女 |
(男,女) |
|
(女,女) |
女 |
(男,女) |
(女,女) |
|
所有等可能的结果有6种,其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种,
恰好抽到一男一女的概率为
.
21.(8分)如图,
中,
,
、
分别是边
、
的中点.将
绕点
旋转180度,得
.
(1)判断四边形
的形状,并证明;
(2)已知
,
,求四边形
的面积
.
【解答】解:(1)结论:四边形
是菱形.
,
,
,
,
由旋转的性质可知,
,
,
,
四边形
是平行四边形,
,
,
,
四边形
是菱形.
(2)连接
,
交于点
.
四边形
是菱形,
,
,
,设
,
,
则有
,
,
,
,
.
22.(8分)某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售,有关信息如下表:
|
原进价(元 |
零售价(元 |
成套售价(元 |
餐桌 |
|
380 |
940 |
餐椅 |
|
160 |
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同.
(1)求表中
的值;
(2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张,且餐桌和餐椅的总数量不超过200张.若将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售,其余餐桌、餐椅以零售方式销售,请问怎样进货,才能获得最大利润?最大利润是多少?
【解答】解:(1)根据题意得:
,
解得
,
经检验,
是原分式方程的解.
答:表中
的值为260.
(2)设购进餐桌
张,则购进餐椅
张,
根据题意得:
,
解得:
.
设销售利润为
元,
根据题意得:
,
,
当
时,
取最大值,最大值为:
.
答:当购进餐桌30张、餐椅170张时,才能获得最大利润,最大利润是9200元.
23.(8分)如图,在梯形
中,
,
,
,
.
为线段
上的一动点,且和
、
不重合,连接
,过点
作
交射线
于点
.聪聪根据学习函数的经验,对这个问题进行了研究:
(1)通过推理,他发现
,请你帮他完成证明.
(2)利用几何画板,他改变
的长度,运动点
,得到不同位置时,
、
的长度的对应值:
当
时,得表
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
0.83 |
1.33 |
1.50 |
1.33 |
0.83 |
|
当
时,得表
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
1.17 |
2.00 |
2.50 |
2.67 |
2.50 |
2.00 |
1.17 |
|
这说明,点
在线段
上运动时,要保证点
总在线段
上,
的长度应有一定的限制.
①填空:根据函数的定义,我们可以确定,在
和
的长度这两个变量中,
的长度为自变量, 的长度为因变量;
②设
,当点
在线段
上运动时,点
总在线段
上,求
的取值范围.
【解答】(1)证明:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
(2)解:①根据函数的定义,我们可以确定,在
和
的长度这两个变量中,
的长度为自变量,
的长度为因变量,
故答案为:
,
.
②设
,
.
,
,
,
,
,
时,
有最大值
,
点
在线段
上,
,
,
,
.
24.(10分)(1)
阅读与证明
如图1,在正
的外角
内引射线
,作点
关于
的对称点
(点
在
内),连接
,
、
分别交
于点
、
.
①完成证明:
点
是点
关于
的对称点,
,
,
.
正
中,
,
,
,得
.
在
中,
,
60
.
在
中,
,
.
②求证:
.
(2)
类比与探究
把(1)中的“正
”改为“正方形
”,其余条件不变,如图2.类比探究,可得:
①
;
②线段
、
、
之间存在数量关系 .
(3)
归纳与拓展
如图3,点
在射线
上,
,
,在
内引射线
,作点
关于
的对称点
(点
在
内),连接
,
、
分别交
于点
、
.则线段
、
、
之间的数量关系为 .
【解答】(1)①解:如图1中,
点
是点
关于
的对称点,
,
,
.
正
中,
,
,
,得
.
在
中,
,
.
在
中,
,
.
故答案为60,30.
②证明:如图1中,连接
,在
上取一点
,使得
,连接
.
,
关于
对称,
垂直平分线段
,
,
,
,
,
,
是等边三角形,
,
,
,
,
,
,
.
(2)解:①如图2中,
,
点
是
的外接圆的圆心,
,
,
.
故答案为45.
②结论:
.
理由:如图2中,连接
,在
上取一点
,使得
,连接
.
,
,
,
,
,
,
,
是等腰直角三角形,
,
是等腰直角三角形,
,
,
,
,
,
,
,
..
(3)如图3中,连接
,
,在
上取一点
,使得
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
同法可证,
,
,
,
.即
.
故答案为:
.
25.(12分)如图,在平面直角坐标系
中,已知直线
与
轴交于点
,与
轴交于点
,过
、
两点的抛物线
与
轴交于另一点
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在一点
,使
?若存在,请求出点
的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)点
为直线
下方抛物线上一点,点
为
轴上一点,当
的面积最大时,求
的最小值.
【解答】解:(1)
直线
与
轴交于点
,与
轴交于点
,
点
,点
,
设抛物线解析式为:
,
,
,
抛物线解析式为:
;
(2)如图,当点
在直线
上方时,过点
作
,交抛物线与点
,
,
和
是等底等高的两个三角形,
,
,
直线
的解析式为
,
联立方程组可得
,
解得:
或
,
点
,
或
,
;
当点
在直线
下方时,在
的延长线上截取
,过点
作
,交抛物线于点
,
,
,
,
,且过点
,
直线
解析式为
,
联立方程组可得
,
解得
,
点
,
综上所述:点
坐标为
,
或
,
或
;
(3)如图2,过点
作
,交
于
,
设点
,则点
,
,
的面积
,
当
时,
的面积有最大值,
点
,
如图3,过点
作
,过点
作
于
点,过点
作
于
,延长
交直线
于
,
,
,
,
,
当点
,点
,点
三点共线,且垂直于
时,
有最小值,即最小值为
,
,
直线
解析式为
,
当
时,点
,
,
,
,
,
,
的最小值为
.