2020年四川省达州市中考数学试卷
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台报道，截止北京时间2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万．1002万用科学记数法表示，正确的是
A．
B．
C．
D．
万
2．（3分）下列各数中，比3大比4小的无理数是
A．3.14 B．
C．
D．
3．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是
A．
B．
C．
D．
4．（3分）下列说法正确的是
A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查
B．确定事件一定会发生
C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98
D．数据6、5、8、7、2的中位数是6
5．（3分）图2是图1中长方体的三视图，用
表示面积，
，
，则
A．
B．
C．
D．
6．（3分）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为
，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是
A．
B．
C．
D．
7．（3分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是
A．10 B．89 C．165 D．294
8．（3分）如图，在半径为5的
中，将劣弧
沿弦
翻折，使折叠后的
恰好与
、
相切，则劣弧
的长为
A．
B．
C．
D．
9．（3分）如图，直线
与抛物线
交于
、
两点，则
的图象可能是
A．
B．
C．
D．
10．（3分）如图，
，
，点
在
上，四边形
是矩形，连接
、
交于点
，连接
交
于点
．下列4个判断：①
平分
；②
；③
；④若点
是线段
的中点，则
为等腰直角三角形．正确判断的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：
①绘制扇形统计图
②收集三个部分本班学生喜欢的人数
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比
其中正确的统计顺序是 ．
12．（3分）如图，点
与点
关于直线
对称，则
．
13．（3分）小明为测量校园里一棵大树
的高度，在树底部
所在的水平面内，将测角仪
竖直放在与
相距
的位置，在
处测得树顶
的仰角为
．若测角仪的高度是
，则大树
的高度约为 ．（结果精确到
．参考数据：
，
，
14．（3分）如图，点
、
在反比函数
的图象上，
、
的纵坐标分别是3和6，连接
、
，则
的面积是 ．
15．（3分）已知
的三边
、
、
满足
，则
的内切圆半径
．
16．（3分）已知
为正整数，无论
取何值，直线
与直线
都交于一个固定的点，这个点的坐标是 ；记直线
和
与
轴围成的三角形面积为
，则
，
的值为 ．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）
17．（5分）计算：
．
18．（7分）求代数式
的值，其中
．
19．（7分）如图，点
在
的边
上，以
为半径作
，
的平分线
交
于点
，过点
作
于点
．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
（2）判断
与
交点的个数，并说明理由．
20．（7分）争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：
94 83 90 86 94 88 96 100 89 82
94 82 84 89 88 93 98 94 93 92
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级 |
成绩 |
频数 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
5 |
|
|
4 |
分
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：
，
；
（2）若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；
（3）已知
等级中有2名女生，现从
等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．
21．（8分）如图，
中，
，
、
分别是边
、
的中点．将
绕点
旋转180度，得
．
（1）判断四边形
的形状，并证明；
（2）已知
，
，求四边形
的面积
．
22．（8分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：
|
原进价（元 |
零售价（元 |
成套售价（元 |
餐桌 |
|
380 |
940 |
餐椅 |
|
160 |
张）
张）
套）
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中
的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
23．（8分）如图，在梯形
中，
，
，
，
．
为线段
上的一动点，且和
、
不重合，连接
，过点
作
交射线
于点
．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：
（1）通过推理，他发现
，请你帮他完成证明．
（2）利用几何画板，他改变
的长度，运动点
，得到不同位置时，
、
的长度的对应值：
当
时，得表
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
0.83 |
1.33 |
1.50 |
1.33 |
0.83 |
|
当
时，得表
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
1.17 |
2.00 |
2.50 |
2.67 |
2.50 |
2.00 |
1.17 |
|
这说明，点
在线段
上运动时，要保证点
总在线段
上，
的长度应有一定的限制．
①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在
和
的长度这两个变量中， 的长度为自变量， 的长度为因变量；
②设
，当点
在线段
上运动时，点
总在线段
上，求
的取值范围．
24．（10分）（1）
阅读与证明
如图1，在正
的外角
内引射线
，作点
关于
的对称点
（点
在
内），连接
，
、
分别交
于点
、
．
①完成证明：
点
是点
关于
的对称点，
，
，
．
正
中，
，
，
，得
．
在
中，
，
．
在
中，
，
．
②求证：
．
（2）
类比与探究
把（1）中的“正
”改为“正方形
”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：
①
；
②线段
、
、
之间存在数量关系 ．
（3）
归纳与拓展
如图3，点
在射线
上，
，
，在
内引射线
，作点
关于
的对称点
（点
在
内），连接
，
、
分别交
于点
、
．则线段
、
、
之间的数量关系为 ．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系
中，已知直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，过
、
两点的抛物线
与
轴交于另一点
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点
，使
？若存在，请求出点
的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点
为直线
下方抛物线上一点，点
为
轴上一点，当
的面积最大时，求
的最小值．
2020年四川省达州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台报道，截止北京时间2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万．1002万用科学记数法表示，正确的是
A．
B．
C．
D．
万
【解答】解：1002万用科学记数法表示为
，
故选：
．
2．（3分）下列各数中，比3大比4小的无理数是
A．3.14 B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
、3.14是有理数，故此选项不合题意；
、
是有理数，故此选项不符合题意；
、
是比3大比4小的无理数，故此选项符合题意；
、
比4大的无理数，故此选项不合题意；
故选：
．
3．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
、手的对面是勤，不符合题意；
、手的对面是口，符合题意；
、手的对面是罩，不符合题意；
、手的对面是罩，不符合题意；
故选：
．
4．（3分）下列说法正确的是
A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查
B．确定事件一定会发生
C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98
D．数据6、5、8、7、2的中位数是6
【解答】解：
．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用抽样调查，此选项错误；
．确定事件一定会发生，或一定不会发生，此选项错误；
．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98和99，此选项错误；
．数据6、5、8、7、2的中位数是6，此选项正确；
故选：
．
5．（3分）图2是图1中长方体的三视图，用
表示面积，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
俯视图的长为
，宽为
，
则俯视图的面积
，
故选：
．
6．（3分）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为
，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意得，当每条棱上的小球数为
时，正方体上的所有小球数为
．
而
，
，
，
所以
选项表达错误，符合题意；
、
、
选项表达正确，不符合题意；
故选：
．
7．（3分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是
A．10 B．89 C．165 D．294
【解答】解：
，
故选：
．
8．（3分）如图，在半径为5的
中，将劣弧
沿弦
翻折，使折叠后的
恰好与
、
相切，则劣弧
的长为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，作
点关于
的对称点
，连接
、
，
，
四边形
为菱形，
折叠后的
与
、
相切，
，
，
四边形
为正方形，
，
劣弧
的长
．
故选：
．
9．（3分）如图，直线
与抛物线
交于
、
两点，则
的图象可能是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设
，
，
，
，
由图象可知，在点
和点
之间，
，在点
的左侧或点
的右侧，
，
故选项
符合题意，选项
、
、
不符合题意；
故选：
．
10．（3分）如图，
，
，点
在
上，四边形
是矩形，连接
、
交于点
，连接
交
于点
．下列4个判断：①
平分
；②
；③
；④若点
是线段
的中点，则
为等腰直角三角形．正确判断的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：①
四边形
是矩形，
，
，
平分
，
故①正确；
②
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
③
，
，
连接
，如图1，
，
，
，
，
，
故③正确；
④根据题意作出图形，如图2，
是
的中点，
，
，
，
，
平分
，
，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
故④正确；
故选：
．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：
①绘制扇形统计图
②收集三个部分本班学生喜欢的人数
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比
其中正确的统计顺序是 ②③① ．
【解答】解：正确的统计顺序是：
②收集三个部分本班学生喜欢的人数；
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比；
①绘制扇形统计图；
故答案为：②③①．
12．（3分）如图，点
与点
关于直线
对称，则
．
【解答】解：
点
与点
关于直线
对称，
，
，
，
故答案为
．
13．（3分）小明为测量校园里一棵大树
的高度，在树底部
所在的水平面内，将测角仪
竖直放在与
相距
的位置，在
处测得树顶
的仰角为
．若测角仪的高度是
，则大树
的高度约为 11 ．（结果精确到
．参考数据：
，
，
【解答】解：如图，过点
作
，垂足为
，由题意得，
，
，
在
中，
，
（米
故答案为：11．
14．（3分）如图，点
、
在反比函数
的图象上，
、
的纵坐标分别是3和6，连接
、
，则
的面积是 9 ．
【解答】解：
点
、
在反比函数
的图象上，
、
的纵坐标分别是3和6，
，
，
作
轴于
，
轴于
，
，
，
，
故答案为9．
15．（3分）已知
的三边
、
、
满足
，则
的内切圆半径
1 ．
【解答】解：
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
设内切圆的半径为
，
根据题意，得
，
，
故答案为：1．
16．（3分）已知
为正整数，无论
取何值，直线
与直线
都交于一个固定的点，这个点的坐标是 
；记直线
和
与
轴围成的三角形面积为
，则
，
的值为 ．
【解答】解：
直线
，
直线
经过点
；
直线
，
直线
经过点
．
无论
取何值，直线
与
的交点均为定点
．
直线
与
轴的交点为
，
，
直线
与
轴的交点为
，
，
，
；
．
故答案为
；
；
．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）
17．（5分）计算：
．
【解答】解：原式
．
18．（7分）求代数式
的值，其中
．
【解答】解：原式
当
时，
原式
．
19．（7分）如图，点
在
的边
上，以
为半径作
，
的平分线
交
于点
，过点
作
于点
．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
（2）判断
与
交点的个数，并说明理由．
【解答】解：（1）如图，
，射线
，直线
即为所求．
（2）直线
与
相切，交点只有一个．
理由：
，
，
平分
，
，
，
，
，
，
直线
是
的切线，
与直线
只有一个交点．
20．（7分）争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：
94 83 90 86 94 88 96 100 89 82
94 82 84 89 88 93 98 94 93 92
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级 |
成绩 |
频数 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
5 |
|
|
4 |
分
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：
3 ，
；
（2）若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；
（3）已知
等级中有2名女生，现从
等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．
【解答】解：（1）由题意知
，
，即
；
故答案为：3、40；
（2）估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数为
（人
；
（3）列表如下：
|
男 |
女 |
女 |
男 |
|
（男，女） |
（男，女） |
女 |
（男，女） |
|
（女，女） |
女 |
（男，女） |
（女，女） |
|
所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，
恰好抽到一男一女的概率为
．
21．（8分）如图，
中，
，
、
分别是边
、
的中点．将
绕点
旋转180度，得
．
（1）判断四边形
的形状，并证明；
（2）已知
，
，求四边形
的面积
．
【解答】解：（1）结论：四边形
是菱形．
，
，
，
，
由旋转的性质可知，
，
，
，
四边形
是平行四边形，
，
，
，
四边形
是菱形．
（2）连接
，
交于点
．
四边形
是菱形，
，
，
，设
，
，
则有
，
，
，
，
．
22．（8分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：
|
原进价（元 |
零售价（元 |
成套售价（元 |
餐桌 |
|
380 |
940 |
餐椅 |
|
160 |
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中
的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【解答】解：（1）根据题意得：
，
解得
，
经检验，
是原分式方程的解．
答：表中
的值为260．
（2）设购进餐桌
张，则购进餐椅
张，
根据题意得：
，
解得：
．
设销售利润为
元，
根据题意得：
，
，
当
时，
取最大值，最大值为：
．
答：当购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．
23．（8分）如图，在梯形
中，
，
，
，
．
为线段
上的一动点，且和
、
不重合，连接
，过点
作
交射线
于点
．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：
（1）通过推理，他发现
，请你帮他完成证明．
（2）利用几何画板，他改变
的长度，运动点
，得到不同位置时，
、
的长度的对应值：
当
时，得表
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
0.83 |
1.33 |
1.50 |
1.33 |
0.83 |
|
当
时，得表
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
1.17 |
2.00 |
2.50 |
2.67 |
2.50 |
2.00 |
1.17 |
|
这说明，点
在线段
上运动时，要保证点
总在线段
上，
的长度应有一定的限制．
①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在
和
的长度这两个变量中， 
的长度为自变量， 的长度为因变量；
②设
，当点
在线段
上运动时，点
总在线段
上，求
的取值范围．
【解答】（1）证明：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：①根据函数的定义，我们可以确定，在
和
的长度这两个变量中，
的长度为自变量，
的长度为因变量，
故答案为：
，
．
②设
，
．
，
，
，
，
，
时，
有最大值
，
点
在线段
上，
，
，
，
．
24．（10分）（1）
阅读与证明
如图1，在正
的外角
内引射线
，作点
关于
的对称点
（点
在
内），连接
，
、
分别交
于点
、
．
①完成证明：
点
是点
关于
的对称点，
，
，
．
正
中，
，
，
，得
．
在
中，
，
60 
．
在
中，
，
．
②求证：
．
（2）
类比与探究
把（1）中的“正
”改为“正方形
”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：
①
；
②线段
、
、
之间存在数量关系 ．
（3）
归纳与拓展
如图3，点
在射线
上，
，
，在
内引射线
，作点
关于
的对称点
（点
在
内），连接
，
、
分别交
于点
、
．则线段
、
、
之间的数量关系为 ．
【解答】（1）①解：如图1中，
点
是点
关于
的对称点，
，
，
．
正
中，
，
，
，得
．
在
中，
，
．
在
中，
，
．
故答案为60，30．
②证明：如图1中，连接
，在
上取一点
，使得
，连接
．
，
关于
对称，
垂直平分线段
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：①如图2中，
，
点
是
的外接圆的圆心，
，
，
．
故答案为45．
②结论：
．
理由：如图2中，连接
，在
上取一点
，使得
，连接
．
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．．
（3）如图3中，连接
，
，在
上取一点
，使得
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
同法可证，
，
，
，
．即
．
故答案为：
．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系
中，已知直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，过
、
两点的抛物线
与
轴交于另一点
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点
，使
？若存在，请求出点
的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点
为直线
下方抛物线上一点，点
为
轴上一点，当
的面积最大时，求
的最小值．
【解答】解：（1）
直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，
点
，点
，
设抛物线解析式为：
，
，
，
抛物线解析式为：
；
（2）如图，当点
在直线
上方时，过点
作
，交抛物线与点
，
，
和
是等底等高的两个三角形，
，
，
直线
的解析式为
，
联立方程组可得
，
解得：
或
，
点
，
或
，
；
当点
在直线
下方时，在
的延长线上截取
，过点
作
，交抛物线于点
，
，
，
，
，且过点
，
直线
解析式为
，
联立方程组可得
，
解得
，
点
，
综上所述：点
坐标为
，
或
，
或
；
（3）如图2，过点
作
，交
于
，
设点
，则点
，
，
的面积
，
当
时，
的面积有最大值，
点
，
如图3，过点
作
，过点
作
于
点，过点
作
于
，延长
交直线
于
，
，
，
，
，
当点
，点
，点
三点共线，且垂直于
时，
有最小值，即最小值为
，
，
直线
解析式为
，
当
时，点
，
，
，
，
，
，
的最小值为
．