2020年四川省成都市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）
的绝对值是
A．
B．1 C．2 D．
2．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是
A．
B．
C．
D．
3．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为
A．
B．
C．
D．
4．（3分）在平面直角坐标系中，将点
向下平移2个单位长度得到的点的坐标是
A．
B．
C．
D．
5．（3分）下列计算正确的是
A．
B．
C．
D．
6．（3分）成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是
A．5人，7人 B．5人，11人 C．5人，12人 D．7人，11人
7．（3分）如图，在
中，按以下步骤作图：①分别以点
和
为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧相交于点
和
；②作直线
交
于点
，连接
．若
，
，则
的长为
A．2 B．3 C．4 D．6
8．（3分）已知
是分式方程
的解，那么实数
的值为
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（3分）如图，直线
，直线
和
被
，
，
所截，
，
，
，则
的长为
A．2 B．3 C．4 D．
10．（3分）关于二次函数
，下列说法正确的是
A．图象的对称轴在
轴的右侧
B．图象与
轴的交点坐标为
C．图象与
轴的交点坐标为
和
D．
的最小值为
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）分解因式：
．
12．（4分）一次函数
的值随
值的增大而增大，则常数
的取值范围为 ．
13．（4分）如图，
，
，
是
上的三个点，
，
，则
的度数为 ．
14．（4分）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程
七
中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金
两，1只羊值金
两，则可列方程组为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）计算：
；
（2）解不等式组：
．
16．（6分）先化简，再求值：
，其中
．
17．（8分）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有 人；
（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 ；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
18．（8分）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台
处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项
处测得塔
处的仰角为
，塔底部
处的俯角为
．已知建筑物的高
约为61米，请计算观景台的高
的值．
（结果精确到1米；参考数据：
，
，
19．（10分）在平面直角坐标系
中，反比例函数
的图象经过点
，过点
的直线
与
轴、
轴分别交于
，
两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若
的面积为
的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
20．（10分）如图，在
的边
上取一点
，以
为圆心，
为半径画
，
与边
相切于点
，
，连接
交
于点
，连接
，并延长交线段
于点
．
（1）求证：
是
的切线；
（2）若
，
，求
的半径；
（3）若
是
的中点，试探究
与
的数量关系并说明理由．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）已知
，则代数式
的值为 ．
22．（4分）关于
的一元二次方程
有实数根，则实数
的取值范围是 ．
23．（4分）如图，六边形
是正六边形，曲线
叫做“正六边形的渐开线”，
，
，
，
，
，
，
的圆心依次按
，
，
，
，
，
循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当
时，曲线
的长度是 ．
24．（4分）在平面直角坐标系
中，已知直线
与双曲线
交于
，
两点（点
在第一象限），直线
与双曲线
交于
，
两点．当这两条直线互相垂直，且四边形
的周长为
时，点
的坐标为 ．
25．（4分）如图，在矩形
中，
，
，
，
分别为
，
边的中点．动点
从点
出发沿
向点
运动，同时，动点
从点
出发沿
向点
运动，连接
，过点
作
于点
，连接
．若点
的速度是点
的速度的2倍，在点
从点
运动至点
的过程中，线段
长度的最大值为 ，线段
长度的最小值为 ．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元
件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量
（单位：件）与线下售价
（单位：元
件，
满足一次函数的关系，部分数据如下表：
|
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
1200 |
1100 |
1000 |
900 |
800 |
件）
（1）求
与
的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当
为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
27．（10分）在矩形
的
边上取一点
，将
沿
翻折，使点
恰好落在
边上点
处．
（1）如图1，若
，求
的度数；
（2）如图2，当
，且
时，求
的长；
（3）如图3，延长
，与
的角平分线交于点
，
交
于点
，当
时，求
的值．
28．（12分）在平面直角坐标系
中，已知抛物线
与
轴交于
，
两点，与
轴交于点
．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点
为第四象限抛物线上一点，连接
，
交于点
，连接
，记
的面积为
，
的面积为
，求
的最大值；
（3）如图2，连接
，
，过点
作直线
，点
，
分别为直线
和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点
，
，使
．若存在，请求出所有符合条件的点
的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年四川省成都市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）
的绝对值是
A．
B．1 C．2 D．
【解答】解：
的绝对值为2．
故选：
．
2．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：从左面看是一列2个正方形．
故选：
．
3．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
故选：
．
4．（3分）在平面直角坐标系中，将点
向下平移2个单位长度得到的点的坐标是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：将点
向下平移2个单位长度所得到的点坐标为
，即
，
故选：
．
5．（3分）下列计算正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
、
与
不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
、
，原计算错误，故此选项不符合题意；
、
，原计算正确，故此选项符合题意；
、
，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：
．
6．（3分）成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是
A．5人，7人 B．5人，11人 C．5人，12人 D．7人，11人
【解答】解：5出现了2次，出现的次数最多，则众数是5人；
把这组数据从小到大排列：5，5，7，11，12，最中间的数是7，则中位数是7人．
故选：
．
7．（3分）如图，在
中，按以下步骤作图：①分别以点
和
为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧相交于点
和
；②作直线
交
于点
，连接
．若
，
，则
的长为
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：由作图知，
是线段
的垂直平分线，
，
，
，
，
故选：
．
8．（3分）已知
是分式方程
的解，那么实数
的值为
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：把
代入分式方程得：
，
解得：
．
故选：
．
9．（3分）如图，直线
，直线
和
被
，
，
所截，
，
，
，则
的长为
A．2 B．3 C．4 D．
【解答】解：
直线
，
，
，
，
，
，
，
故选：
．
10．（3分）关于二次函数
，下列说法正确的是
A．图象的对称轴在
轴的右侧
B．图象与
轴的交点坐标为
C．图象与
轴的交点坐标为
和
D．
的最小值为
【解答】解：
二次函数
，
该函数的对称轴是直线
，在
轴的左侧，故选项
错误；
当
时，
，即该函数与
轴交于点
，故选项
错误；
当
时，
或
，即图象与
轴的交点坐标为
和
，故选项
错误；
当
时，该函数取得最小值
，故选项
正确；
故选：
．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）分解因式：
．
【解答】解：
．
12．（4分）一次函数
的值随
值的增大而增大，则常数
的取值范围为 
．
【解答】解：
一次函数
中，函数值
随自变量
的增大而增大，
，解得
．
故答案为：
．
13．（4分）如图，
，
，
是
上的三个点，
，
，则
的度数为 
．
【解答】解：
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
．
14．（4分）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程
七
中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金
两，1只羊值金
两，则可列方程组为 
．
【解答】解：设1头牛值金
两，1只羊值金
两，
由题意可得，
，
故答案为：
．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）计算：
；
（2）解不等式组：
．
【解答】解：（1）原式
；
（2）
，
由①得，
；
由②得，
，
故此不等式组的解集为：
．
16．（6分）先化简，再求值：
，其中
．
【解答】解：原式
，
当
时，
原式
．
17．（8分）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有 180 人；
（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 ；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【解答】解：（1）根据题意得：
（人
，
答：这次被调查的学生共有180人；
故答案为：180；
（2）根据题意得：
，
答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为
，
故答案为：
；
（3）列表如下：
|
甲 |
乙 |
丙 |
丁 |
甲 |
一 |
（乙，甲） |
（丙，甲） |
（丁，甲） |
乙 |
（甲，乙） |
一 |
（丙，乙） |
（丁，乙） |
丙 |
（甲，丙） |
（乙，丙） |
一 |
（丁，丙） |
丁 |
（甲，丁） |
（乙，丁） |
（丙，丁） |
一 |
共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
（选中甲、乙）
．
18．（8分）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台
处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项
处测得塔
处的仰角为
，塔底部
处的俯角为
．已知建筑物的高
约为61米，请计算观景台的高
的值．
（结果精确到1米；参考数据：
，
，
【解答】解：过点
作
于点
，
根据题意可得四边形
是矩形，
，
，
在
中，
，
，
，
在
中，
，
，
（米
．
答：观景台的高
的值约为214米．
19．（10分）在平面直角坐标系
中，反比例函数
的图象经过点
，过点
的直线
与
轴、
轴分别交于
，
两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若
的面积为
的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
【解答】解：（1）
反比例函数
的图象经过点
，
，
反比例函数的表达式为
；
（2）
直线
过点
，
，
过点
的直线
与
轴、
轴分别交于
，
两点，
，
，
，
的面积为
的面积的2倍，
，
，
当
时，
，
当
时，
，
直线的函数表达式为：
，
．
20．（10分）如图，在
的边
上取一点
，以
为圆心，
为半径画
，
与边
相切于点
，
，连接
交
于点
，连接
，并延长交线段
于点
．
（1）求证：
是
的切线；
（2）若
，
，求
的半径；
（3）若
是
的中点，试探究
与
的数量关系并说明理由．
【解答】解：（1）如图，连接
，
与边
相切于点
，
，即
，
，
，
，
，
，
又
是半径，
是
的切线；
（2）
，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故
的半径为
；
（3）连接
，
，
由（1）可知：
，
，
，
又
，
，
，
，
，
，
，
点
是
中点，
，
，
，
，
，
，
．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）已知
，则代数式
的值为 49 ．
【解答】解：
，
，
，
故答案为：49．
22．（4分）关于
的一元二次方程
有实数根，则实数
的取值范围是 
．
【解答】解：
关于
的一元二次方程
有实数根，
△
，
解得：
，
故答案为：
．
23．（4分）如图，六边形
是正六边形，曲线
叫做“正六边形的渐开线”，
，
，
，
，
，
，
的圆心依次按
，
，
，
，
，
循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当
时，曲线
的长度是 
．
【解答】解：
的长
，
的长
，
的长
，
的长
，
的长
，
的长
，
曲线
的长度
，
故答案为
．
24．（4分）在平面直角坐标系
中，已知直线
与双曲线
交于
，
两点（点
在第一象限），直线
与双曲线
交于
，
两点．当这两条直线互相垂直，且四边形
的周长为
时，点
的坐标为 
，
或
，
．
【解答】解：联立
与
并解得：
，故点
的坐标为
，
，
联立
与
同理可得：点
，
，
这两条直线互相垂直，则
，故点
，
，则点
，
，
则
，
同理可得：
，
则
，即
，
解得：
或
，
故点
的坐标为
，
或
，
，
故答案为：
，
或
，
．
25．（4分）如图，在矩形
中，
，
，
，
分别为
，
边的中点．动点
从点
出发沿
向点
运动，同时，动点
从点
出发沿
向点
运动，连接
，过点
作
于点
，连接
．若点
的速度是点
的速度的2倍，在点
从点
运动至点
的过程中，线段
长度的最大值为 
，线段
长度的最小值为 ．
【解答】解：连接
交
于
，连接
，取
的中点
，连接
，
，过点
作
于
．
四边形
是矩形，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
当点
与
重合时，
的值最大，此时
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为
，
故答案为
，
．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元
件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量
（单位：件）与线下售价
（单位：元
件，
满足一次函数的关系，部分数据如下表：
|
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
1200 |
1100 |
1000 |
900 |
800 |
（1）求
与
的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当
为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
【解答】解：（1）
与
满足一次函数的关系，
设
，
将
，
；
，
代入得：
，
解得：
，
与
的函数关系式为：
；
（2）设线上和线下月利润总和为
元，
则
，
当
为19元
件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元．
27．（10分）在矩形
的
边上取一点
，将
沿
翻折，使点
恰好落在
边上点
处．
（1）如图1，若
，求
的度数；
（2）如图2，当
，且
时，求
的长；
（3）如图3，延长
，与
的角平分线交于点
，
交
于点
，当
时，求
的值．
【解答】解：（1）
将
沿
翻折，使点
恰好落在
边上点
处，
，
，
，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
；
（2）
将
沿
翻折，使点
恰好落在
边上点
处，
，
，
又
矩形
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）过点
作
于点
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设
，
平分
，
，
，
，
设
，则
，
，
，
解得
．
．
．
28．（12分）在平面直角坐标系
中，已知抛物线
与
轴交于
，
两点，与
轴交于点
．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点
为第四象限抛物线上一点，连接
，
交于点
，连接
，记
的面积为
，
的面积为
，求
的最大值；
（3）如图2，连接
，
，过点
作直线
，点
，
分别为直线
和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点
，
，使
．若存在，请求出所有符合条件的点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为
．
将
代入得：
，解得
，
抛物线的解析式为
，即
．
（2）过点
作
轴于点
，交
于点
，过点
作
轴交
的延长线于点
，
，
，
，
，
设直线
的解析式为
，
，解得
，
直线
的解析式为
，
，
，
，
设
，则
，
．
．
当
时，
有最大值，最大值是
．
（3）符合条件的点
的坐标为
或
．
，
直线
的解析式为
，
设
，
①当点
在直线
右侧时，如图2，过点
作
轴于点
，过点
作
直线
于点
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
将点
的坐标代入抛物线的解析式得
，
解得
（舍去）或
．
．
②当点
在直线
左侧时，
由①的方法同理可得点
的坐标为
，
．
此时点
的坐标为
．