2020年山东省聊城市中考数学试卷
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）在实数
，
，0，
中，最小的实数是
A．
B．
C．0 D．
2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是
A．
B．
C．
D．
3．（3分）如图，在
中，
，
，点
是
边上任意一点，过点
作
交
于点
，则
的度数是
A．
B．
C．
D．
4．（3分）下列计算正确的是
A．
B．
C．
D．
5．（3分）为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是
成绩 |
84 |
88 |
92 |
96 |
100 |
人数 |
2 |
4 |
9 |
10 |
5 |
分
人A．92分，96分 B．94分，96分 C．96分，96分 D．96分，100分
6．（3分）计算
的结果正确的是
A．1 B．
C．5 D．9
7．（3分）如图，在
的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，
的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么
的值为
A．
B．
C．
D．
8．（3分）用配方法解一元二次方程
，配方正确的是
A．
B．
C．
D．
9．（3分）如图，
是
的直径，弦
，垂足为点
，连接
，
．如果
，
，那么图中阴影部分的面积是
A．
B．
C．
D．
10．（3分）如图，有一块半径为
，圆心角为
的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为
A．
B．
C．
D．
11．（3分）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③
的次序铺设地砖，把第
个图形用图
表示，那么图
中的白色小正方形地砖的块数是
A．150 B．200 C．355 D．505
12．（3分）如图，在
中，
，
，将
绕点
旋转得到
△
，使点
的对应点
落在
上，在
上取点
，使
，那么点
到
的距离等于
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）
13．（3分）因式分解：
．
14．（3分）如图，在
中，四边形
为菱形，点
在
上，则
的度数是 ．
15．（3分）计算：
．
16．（3分）某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是 ．
17．（3分）如图，在直角坐标系中，点
，
是第一象限角平分线上的两点，点
的纵坐标为1，且
，在
轴上取一点
，连接
，
，
，
，使得四边形
的周长最小，这个最小周长的值为 ．
三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（7分）解不等式组
并写出它的所有整数解．
19．（8分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为：
“剪纸”、
“沙画”、
“葫芦雕刻”、
“泥塑”、
“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 ；统计图中的
，
；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．
20．（8分）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的
，
两种树苗，每捆
种树苗比每捆
种树苗多10棵，每捆
种树苗和每捆
种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵
种树苗和每棵
种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．
（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
（2）如果购进的这批树苗共5500棵，
种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进
种树苗和
种树苗各多少棵？并求出最低费用．
21．（8分）如图，在
中，
为
的中点，连接
并延长交
的延长线于点
，连接
，
，若
，求证：四边形
是矩形．
22．（8分）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼
的高度进行测量，先测得居民楼
与
之间的距离
为
，后站在
点处测得居民楼
的顶端
的仰角为
，居民楼
的顶端
的仰角为
，已知居民楼
的高度为
，小莹的观测点
距地面
．求居民楼
的高度（精确到
．（参考数据：
，
，
．
23．（8分）如图，已知反比例函数
的图象与直线
相交于点
，
．
（1）求出直线
的表达式；
（2）在
轴上有一点
使得
的面积为18，求出点
的坐标．
24．（10分）如图，在
中，
，以
的边
为直径作
，交
于点
，过点
作
，垂足为点
．
（1）试证明
是
的切线；
（2）若
的半径为5，
，求此时
的长．
25．（12分）如图，二次函数
的图象与
轴交于点
，
，与
轴交于点
，抛物线的顶点为
，其对称轴与线段
交于点
，垂直于
轴的动直线
分别交抛物线和线段
于点
和点
，动直线
在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿
轴正方向移动到
点．
（1）求出二次函数
和
所在直线的表达式；
（2）在动直线
移动的过程中，试求使四边形
为平行四边形的点
的坐标；
（3）连接
，
，在动直线
移动的过程中，抛物线上是否存在点
，使得以点
，
，
为顶点的三角形与
相似？如果存在，求出点
的坐标；如果不存在，请说明理由．
2020年山东省聊城市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）在实数
，
，0，
中，最小的实数是
A．
B．
C．0 D．
【解答】解：
，
，
实数
，
，0，
中，
．
故4个实数中最小的实数是：
．
故选：
．
2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的靠右边有一条纵向的实线，
故选：
．
3．（3分）如图，在
中，
，
，点
是
边上任意一点，过点
作
交
于点
，则
的度数是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
，
，
，
；
故选：
．
4．（3分）下列计算正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
、
，原计算错误，故此选项不合题意；
、
，原计算错误，故此选项不合题意；
、
，原计算正确，故此选项合题意；
、
，原计算错误，故此选项不合题意．
故选：
．
5．（3分）为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是
成绩 |
84 |
88 |
92 |
96 |
100 |
人数 |
2 |
4 |
9 |
10 |
5 |
A．92分，96分 B．94分，96分 C．96分，96分 D．96分，100分
【解答】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第15、16个数的平均数，
所以全班30名同学的成绩的中位数是：
；
96出现了10次，出现的次数最多，则众数是96，
所以这些成绩的中位数和众数分别是94分，96分．
故选：
．
6．（3分）计算
的结果正确的是
A．1 B．
C．5 D．9
【解答】解：原式
．
故选：
．
7．（3分）如图，在
的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，
的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么
的值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，过点
作
于
．
在
中，
，
，
，
，
故选：
．
8．（3分）用配方法解一元二次方程
，配方正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由原方程，得
，
，
，
故选：
．
9．（3分）如图，
是
的直径，弦
，垂足为点
，连接
，
．如果
，
，那么图中阴影部分的面积是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：连接
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积
，
故选：
．
10．（3分）如图，有一块半径为
，圆心角为
的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设底面半径为
，则
，
解得：
，
所以其高为：
，
故选：
．
11．（3分）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③
的次序铺设地砖，把第
个图形用图
表示，那么图
中的白色小正方形地砖的块数是
A．150 B．200 C．355 D．505
【解答】解：由图形可知图
的地砖有
块，
当
时，
．
故选：
．
12．（3分）如图，在
中，
，
，将
绕点
旋转得到
△
，使点
的对应点
落在
上，在
上取点
，使
，那么点
到
的距离等于
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
在
中，
，
，
，
，
将
绕点
旋转得到
△
，使点
的对应点
落在
上，
，
，
，
延长
交
于
，
，
，
，
，
，
，
过
作
于
，
，
故选：
．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）
13．（3分）因式分解：
．
【解答】解：原式
．
故答案为：
．
14．（3分）如图，在
中，四边形
为菱形，点
在
上，则
的度数是 
．
【解答】解：
四边形
内接于
，
，
四边形
为菱形，
，
，
，
，
，
故答案为
．
15．（3分）计算：
．
【解答】解：原式
．
故答案为：
．
16．（3分）某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是 
．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有9种等可能结果，其中抽到同一类书籍的有3种结果，
所以抽到同一类书籍的概率为
，
故答案为：
．
17．（3分）如图，在直角坐标系中，点
，
是第一象限角平分线上的两点，点
的纵坐标为1，且
，在
轴上取一点
，连接
，
，
，
，使得四边形
的周长最小，这个最小周长的值为 
．
【解答】解：
点
，点
的纵坐标为1，
轴，
，
，
，
，
，
，
作
关于
轴的对称点
，
连接
交
轴于
，
则此时，四边形
的周长最小，这个最小周长的值
，
过
作
交
的延长线于
，
则
，
，
，
最小周长的值
，
故答案为：
．
三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（7分）解不等式组
并写出它的所有整数解．
【解答】解：
，
解不等式①，
，
解不等式②，得
，
原不等式组的解集为
，
它的所有整数解为0，1，2．
19．（8分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为：
“剪纸”、
“沙画”、
“葫芦雕刻”、
“泥塑”、
“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 120 ；统计图中的
，
；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．
【解答】解：（1）
（人
，因此样本容量为120；
（人
，
（人
，
故答案为：120，12，36；
（2）
组频数：
（人
，
补全条形统计图如图所示：
（3）
（人
，
答：该校2500名学生中喜爱“葫芦雕刻”的有625人．
20．（8分）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的
，
两种树苗，每捆
种树苗比每捆
种树苗多10棵，每捆
种树苗和每捆
种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵
种树苗和每棵
种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．
（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
（2）如果购进的这批树苗共5500棵，
种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进
种树苗和
种树苗各多少棵？并求出最低费用．
【解答】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是
元，根据题意列，得：
，
解这个方程，得
，
经检验，
是原分式方程的解，并符合题意，
答：这一批树苗平均每棵的价格是20元；
（2）由（1）可知
种树苗每棵的价格为：
（元
，
种树苗每棵的价格为：
（元
，
设购进
种树苗
棵，这批树苗的费用为
元，则：
，
是
的一次函数，
，
随
的增大而减小，
又
，
当
棵时，
最小，
此时，
种树苗每棵有：
（棵
，
，
答：购进
种树苗3500棵，
种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为111000元．
21．（8分）如图，在
中，
为
的中点，连接
并延长交
的延长线于点
，连接
，
，若
，求证：四边形
是矩形．
【解答】证明：
四边形
是平行四边形，
，
，
，
，
为
的中点，
，
，
．
，
四边形
是平行四边形，
，
四边形
是矩形．
22．（8分）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼
的高度进行测量，先测得居民楼
与
之间的距离
为
，后站在
点处测得居民楼
的顶端
的仰角为
，居民楼
的顶端
的仰角为
，已知居民楼
的高度为
，小莹的观测点
距地面
．求居民楼
的高度（精确到
．（参考数据：
，
，
．
【解答】解：过点
作
交
于点
，交
于点
，
则
，
，
，
，
，
则
，
在
中，
，
，
，
在
中，
，
，
．
答：居民楼
的高度约为30米．
23．（8分）如图，已知反比例函数
的图象与直线
相交于点
，
．
（1）求出直线
的表达式；
（2）在
轴上有一点
使得
的面积为18，求出点
的坐标．
【解答】解：（1）将点
的坐标代入反比例函数表达式并解得：
，
故反比例函数表达式为：
，
将点
的坐标代入上式并解得：
，故点
，
将点
、
的坐标代入一次函数表达式得
，解得
，
故直线的表达式为：
；
（2）设直线与
轴的交点为
，当
时，
，故点
，
分别过点
、
作
轴的垂线
、
，垂足分别为
、
，
则
，解得：
，
故点
的坐标为
或
．
24．（10分）如图，在
中，
，以
的边
为直径作
，交
于点
，过点
作
，垂足为点
．
（1）试证明
是
的切线；
（2）若
的半径为5，
，求此时
的长．
【解答】（1）证明：连接
、
，
是
直径，
，
，
，
为
中点，
，
，
，
，
为半径，
是
的切线；
（2）由（1）知
是
的中线，
，
的半径为5，
，
，
，
，
，
，
，即
，
．
25．（12分）如图，二次函数
的图象与
轴交于点
，
，与
轴交于点
，抛物线的顶点为
，其对称轴与线段
交于点
，垂直于
轴的动直线
分别交抛物线和线段
于点
和点
，动直线
在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿
轴正方向移动到
点．
（1）求出二次函数
和
所在直线的表达式；
（2）在动直线
移动的过程中，试求使四边形
为平行四边形的点
的坐标；
（3）连接
，
，在动直线
移动的过程中，抛物线上是否存在点
，使得以点
，
，
为顶点的三角形与
相似？如果存在，求出点
的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点
，
，代入
，
得：
，
解得：
，
二次函数的表达式为：
，
当
时，
，
，
设
所在直线的表达式为：
，
将
、
代入
，
得：
，
解得：
，
所在直线的表达式为：
；
（2）
轴，
轴，
，
只要
，四边形
即为平行四边形，
，
点
的坐标为：
，
，
将
代入
，即
，
点
的坐标为：
，
，
，
设点
的横坐标为
，
则
的坐标为：
，
的坐标为：
，
，
由
得：
，
解得：
（不合题意舍去），
，
当
时，
，
点
的坐标为
，
；
（3）存在，理由如下：
如图2所示：
由（2）得：
，
，
又
与
有共同的顶点
，且
在
的内部，
只有
时，
，
，
、
，
，
，
由（2）得：
，
，
的坐标为：
，
，
，
，
，
解得：
，
当
时，
，
点
的坐标为：
，
．
