2020年山东省菏泽市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）
1．（3分）下列各数中，绝对值最小的数是
A．
B．
C．
D．
2．（3分）函数
的自变量
的取值范围是
A．
B．
且
C．
D．
且
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点
向右平移3个单位得到点
，则点
关于
轴的对称点的坐标为
A．
B．
C．
D．
4．（3分）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为
A．
B．
C．
D．
5．（3分）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是
A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分
6．（3分）如图，将
绕点
顺时针旋转角
，得到
，若点
恰好在
的延长线上，则
等于
A．
B．
C．
D．
7．（3分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于
的方程
的两个根，则
的值为
A．3 B．4 C．3或4 D．7
8．（3分）一次函数
与二次函数
在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）
9．（3分）计算
的结果是 ．
10．（3分）方程
的解是 ．
11．（3分）如图，在
中，
，点
为
边的中点，连接
，若
，
，则
的值为 ．
12．（3分）从
，2，
，4这四个数中任取两个不同的数分别作为
，
的值，得到反比例函数
，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是 ．
13．（3分）如图，在菱形
中，
是对角线，
，
与边
相切于点
，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（3分）如图，矩形
中，
，
，点
在对角线
上，且
，连接
并延长，交
的延长线于点
，连接
，则
的长为 ．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）
15．计算：
．
16．先化简，再求值：
，其中
满足
．
17．如图，在
中，
，点
在
的延长线上，
于点
，若
，求证：
．
18．某兴趣小组为了测量大楼
的高度，先沿着斜坡
走了52米到达坡顶点
处，然后在点
处测得大楼顶点
的仰角为
，已知斜坡
的坡度为
，点
到大楼的距离
为72米，求大楼的高度
．
（参考数据：
，
，
19．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：
；
；
；
，并绘制出如图不完整的统计图．
（1）求被抽取的学生成绩在
组的有多少人？
（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内？
（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在
组的学生有多少人？
20．如图，一次函数
的图象与反比例函数
的图象相交于
，
两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线
交
轴于点
，点
是
轴上的点，若
的面积是4，求点
的坐标．
21．今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
22．如图，在
中，
，以
为直径的
与
相交于点
，过点
作
的切线交
于点
．
（1）求证：
；
（2）若
的半径为5，
，求
的长．
23．如图1，四边形
的对角线
，
相交于点
，
，
．
（1）过点
作
交
于点
，求证：
；
（2）如图2，将
沿
翻折得到
．
①求证：
；
②若
，求证：
．
24．如图，抛物线
与
轴相交于
，
两点，与
轴相交于点
，
，
，直线
是抛物线的对称轴，在直线
右侧的抛物线上有一动点
，连接
，
，
，
．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点
在
轴的下方，当
的面积是
时，求
的面积；
（3）在（2）的条件下，点
是
轴上一点，点
是抛物线上一动点，是否存在点
，使得以点
，
，
，
为顶点，以
为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年山东省菏泽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）
1．（3分）下列各数中，绝对值最小的数是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
，
，
绝对值最小的数是
．
故选：
．
2．（3分）函数
的自变量
的取值范围是
A．
B．
且
C．
D．
且
【解答】解：由题意得
且
，
解得
且
．
故选：
．
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点
向右平移3个单位得到点
，则点
关于
轴的对称点的坐标为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
将点
向右平移3个单位得到点
，
点
的坐标是
，
点
关于
轴的对称点的坐标是
．
故选：
．
4．（3分）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：从正面看所得到的图形为
．
故选：
．
5．（3分）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是
A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分
【解答】解：由矩形的性质知，矩形的四角为直角，即每组邻边互相垂直，故原四边形的对角线应互相垂直．
故选：
．
6．（3分）如图，将
绕点
顺时针旋转角
，得到
，若点
恰好在
的延长线上，则
等于
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
，
，
，
．
故选：
．
7．（3分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于
的方程
的两个根，则
的值为
A．3 B．4 C．3或4 D．7
【解答】解：当3为腰长时，将
代入
，得：
，
解得：
；
当3为底边长时，关于
的方程
有两个相等的实数根，
△
，
解得：
，此时两腰之和为4，
，符合题意．
的值为3或4．
故选：
．
8．（3分）一次函数
与二次函数
在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
、由抛物线可知，
，
，
，则
，由直线可知，
，
，故本选项错误；
、由抛物线可知，
，
，
，则
，由直线可知，
，
，故本选项正确；
、由抛物线可知，
，
，
，则
，由直线可知，
，
，故本选项错误；
、由抛物线可知，
，
，
，则
，由直线可知，
，
，故本选项错误．
故选：
．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）
9．（3分）计算
的结果是 
．
【解答】解：原式
．
故答案为：
．
10．（3分）方程
的解是 
．
【解答】解：方程
，
去分母得：
，
整理得：
，
解得：
，
经检验
是分式方程的解．
故答案为：
．
11．（3分）如图，在
中，
，点
为
边的中点，连接
，若
，
，则
的值为 
．
【解答】解：过点
作
，垂足为
，
，
，
，
又
点
为
边的中点，
，
在
中，
，
故答案为：
．
12．（3分）从
，2，
，4这四个数中任取两个不同的数分别作为
，
的值，得到反比例函数
，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是 
．
【解答】解：画树状图得：
则共有12种等可能的结果，
反比例函数
中，图象在二、四象限，
，
有8种符合条件的结果，
（图象在二、四象限）
，
故答案为：
．
13．（3分）如图，在菱形
中，
是对角线，
，
与边
相切于点
，则图中阴影部分的面积为 
．
【解答】解：连接
，
四边形
为菱形，
，
，
，
为等边三角形，
，
是
的切线，
，
，
同理可知，
为等边三角形，
，
图中阴影部分的面积
，
故答案为：
．
14．（3分）如图，矩形
中，
，
，点
在对角线
上，且
，连接
并延长，交
的延长线于点
，连接
，则
的长为 
．
【解答】解：
矩形
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
中，根据勾股定理，得
．
故答案为：
．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）
15．计算：
．
【解答】解：原式
．
16．先化简，再求值：
，其中
满足
．
【解答】解：原式
，
，
，
则原式
．
17．如图，在
中，
，点
在
的延长线上，
于点
，若
，求证：
．
【解答】证明：
，
，
，
，
，
，
，
．
18．某兴趣小组为了测量大楼
的高度，先沿着斜坡
走了52米到达坡顶点
处，然后在点
处测得大楼顶点
的仰角为
，已知斜坡
的坡度为
，点
到大楼的距离
为72米，求大楼的高度
．
（参考数据：
，
，
【解答】解：如图，过点
作
于点
，
于点
，
，
四边形
是矩形，
，
，
在
中，
，
设
，
，
根据勾股定理，得
，
，
解得
，
，
，
，
在
中，
，
（米
．
答：大楼的高度
约为52米．
19．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：
；
；
；
，并绘制出如图不完整的统计图．
（1）求被抽取的学生成绩在
组的有多少人？
（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内？
（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在
组的学生有多少人？
【解答】解：（1）本次抽取的学生有：
（人
，
组学生有：
（人
，
即被抽取的学生成绩在
组的有24人；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在
这一组内；
（3）
（人
，
答：这次竞赛成绩在
组的学生有150人．
20．如图，一次函数
的图象与反比例函数
的图象相交于
，
两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线
交
轴于点
，点
是
轴上的点，若
的面积是4，求点
的坐标．
【解答】解：（1）将点
代入
，得：
，
，
当
时，
，
，
将
、
代入
，
得：
，
解得
，
；
一次函数解析式为
，反比例函数解析式为
；
（2）在
中，当
时，
，
解得
，
，
设
，
则
，
，
，
解得
或
，
点
的坐标为
或
．
21．今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
【解答】解：（1）设购买一根跳绳需要
元，购买一个毽子需要
元，
依题意，得：
，
解得：
．
答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．
（2）设购买
根跳绳，则购买
个毽子，
依题意，得：
，
解得：
．
又
为正整数，
可以为21，22．
共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．
22．如图，在
中，
，以
为直径的
与
相交于点
，过点
作
的切线交
于点
．
（1）求证：
；
（2）若
的半径为5，
，求
的长．
【解答】（1）证明：连接
、
．
是圆
的直径，
．
．
是圆
的切线，
．
．
．
，
．
．
，
，
．
，
．
．
．
（2）解：
，
，
，
的半径为5，
，
，
，
，
，
．
23．如图1，四边形
的对角线
，
相交于点
，
，
．
（1）过点
作
交
于点
，求证：
；
（2）如图2，将
沿
翻折得到
．
①求证：
；
②若
，求证：
．
【解答】（1）证明：
，
，
，
又
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）①证明：如图1，过点
作
交
于点
，
由（1）可知
，
，
，
将
沿
翻折得到
，
，
，
，
又
．
②证明：如图2，过点
作
交
于点
，延长
交
于点
，
，
，
四边形
为平行四边形．
，
将
沿
翻折得到
．
，
，
又
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．如图，抛物线
与
轴相交于
，
两点，与
轴相交于点
，
，
，直线
是抛物线的对称轴，在直线
右侧的抛物线上有一动点
，连接
，
，
，
．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点
在
轴的下方，当
的面积是
时，求
的面积；
（3）在（2）的条件下，点
是
轴上一点，点
是抛物线上一动点，是否存在点
，使得以点
，
，
，
为顶点，以
为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）
，
，
，
，
把
，
代入抛物线
中得：
，
抛物线的解析式为：
；
（2）如图1，过
作
轴于
，交
于
，
当
时，
，
，
设
的解析式为：
，
则
，解得：
，
的解析式为：
，
设
，则
，
，
的面积是
，
，
，
解得：
或3，
点
在直线
右侧的抛物线上，
，
的面积
；
（3）分两种情况：
①如图2，
在
轴的上方时，四边形
是平行四边形，
，
，且
在
轴上，
的纵坐标为
，
当
时，即
，
解得：
或
，
，
或
，
；
②如图3，点
在
轴的下方时，四边形
是平行四边形，此时
与
重合，
；
综上，点
的坐标为：
，
或
，
或
．