2020年山东省德州市中考数学试卷
一、选择题:本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来.每小题选对得4分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.
1.(4分)
的结果是
A.
B.2020 C.
D.
2.(4分)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A.
B.
C.
D.
3.(4分)下列运算正确的是
A.
B.
C.
D.
4.(4分)如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形.若由图1变化至图2,则三视图中没有发生变化的是
A.主视图 B.主视图和左视图
C.主视图和俯视图 D.左视图和俯视图
5.(4分)为提升学生的自理和自立能力,李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况,调查结果如下表:
一周做饭次数 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
人数 |
7 |
6 |
12 |
10 |
5 |
那么一周内该班学生的平均做饭次数为
A.4 B.5 C.6 D.7
6.(4分)如图,小明从
点出发,沿直线前进8米后向左转
,再沿直线前进8米,又向左转
照这样走下去,他第一次回到出发点
时,共走路程为
A.80米 B.96米 C.64米 D.48米
7.(4分)函数
和
在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是
A.
B.
C.
D.
8.(4分)下列命题:
①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;
②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形;
③一个角为
且一组邻边相等的四边形是正方形;
④对角线相等的平行四边形是矩形.
其中真命题的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(4分)若关于
的不等式组
的解集是
,则
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
10.(4分)如图,圆内接正六边形的边长为4,以其各边为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为
A.
B.
C.
D.
11.(4分)二次函数
的部分图象如图所示,则下列选项错误的是
A.若
,
是图象上的两点,则
B.
C.方程
有两个不相等的实数根
D.当
时,
随
的增大而减小
12.(4分)如图是用黑色棋子摆成的美丽图案,按照这样的规律摆下去,第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为
A.148 B.152 C.174 D.202
二、填空题:本大题共6小题,共24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分.
13.(4分)
.
14.(4分)若一个圆锥的底面半径是
,母线长是
,则该圆锥侧面展开图的圆心角是 度.
15.(4分)在平面直角坐标系中,点
的坐标是
,以原点
为位似中心,把线段
放大为原来的2倍,点
的对应点为
.若点
恰在某一反比例函数图象上,则该反比例函数解析式为 .
16.(4分)菱形的一条对角线长为8,其边长是方程
的一个根,则该菱形的周长为 .
17.(4分)如图,在
的正方形网格中,有4个小正方形已经涂黑,若再涂黑任意1个白色的小正方形(每个白色小正方形被涂黑的可能性相同),使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是 .
18.(4分)如图,在矩形
中,
,
.把
沿
折叠,使点
恰好落在
边上的
处,再将
绕点
顺时针旋转
,得到△
,使得
恰好经过
的中点
.
交
于点
,连接
.有如下结论:①
的长度是
;②弧
的长度是
;③△
△
;④△
.上述结论中,所有正确的序号是 .
三、解答题:本大题共7小题,共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(8分)先化简:
,然后选择一个合适的
值代入求值.
20.(10分)某校“校园主持人大赛”结束后,将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图.部分信息如下:
(1)本次比赛参赛选手共有 人,扇形统计图中“
”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为 ;
(2)补全图2频数直方图;
(3)赛前规定,成绩由高到低前
的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为88分,试判断他能否获奖,并说明理由;
(4)成绩前四名是2名男生和2名女生,若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人,试求恰好选中1男1女为主持人的概率.
21.(10分)如图,无人机在离地面60米的
处,观测楼房顶部
的俯角为
,观测楼房底部
的俯角为
,求楼房的高度.
22.(12分)如图,点
在以
为直径的
上,点
是半圆
的中点,连接
,
,
,
.过点
作
交
的延长线于点
.
(1)求证:直线
是
的切线;
(2)若
,
,求
,
的长.
23.(12分)小刚去超市购买画笔,第一次花60元买了若干支
型画笔,第二次超市推荐了
型画笔,但
型画笔比
型画笔的单价贵2元,他又花100元买了相同支数的
型画笔.
(1)超市
型画笔单价多少元?
(2)小刚使用两种画笔后,决定以后使用
型画笔,但感觉其价格稍贵,和超市沟通后,超市给出以下优惠方案:一次购买不超过20支,则每支
型画笔打九折;若一次购买超过20支,则前20支打九折,超过的部分打八折.设小刚购买的
型画笔
支,购买费用为
元,请写出
关于
的函数关系式.
(3)在(2)的优惠方案下,若小刚计划用270元购买
型画笔,则能购买多少支
型画笔?
24.(12分)问题探究:
小红遇到这样一个问题:如图1,
中,
,
,
是中线,求
的取值范围.她的做法是:延长
到
,使
,连接
,证明
,经过推理和计算使问题得到解决.
请回答:(1)小红证明
的判定定理是: ;
(2)
的取值范围是 ;
方法运用:
(3)如图2,
是
的中线,在
上取一点
,连结
并延长交
于点
,使
,求证:
.
(4)如图3,在矩形
中,
,在
上取一点
,以
为斜边作
,且
,点
是
的中点,连接
,
,求证:
.
25.(14分)如图1,在平面直角坐标系中,点
的坐标是
,在
轴上任取一点
,连接
,分别以点
和点
为圆心,大于
的长为半径作弧,两弧相交于
,
两点,作直线
,过点
作
轴的垂线
交直线
于点
.根据以上操作,完成下列问题.
探究:
(1)线段
与
的数量关系为 ,其理由为: .
(2)在
轴上多次改变点
的位置,按上述作图方法得到相应点
的坐标,并完成下列表格:
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
猜想:
(3)请根据上述表格中
点的坐标,把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来;观察画出的曲线
,猜想曲线
的形状是 .
验证:
(4)设点
的坐标是
,根据图1中线段
与
的关系,求出
关于
的函数解析式.
应用:
(5)如图3,点
,
,点
为曲线
上任意一点,且
,求点
的纵坐标
的取值范围.
2020年山东省德州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来.每小题选对得4分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.
1.(4分)
的结果是
A.
B.2020 C.
D.
【解答】解:
;
故选:
.
2.(4分)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A.
B.
C.
D.
【解答】解:
、不是轴对称图形,也不是中心对称图形.故此选项不合题意;
、是中心对称图形但不是轴对称图形.故此选项符合题意;
、既是轴对称图形,又是中心对称图形.故此选项不合题意;
、是轴对称图形,不是中心对称图形.故此选项不合题意.
故选:
.
3.(4分)下列运算正确的是
A.
B.
C.
D.
【解答】解:
,因此选项
不符合题意;
,因此选项
符合题意;
,因此选项
不符合题意;
,因此选项
不符合题意;
故选:
.
4.(4分)如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形.若由图1变化至图2,则三视图中没有发生变化的是
A.主视图 B.主视图和左视图
C.主视图和俯视图 D.左视图和俯视图
【解答】解:图1主视图第一层三个正方形,第二层左边一个正方形;图2主视图第一层三个正方形,第二层右边一个正方形;故主视图发生变化;
左视图都是第一层两个正方形,第二层左边一个正方形,故左视图不变;
俯视图都是底层左边是一个正方形,上层是三个正方形,故俯视图不变.
不改变的是左视图和俯视图.
故选:
.
5.(4分)为提升学生的自理和自立能力,李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况,调查结果如下表:
一周做饭次数 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
人数 |
7 |
6 |
12 |
10 |
5 |
那么一周内该班学生的平均做饭次数为
A.4 B.5 C.6 D.7
【解答】解:
(次
,
故选:
.
6.(4分)如图,小明从
点出发,沿直线前进8米后向左转
,再沿直线前进8米,又向左转
照这样走下去,他第一次回到出发点
时,共走路程为
A.80米 B.96米 C.64米 D.48米
【解答】解:根据题意可知,他需要转
次才会回到原点,
所以一共走了
(米
.
故选:
.
7.(4分)函数
和
在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是
A.
B.
C.
D.
【解答】解:在函数
和
中,
当
时,函数
的图象在第一、三象限,函数
的图象在第一、二、四象限,故选项
、
错误,选项
正确,
当
时,函数
的图象在第二、四象限,函数
的图象在第一、二、三象限,故选项
错误,
故选:
.
8.(4分)下列命题:
①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;
②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形;
③一个角为
且一组邻边相等的四边形是正方形;
④对角线相等的平行四边形是矩形.
其中真命题的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】解:①一组对边平行且这组对边相等的四边形是平行四边形,原命题是假命题;
②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,是真命题;
③一个角为
且一组邻边相等的平行四边形是正方形,原命题是假命题;
④对角线相等的平行四边形是矩形,是真命题;
故选:
.
9.(4分)若关于
的不等式组
的解集是
,则
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【解答】解:解不等式组
,
由①可得:
,
由②可得:
,
因为关于
的不等式组
的解集是
,
所以,
,
故选:
.
10.(4分)如图,圆内接正六边形的边长为4,以其各边为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为
A.
B.
C.
D.
【解答】解:设正六边形的中心为
,连接
,
.
由题意,
,
,
,
故选:
.
11.(4分)二次函数
的部分图象如图所示,则下列选项错误的是
A.若
,
是图象上的两点,则
B.
C.方程
有两个不相等的实数根
D.当
时,
随
的增大而减小
【解答】解:
抛物线的对称轴为直线
,
,
点
关于直线
的对称点为
,
则抛物线与
轴的另一个交点坐标为
,点
与
是对称点,
当
时,函数
随
增大而减小,
故
选项不符合题意;
把点
,
代入
得:
①,
②,
①
②得:
,
,
故
选项不符合题意;
当
时,
,
由图象得:纵坐标为
的点有2个,
方程
有两个不相等的实数根,
故
选项不符合题意;
二次函数图象的对称轴为
,
,
当
时,
随
的增大而增大;
当
时,
随
的增大而减小;
故
选项符合题意;
故选:
.
12.(4分)如图是用黑色棋子摆成的美丽图案,按照这样的规律摆下去,第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为
A.148 B.152 C.174 D.202
【解答】解:根据图形,第1个图案有12枚棋子,
第2个图案有22枚棋子,
第3个图案有34枚棋子,
第
个图案有
枚棋子,
故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为
(枚
.
故选:
.
二、填空题:本大题共6小题,共24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分.
13.(4分)
.
【解答】解:原式
.
故答案为:
.
14.(4分)若一个圆锥的底面半径是
,母线长是
,则该圆锥侧面展开图的圆心角是 120 度.
【解答】解:圆锥侧面展开图的弧长是:
,
设圆心角的度数是
度.则
,
解得:
.
故答案为:120.
15.(4分)在平面直角坐标系中,点
的坐标是
,以原点
为位似中心,把线段
放大为原来的2倍,点
的对应点为
.若点
恰在某一反比例函数图象上,则该反比例函数解析式为
.
【解答】解:
点
的坐标是
,以原点
为位似中心,把线段
放大为原来的2倍,点
的对应点为
,
坐标为:
或
,
恰在某一反比例函数图象上,
该反比例函数解析式为:
.
故答案为:
.
16.(4分)菱形的一条对角线长为8,其边长是方程
的一个根,则该菱形的周长为 20 .
【解答】解:如图所示:
四边形
是菱形,
,
,
因式分解得:
,
解得:
或
,
分两种情况:
①当
时,
,不能构成三角形;
②当
时,
,
菱形
的周长
.
故答案为:20.
17.(4分)如图,在
的正方形网格中,有4个小正方形已经涂黑,若再涂黑任意1个白色的小正方形(每个白色小正方形被涂黑的可能性相同),使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是
.
【解答】解:如图所示:当分别将1,2位置涂黑,构成的黑色部分图形是轴对称图形,
故新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是:
.
故答案为:
.
18.(4分)如图,在矩形
中,
,
.把
沿
折叠,使点
恰好落在
边上的
处,再将
绕点
顺时针旋转
,得到△
,使得
恰好经过
的中点
.
交
于点
,连接
.有如下结论:①
的长度是
;②弧
的长度是
;③△
△
;④△
.上述结论中,所有正确的序号是 ①②④ .
【解答】解:
把
沿
折叠,使点
恰好落在
边上的
处,
,
,
四边形
是矩形,
又
,
四边形
是正方形,
,
,
,
,
点
是
中点,
,
,
将
绕点
顺时针旋转
,
,
,
,
,故①正确;
,
,
弧
的长度
,故②正确;
,
,
,
,
,
,
,
△
与△
不全等,故③错误;
,
,
△
△
,
,
,
,
又
,
,故④正确,
故答案为:①②④.
三、解答题:本大题共7小题,共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(8分)先化简:
,然后选择一个合适的
值代入求值.
【解答】解:
,
把
代入
.
20.(10分)某校“校园主持人大赛”结束后,将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图.部分信息如下:
(1)本次比赛参赛选手共有 50 人,扇形统计图中“
”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为 ;
(2)补全图2频数直方图;
(3)赛前规定,成绩由高到低前
的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为88分,试判断他能否获奖,并说明理由;
(4)成绩前四名是2名男生和2名女生,若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人,试求恰好选中1男1女为主持人的概率.
【解答】解:(1)本次比赛参赛选手共有:
(人
,
“
”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为
,
”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为
;
故答案为:50,
;
(2)
“
”这一范围的人数为
(人
,
“
”这一范围的人数为
(人
,
“
”这一范围的人数为
(人
,
“
”这一范围的人数为
(人
;
补全图2频数直方图:
(3)能获奖.理由如下:
本次比赛参赛选手50人,
成绩由高到低前
的参赛选手人数为
(人
,
又
,
能获奖;
(4)画树状图为:
共有12种等可能的结果数,其中恰好选中1男1女的结果数为8,
所以恰好选中1男1女的概率
.
21.(10分)如图,无人机在离地面60米的
处,观测楼房顶部
的俯角为
,观测楼房底部
的俯角为
,求楼房的高度.
【解答】解:过
作
交
于
,
由题意得,
,
,
在
中,
,
,
,
在
中,
,
,
,
(米
,
答:楼房的高度为40米.
22.(12分)如图,点
在以
为直径的
上,点
是半圆
的中点,连接
,
,
,
.过点
作
交
的延长线于点
.
(1)求证:直线
是
的切线;
(2)若
,
,求
,
的长.
【解答】(1)证明:连接
,
为
的直径,点
是半圆
的中点,
,
,
,
,
直线
是
的切线;
(2)解:连接
,
为
的直径,
,
点
是半圆
的中点,
,
,
是等腰直角三角形,
,
,
,
,
,
四边形
是圆内接四边形,
,
,
,
由(1)知
,
,
,
,
,
,
,
,
,
解得:
.
23.(12分)小刚去超市购买画笔,第一次花60元买了若干支
型画笔,第二次超市推荐了
型画笔,但
型画笔比
型画笔的单价贵2元,他又花100元买了相同支数的
型画笔.
(1)超市
型画笔单价多少元?
(2)小刚使用两种画笔后,决定以后使用
型画笔,但感觉其价格稍贵,和超市沟通后,超市给出以下优惠方案:一次购买不超过20支,则每支
型画笔打九折;若一次购买超过20支,则前20支打九折,超过的部分打八折.设小刚购买的
型画笔
支,购买费用为
元,请写出
关于
的函数关系式.
(3)在(2)的优惠方案下,若小刚计划用270元购买
型画笔,则能购买多少支
型画笔?
【解答】解:(1)设超市
型画笔单价为
元,则
型画笔单价为
元.
根据题意得,
,
解得
.
经检验,
是原方程的解.
答:超市
型画笔单价为5元;
(2)由题意知,
当小刚购买的
型画笔支数
时,费用为
,
当小刚购买的
型画笔支数
时,费用为
.
所以,
关于
的函数关系式为
(其中
是正整数);
(3)当
时,解得
,
,
不合题意,舍去;
当
时,解得
,符合题意.
答:若小刚计划用270元购买
型画笔,则能购买65支
型画笔.
24.(12分)问题探究:
小红遇到这样一个问题:如图1,
中,
,
,
是中线,求
的取值范围.她的做法是:延长
到
,使
,连接
,证明
,经过推理和计算使问题得到解决.
请回答:(1)小红证明
的判定定理是:
;
(2)
的取值范围是 ;
方法运用:
(3)如图2,
是
的中线,在
上取一点
,连结
并延长交
于点
,使
,求证:
.
(4)如图3,在矩形
中,
,在
上取一点
,以
为斜边作
,且
,点
是
的中点,连接
,
,求证:
.
【解答】解:(1)
是中线,
,
又
,
,
,
故答案为:
;
(2)
,
,
在
中,
,
,
,
故答案为:
;
(3)如图2,延长
至
,使
,连接
,
是
的中线,
,
又
,
,
,
,
,
,
,
,
,
;
(4)如图3,延长
至
,使
,连接
,
,
,
点
是
的中点,
,
又
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
又
,
,
,
,且
,
,
,
,
又
,
,
.
25.(14分)如图1,在平面直角坐标系中,点
的坐标是
,在
轴上任取一点
,连接
,分别以点
和点
为圆心,大于
的长为半径作弧,两弧相交于
,
两点,作直线
,过点
作
轴的垂线
交直线
于点
.根据以上操作,完成下列问题.
探究:
(1)线段
与
的数量关系为
,其理由为: .
(2)在
轴上多次改变点
的位置,按上述作图方法得到相应点
的坐标,并完成下列表格:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
猜想:
(3)请根据上述表格中
点的坐标,把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来;观察画出的曲线
,猜想曲线
的形状是 .
验证:
(4)设点
的坐标是
,根据图1中线段
与
的关系,求出
关于
的函数解析式.
应用:
(5)如图3,点
,
,点
为曲线
上任意一点,且
,求点
的纵坐标
的取值范围.
【解答】解:(1)
分别以点
和点
为圆心,大于
的长为半径作弧,两弧相交于
,
两点,
是
的垂直平分线,
点
是
上一点,
(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等),
故答案为:
,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;
(2)当点
时,设点
,
,
,
,
点
,
当点
时,设点
,
,
,
,
点
,
故答案为:
,
;
(3)依照题意,画出图象,
猜想曲线
的形状为抛物线,
故答案为:抛物线;
(4)
,点
的坐标是
,
,
,
;
(5)
点
,
,
,
,
,
,
是等边三角形,
,
如图3,以
为圆心,
为半径作圆
,交抛物线
与点
,连接
,
,
,
设点
,
点
在抛物线上,
,
,
,
,
(舍去),
如图3,可知当点
在点
下方时,
,
点
的纵坐标
的取值范围为
.