【330341】2020年山东省德州市中考数学试卷

2020年山东省德州市中考数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．

1．（4分） 的结果是 　　

A． B．2020 C． D．

2．（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 　　

A． B． C． D．

3．（4分）下列运算正确的是 　　

A． B． C． D．

4．（4分）如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形．若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是 　　

A．主视图 B．主视图和左视图

C．主视图和俯视图 D．左视图和俯视图

5．（4分）为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表：

一周做饭次数	4	5	6	7	8
人数	7	6	12	10	5

那么一周内该班学生的平均做饭次数为 　　

A．4 B．5 C．6 D．7

6．（4分）如图，小明从 点出发，沿直线前进8米后向左转 ，再沿直线前进8米，又向左转 照这样走下去，他第一次回到出发点 时，共走路程为 　　

A．80米 B．96米 C．64米 D．48米

7．（4分）函数 和 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 　　

A． B．

C． D．

8．（4分）下列命题：

①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；

②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；

③一个角为 且一组邻边相等的四边形是正方形；

④对角线相等的平行四边形是矩形．

其中真命题的个数是 　　

A．1 B．2 C．3 D．4

9．（4分）若关于 的不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是 　　

A． B． C． D．

10．（4分）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 　　

A． B． C． D．

11．（4分）二次函数 的部分图象如图所示，则下列选项错误的是 　　

A．若 ， 是图象上的两点，则

B．

C．方程 有两个不相等的实数根

D．当 时， 随 的增大而减小

12．（4分）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为 　　

A．148 B．152 C．174 D．202

二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．

13．（4分） 　　．

14．（4分）若一个圆锥的底面半径是 ，母线长是 ，则该圆锥侧面展开图的圆心角是　　度．

15．（4分）在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，以原点 为位似中心，把线段 放大为原来的2倍，点 的对应点为 ．若点 恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数解析式为　　．

16．（4分）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程 的一个根，则该菱形的周长为　　．

17．（4分）如图，在 的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是　　．

18．（4分）如图，在矩形 中， ， ．把 沿 折叠，使点 恰好落在 边上的 处，再将 绕点 顺时针旋转 ，得到△ ，使得 恰好经过 的中点 ． 交 于点 ，连接 ．有如下结论：① 的长度是 ；②弧 的长度是 ；③△ △ ；④△ ．上述结论中，所有正确的序号是　　．

三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（8分）先化简： ，然后选择一个合适的 值代入求值．

20．（10分）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：

（1）本次比赛参赛选手共有　　人，扇形统计图中“ ”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为　　；

（2）补全图2频数直方图；

（3）赛前规定，成绩由高到低前 的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；

（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．

21．（10分）如图，无人机在离地面60米的 处，观测楼房顶部 的俯角为 ，观测楼房底部 的俯角为 ，求楼房的高度．

22．（12分）如图，点 在以 为直径的 上，点 是半圆 的中点，连接 ， ， ， ．过点 作 交 的延长线于点 ．

（1）求证：直线 是 的切线；

（2）若 ， ，求 ， 的长．

23．（12分）小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支 型画笔，第二次超市推荐了 型画笔，但 型画笔比 型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的 型画笔．

（1）超市 型画笔单价多少元？

（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用 型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支 型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的 型画笔 支，购买费用为 元，请写出 关于 的函数关系式．

（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买 型画笔，则能购买多少支 型画笔？

24．（12分）问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1， 中， ， ， 是中线，求 的取值范围．她的做法是：延长 到 ，使 ，连接 ，证明 ，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小红证明 的判定定理是：　　；

（2） 的取值范围是　　；

方法运用：

（3）如图2， 是 的中线，在 上取一点 ，连结 并延长交 于点 ，使 ，求证： ．

（4）如图3，在矩形 中， ，在 上取一点 ，以 为斜边作 ，且 ，点 是 的中点，连接 ， ，求证： ．

25．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，在 轴上任取一点 ，连接 ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 ， 两点，作直线 ，过点 作 轴的垂线 交直线 于点 ．根据以上操作，完成下列问题．

探究：

（1）线段 与 的数量关系为　　，其理由为：　　．

（2）在 轴上多次改变点 的位置，按上述作图方法得到相应点 的坐标，并完成下列表格：

的坐标
的坐标

猜想：

（3）请根据上述表格中 点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线 ，猜想曲线 的形状是　　．

验证：

（4）设点 的坐标是 ，根据图1中线段 与 的关系，求出 关于 的函数解析式．

应用：

（5）如图3，点 ， ，点 为曲线 上任意一点，且 ，求点 的纵坐标 的取值范围．

2020年山东省德州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．

1．（4分） 的结果是 　　

A． B．2020 C． D．

【解答】解： ；

故选： ．

2．（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 　　

A． B． C． D．

【解答】解： 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项不合题意；

、是中心对称图形但不是轴对称图形．故此选项符合题意；

、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故此选项不合题意；

、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项不合题意．

故选： ．

3．（4分）下列运算正确的是 　　

A． B． C． D．

【解答】解： ，因此选项 不符合题意；

，因此选项 符合题意；

，因此选项 不符合题意；

，因此选项 不符合题意；

故选： ．

4．（4分）如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形．若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是 　　

A．主视图 B．主视图和左视图

C．主视图和俯视图 D．左视图和俯视图

【解答】解：图1主视图第一层三个正方形，第二层左边一个正方形；图2主视图第一层三个正方形，第二层右边一个正方形；故主视图发生变化；

左视图都是第一层两个正方形，第二层左边一个正方形，故左视图不变；

俯视图都是底层左边是一个正方形，上层是三个正方形，故俯视图不变．

不改变的是左视图和俯视图．

故选： ．

5．（4分）为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表：

一周做饭次数	4	5	6	7	8
人数	7	6	12	10	5

那么一周内该班学生的平均做饭次数为 　　

A．4 B．5 C．6 D．7

【解答】解： （次 ，

故选： ．

6．（4分）如图，小明从 点出发，沿直线前进8米后向左转 ，再沿直线前进8米，又向左转 照这样走下去，他第一次回到出发点 时，共走路程为 　　

A．80米 B．96米 C．64米 D．48米

【解答】解：根据题意可知，他需要转 次才会回到原点，

所以一共走了 （米 ．

故选： ．

7．（4分）函数 和 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 　　

A． B．

C． D．

【解答】解：在函数 和 中，

当 时，函数 的图象在第一、三象限，函数 的图象在第一、二、四象限，故选项 、 错误，选项 正确，

当 时，函数 的图象在第二、四象限，函数 的图象在第一、二、三象限，故选项 错误，

故选： ．

8．（4分）下列命题：

①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；

②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；

③一个角为 且一组邻边相等的四边形是正方形；

④对角线相等的平行四边形是矩形．

其中真命题的个数是 　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：①一组对边平行且这组对边相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；

②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；

③一个角为 且一组邻边相等的平行四边形是正方形，原命题是假命题；

④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；

故选： ．

9．（4分）若关于 的不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是 　　

A． B． C． D．

【解答】解：解不等式组 ，

由①可得： ，

由②可得： ，

因为关于 的不等式组 的解集是 ，

所以， ，

故选： ．

10．（4分）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 　　

A． B． C． D．

【解答】解：设正六边形的中心为 ，连接 ， ．

由题意， ，

，

，

故选： ．

11．（4分）二次函数 的部分图象如图所示，则下列选项错误的是 　　

A．若 ， 是图象上的两点，则

B．

C．方程 有两个不相等的实数根

D．当 时， 随 的增大而减小

【解答】解： 抛物线的对称轴为直线 ， ，

点 关于直线 的对称点为 ，

则抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，点 与 是对称点，

当 时，函数 随 增大而减小，

故 选项不符合题意；

把点 ， 代入 得： ①， ②，

① ②得： ，

，

故 选项不符合题意；

当 时， ，

由图象得：纵坐标为 的点有2个，

方程 有两个不相等的实数根，

故 选项不符合题意；

二次函数图象的对称轴为 ， ，

当 时， 随 的增大而增大；

当 时， 随 的增大而减小；

故 选项符合题意；

故选： ．

12．（4分）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为 　　

A．148 B．152 C．174 D．202

【解答】解：根据图形，第1个图案有12枚棋子，

第2个图案有22枚棋子，

第3个图案有34枚棋子，

第 个图案有 枚棋子，

故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为 （枚 ．

故选： ．

二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．

13．（4分） 　 　．

【解答】解：原式 ．

故答案为： ．

14．（4分）若一个圆锥的底面半径是 ，母线长是 ，则该圆锥侧面展开图的圆心角是　120　度．

【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是： ，

设圆心角的度数是 度．则 ，

解得： ．

故答案为：120．

15．（4分）在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，以原点 为位似中心，把线段 放大为原来的2倍，点 的对应点为 ．若点 恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数解析式为　 　．

【解答】解： 点 的坐标是 ，以原点 为位似中心，把线段 放大为原来的2倍，点 的对应点为 ，

坐标为： 或 ，

恰在某一反比例函数图象上，

该反比例函数解析式为： ．

故答案为： ．

16．（4分）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程 的一个根，则该菱形的周长为　20　．

【解答】解：如图所示：

四边形 是菱形，

，

，

因式分解得： ，

解得： 或 ，

分两种情况：

①当 时， ，不能构成三角形；

②当 时， ，

菱形 的周长 ．

故答案为：20．

17．（4分）如图，在 的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是　 　．

【解答】解：如图所示：当分别将1，2位置涂黑，构成的黑色部分图形是轴对称图形，

故新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是： ．

故答案为： ．

18．（4分）如图，在矩形 中， ， ．把 沿 折叠，使点 恰好落在 边上的 处，再将 绕点 顺时针旋转 ，得到△ ，使得 恰好经过 的中点 ． 交 于点 ，连接 ．有如下结论：① 的长度是 ；②弧 的长度是 ；③△ △ ；④△ ．上述结论中，所有正确的序号是　①②④　．

【解答】解： 把 沿 折叠，使点 恰好落在 边上的 处，

， ，

四边形 是矩形，

又 ，

四边形 是正方形，

， ， ，

，

点 是 中点，

，

，

将 绕点 顺时针旋转 ，

， ， ，

，故①正确；

，

，

弧 的长度 ，故②正确；

， ，

，

，

， ， ，

△ 与△ 不全等，故③错误；

， ，

△ △ ，

，

，

，

又 ，

，故④正确，

故答案为：①②④．

三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（8分）先化简： ，然后选择一个合适的 值代入求值．

【解答】解：

，

把 代入 ．

20．（10分）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：

（1）本次比赛参赛选手共有　50　人，扇形统计图中“ ”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为　　；

（2）补全图2频数直方图；

（3）赛前规定，成绩由高到低前 的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；

（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．

【解答】解：（1）本次比赛参赛选手共有： （人 ，

“ ”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为 ，

”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为 ；

故答案为：50， ；

（2） “ ”这一范围的人数为 （人 ，

“ ”这一范围的人数为 （人 ，

“ ”这一范围的人数为 （人 ，

“ ”这一范围的人数为 （人 ；

补全图2频数直方图：

（3）能获奖．理由如下：

本次比赛参赛选手50人，

成绩由高到低前 的参赛选手人数为 （人 ，

又 ，

能获奖；

（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，

所以恰好选中1男1女的概率 ．

21．（10分）如图，无人机在离地面60米的 处，观测楼房顶部 的俯角为 ，观测楼房底部 的俯角为 ，求楼房的高度．

【解答】解：过 作 交 于 ，

由题意得， ， ，

在 中， ，

，

，

在 中， ，

，

，

（米 ，

答：楼房的高度为40米．

22．（12分）如图，点 在以 为直径的 上，点 是半圆 的中点，连接 ， ， ， ．过点 作 交 的延长线于点 ．

（1）求证：直线 是 的切线；

（2）若 ， ，求 ， 的长．

【解答】（1）证明：连接 ，

为 的直径，点 是半圆 的中点，

，

，

，

，

直线 是 的切线；

（2）解：连接 ，

为 的直径，

，

点 是半圆 的中点，

，

，

是等腰直角三角形，

，

，

， ，

，

四边形 是圆内接四边形，

，

，

，

由（1）知 ， ，

，

，

，

，

，

，

，

解得： ．

23．（12分）小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支 型画笔，第二次超市推荐了 型画笔，但 型画笔比 型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的 型画笔．

（1）超市 型画笔单价多少元？

（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用 型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支 型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的 型画笔 支，购买费用为 元，请写出 关于 的函数关系式．

（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买 型画笔，则能购买多少支 型画笔？

【解答】解：（1）设超市 型画笔单价为 元，则 型画笔单价为 元．

根据题意得， ，

解得 ．

经检验， 是原方程的解．

答：超市 型画笔单价为5元；

（2）由题意知，

当小刚购买的 型画笔支数 时，费用为 ，

当小刚购买的 型画笔支数 时，费用为 ．

所以， 关于 的函数关系式为 （其中 是正整数）；

（3）当 时，解得 ，

，

不合题意，舍去；

当 时，解得 ，符合题意．

答：若小刚计划用270元购买 型画笔，则能购买65支 型画笔．

24．（12分）问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1， 中， ， ， 是中线，求 的取值范围．她的做法是：延长 到 ，使 ，连接 ，证明 ，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小红证明 的判定定理是：　 　；

（2） 的取值范围是　　；

方法运用：

（3）如图2， 是 的中线，在 上取一点 ，连结 并延长交 于点 ，使 ，求证： ．

（4）如图3，在矩形 中， ，在 上取一点 ，以 为斜边作 ，且 ，点 是 的中点，连接 ， ，求证： ．

【解答】解：（1） 是中线，

，

又 ， ，

，

故答案为： ；

（2） ，

，

在 中， ，

，

，

故答案为： ；

（3）如图2，延长 至 ，使 ，连接 ，

是 的中线，

，

又 ， ，

，

， ，

，

，

，

，

；

（4）如图3，延长 至 ，使 ，连接 ， ， ，

点 是 的中点，

，

又 ， ，

，

， ，

， ，

， ，

，

，

，

，

，

， ，

， ，

，

又 ，

，

，

，且 ，

，

，

，

又 ，

，

．

25．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，在 轴上任取一点 ，连接 ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 ， 两点，作直线 ，过点 作 轴的垂线 交直线 于点 ．根据以上操作，完成下列问题．

探究：

（1）线段 与 的数量关系为　 　，其理由为：　　．

（2）在 轴上多次改变点 的位置，按上述作图方法得到相应点 的坐标，并完成下列表格：

的坐标
的坐标

猜想：

（3）请根据上述表格中 点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线 ，猜想曲线 的形状是　　．

验证：

（4）设点 的坐标是 ，根据图1中线段 与 的关系，求出 关于 的函数解析式．

应用：

（5）如图3，点 ， ，点 为曲线 上任意一点，且 ，求点 的纵坐标 的取值范围．

【解答】解：（1） 分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 ， 两点，

是 的垂直平分线，

点 是 上一点，

（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），

故答案为： ，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；

（2）当点 时，设点 ，

，

，

，

点 ，

当点 时，设点 ，

，

，

，

点 ，

故答案为： ， ；

（3）依照题意，画出图象，

猜想曲线 的形状为抛物线，

故答案为：抛物线；

（4） ，点 的坐标是 ， ，

，

；

（5） 点 ， ，

， ， ，

，

是等边三角形，

，

如图3，以 为圆心， 为半径作圆 ，交抛物线 与点 ，连接 ， ，

，

设点 ，

点 在抛物线上，

，

，

，

， （舍去），

如图3，可知当点 在点 下方时， ，

点 的纵坐标 的取值范围为 ．