2020年江苏省扬州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）实数3的相反数是
A．
B．
C．3 D．
2．（3分）下列各式中，计算结果为
的是
A．
B．
C．
D．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点
，
所在的象限是
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是
A．
B．
C．
D．
5．（3分）某班级组织活动，为了解同学们喜爱的体育运动项目，设计了如图尚不完整的调查问卷：
准备在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中选取三个作为该调查问卷问题的备选项目，选取合理的是
A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤
6．（3分）如图，小明从点
出发沿直线前进10米到达点
，向左转
后又沿直线前进10米到达点
，再向左转
后沿直线前进10米到达点
照这样走下去，小明第一次回到出发点
时所走的路程为
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
7．（3分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点
、
、
都在格点上，以
为直径的圆经过点
、
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
8．（3分）小明同学利用计算机软件绘制函数
、
为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数
、
的值满足
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）2020年6月23日，中国自主研发的北斗三号最后一颗卫星成功发射．据统计，国内已有超过6500000辆营运车辆导航设施应用北斗系统，数据6500000用科学记数法表示为 ．
10．（3分）分解因式：
．
11．（3分）代数式
在实数范围内有意义，则实数
的取值范围是 ．
12．（3分）方程
的根是 ．
13．（3分）圆锥的底面半径为3，侧面积为
，则这个圆锥的母线长为 ．
14．（3分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈
丈
尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面 尺高．
15．（3分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为
的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 
．
16．（3分）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度
，则螺帽边长
．
17．（3分）如图，在
中，按以下步骤作图：
①以点
为圆心，任意长为半径作弧，分别交
、
于点
、
．
②分别以点
、
为圆心，大于
的同样长为半径作弧，两弧交于点
．
③作射线
交
于点
．
如果
，
，
的面积为18，则
的面积为 ．
18．（3分）如图，在
中，
，
，
，点
为边
上的一个动点，连接
并延长至点
，使得
，以
、
为邻边构造
，连接
，则
的最小值为 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算或化简：
（1）
．
（2）
．
20．（8分）解不等式组
并写出它的最大负整数解．
21．（8分）扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中表示
等级的扇形圆心角为 
；
（2）补全条形统计图；
（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
22．（8分）防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了
、
、
三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）小明从
测温通道通过的概率是 ；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．
23．（10分）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商品 |
进价（元 |
数量（件 |
总金额（元 |
甲 |
|
7200 |
|
乙 |
3200 |
||
件）
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高
．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
24．（10分）如图，
的对角线
、
相交于点
，过点
作
，分别交
、
于点
、
，连接
、
．
（1）若
，求
的长；
（2）判断四边形
的形状，并说明理由．
25．（10分）如图，
内接于
，
，点
在直径
的延长线上，且
．
（1）试判断
与
的位置关系，并说明理由；
（2）若
，求阴影部分的面积．
26．（10分）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数
、
满足
①，
②，求
和
的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得
、
的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①
②可得
，由①
②
可得
．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组
则
，
；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数
、
，定义新运算：
，其中
、
、
是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知
，
，那么
．
27．（12分）如图1，已知点
在四边形
的边
上，且
，
平分
，与
交于点
，
分别与
、
交于点
、
．
（1）求证：
；
（2）如图2，若
，求
的值；
（3）当四边形
的周长取最大值时，求
的值．
28．（12分）如图，已知点
、
，
，点
为线段
上的一个动点，反比例函数
的图象经过点
．小明说：“点
从点
运动至点
的过程中，
值逐渐增大，当点
在点
位置时
值最小，在点
位置时
值最大．”
（1）当
时．
①求线段
所在直线的函数表达式．
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的
的最小值和最大值．
（2）若小明的说法完全正确，求
的取值范围．
2020年江苏省扬州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）实数3的相反数是
A．
B．
C．3 D．
【解答】解：实数3的相反数是：
．
故选：
．
2．（3分）下列各式中，计算结果为
的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
、
，故此选项不合题意；
、
，故此选项不合题意；
、
，故此选项不合题意；
、
，故此选项符合题意．
故选：
．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点
，
所在的象限是
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：
，
点
，
所在的象限是第四象限．
故选：
．
4．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
、是轴对称图形，故本选项不合题意；
、是轴对称图形，故本选项不合题意；
、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：
．
5．（3分）某班级组织活动，为了解同学们喜爱的体育运动项目，设计了如图尚不完整的调查问卷：
准备在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中选取三个作为该调查问卷问题的备选项目，选取合理的是
A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤
【解答】解：根据体育项目的隶属包含关系，选择“篮球”“足球”“游泳”比较合理，
故选：
．
6．（3分）如图，小明从点
出发沿直线前进10米到达点
，向左转
后又沿直线前进10米到达点
，再向左转
后沿直线前进10米到达点
照这样走下去，小明第一次回到出发点
时所走的路程为
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
【解答】解：
小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，
他走过的图形是正多边形，
边数
，
他第一次回到出发点
时，一共走了
．
故选：
．
7．（3分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点
、
、
都在格点上，以
为直径的圆经过点
、
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，连接
．
和
所对的弧长都是
，
根据圆周角定理知，
．
在
中，根据锐角三角函数的定义知，
，
，
，
，
，
．
故选：
．
8．（3分）小明同学利用计算机软件绘制函数
、
为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数
、
的值满足
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【解答】解：由图象可知，当
时，
，
；
图象的左侧可以看作是反比例函数图象平移得到，由图可知向左平移，
，
；
故选：
．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）2020年6月23日，中国自主研发的北斗三号最后一颗卫星成功发射．据统计，国内已有超过6500000辆营运车辆导航设施应用北斗系统，数据6500000用科学记数法表示为 
．
【解答】解：6500000用科学记数法表示应为：
，
故答案为：
．
10．（3分）分解因式：
．
【解答】解：
．
故答案为：
．
11．（3分）代数式
在实数范围内有意义，则实数
的取值范围是 
．
【解答】解：代数式
在实数范围内有意义，
则
，
解得：
．
故答案为：
．
12．（3分）方程
的根是 
，
．
【解答】解：
，
，
，
．
故答案为：
，
．
13．（3分）圆锥的底面半径为3，侧面积为
，则这个圆锥的母线长为 4 ．
【解答】解：
，
，
．
答：这个圆锥的母线长为4．
故答案为：4．
14．（3分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈
丈
尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面 4.55 尺高．
【解答】解：设折断处离地面
尺，
根据题意可得：
，
解得：
．
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
15．（3分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为
的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 2.4 
．
【解答】解：
经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
点落入黑色部分的概率为0.6，
边长为
的正方形的面积为
，
设黑色部分的面积为
，
则
，
解得
．
答：估计黑色部分的总面积约为
．
故答案为：2.4．
16．（3分）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度
，则螺帽边长
．
【解答】解：如图，连接
，过点
作
于
，
由正六边形，得
，
，
．
由
，得
．
，即
，
解得
，
故答案为：
．
17．（3分）如图，在
中，按以下步骤作图：
①以点
为圆心，任意长为半径作弧，分别交
、
于点
、
．
②分别以点
、
为圆心，大于
的同样长为半径作弧，两弧交于点
．
③作射线
交
于点
．
如果
，
，
的面积为18，则
的面积为 27 ．
【解答】解：如图，过点
作
于点
，
于点
，
根据作图过程可知：
是
的平分线，
，
的面积为18，
，
，
，
的面积为：
．
故答案为：27．
18．（3分）如图，在
中，
，
，
，点
为边
上的一个动点，连接
并延长至点
，使得
，以
、
为邻边构造
，连接
，则
的最小值为 
．
【解答】解：作
于点
，
在
中，
，
，
，
四边形
是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
当
取得最小值时，
即可取得最小值，
当
时，
取得最小值，
，
，
，
的最小值是
，
故答案为：
．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算或化简：
（1）
．
（2）
．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
20．（8分）解不等式组
并写出它的最大负整数解．
【解答】解：解不等式
，得
，
解不等式
，得：
，
则不等式组的解集为
，
所以不等式组的最大负整数解为
．
21．（8分）扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 500 ，扇形统计图中表示
等级的扇形圆心角为 
；
（2）补全条形统计图；
（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是
，
扇形统计图中表示
等级的扇形圆心角为：
，
故答案为：500，108；
（2）
等级的人数为：
，
补全的条形统计图如右图所示；
（3）
（人
，
答：该校需要培训的学生人有200人．
22．（8分）防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了
、
、
三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）小明从
测温通道通过的概率是 
；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．
【解答】解：（1）小明从
测温通道通过的概率是
，
故答案为：
；
（2）列表格如下：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小丽从同一个测温通道通过的有3种可能，
所以小明和小丽从同一个测温通道通过的概率为
．
23．（10分）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商品 |
进价（元 |
数量（件 |
总金额（元 |
甲 |
|
7200 |
|
乙 |
3200 |
||
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高
．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
【解答】解：设乙商品的进价为
元
件，则甲商品的进价为
元
件，
依题意，得：
，
解得：
，
经检验，
是原方程的解，且符合题意，
，
，
．
答：甲商品的进价为60元
件，乙商品的进价为40元
件，购进甲商品120件，购进乙商品80件．
24．（10分）如图，
的对角线
、
相交于点
，过点
作
，分别交
、
于点
、
，连接
、
．
（1）若
，求
的长；
（2）判断四边形
的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）
四边形
是平行四边形，
，
，
，
又
，
，
，
；
（2）四边形
是菱形，
理由：
，
，
又
，
四边形
是平行四边形，
又
，
四边形
是菱形．
25．（10分）如图，
内接于
，
，点
在直径
的延长线上，且
．
（1）试判断
与
的位置关系，并说明理由；
（2）若
，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接
、
，如图，
为
的直径，
，
又
，
，
又
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
为
的切线；
（2）解：作
于
，
由（1）可知
为直角三角形，且
，
，
，
阴影部分的面积为
．
故阴影部分的面积为
．
26．（10分）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数
、
满足
①，
②，求
和
的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得
、
的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①
②可得
，由①
②
可得
．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组
则
，
；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数
、
，定义新运算：
，其中
、
、
是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知
，
，那么
．
【解答】解：（1）
．
由①
②可得：
，
由
①
②
可得：
．
故答案为：
；5．
（2）设铅笔的单价为
元，橡皮的单价为
元，日记本的单价为
元，
依题意，得：
，
由
①
②可得
，
．
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
（3）依题意，得：
，
由
①
②可得：
，
即
．
故答案为：
．
27．（12分）如图1，已知点
在四边形
的边
上，且
，
平分
，与
交于点
，
分别与
、
交于点
、
．
（1）求证：
；
（2）如图2，若
，求
的值；
（3）当四边形
的周长取最大值时，求
的值．
【解答】（1）证明：
，
，
平分
，
，
又
，
，
；
（2）解：如图1，过点
作
交
的延长线于点
，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图2，
，
，
，
，
设
，
，则
，
，
，
解得：
，
，
，
，
为
的中点，
又
为
的中点，
，
四边形
的周长为
，
，
时，四边形
的周长有最大值为10．
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
28．（12分）如图，已知点
、
，
，点
为线段
上的一个动点，反比例函数
的图象经过点
．小明说：“点
从点
运动至点
的过程中，
值逐渐增大，当点
在点
位置时
值最小，在点
位置时
值最大．”
（1）当
时．
①求线段
所在直线的函数表达式．
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的
的最小值和最大值．
（2）若小明的说法完全正确，求
的取值范围．
【解答】解：（1）①当
时，
，
设线段
所在直线的函数表达式为
，
把
和
代入得：
，
解得：
，
则线段
所在直线的函数表达式为
；
②当
时，完全同意小明的说法，理由为：
若反比例函数经过点
，把
代入反比例解析式得：
；
若反比例函数经过点
，把
代入反比例解析式得：
，
，
则点
从点
运动至点
的过程中，
值逐渐增大，当点
在点
位置时
值最小，最小值为2，在点
位置时
值最大，最大值为5；
（2）若小明的说法完全正确，则有
，
解得：
．