2020年江苏省南京市中考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）计算
的结果是
A．
B．
C．1 D．5
2．（2分）3的平方根是
．9 
．
．
．
3．（2分）计算
的结果是
A．
B．
C．
D．
4．（2分）党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置．根据国家统计局发布的数据，
年年末全国农村贫困人口的情况如图所示．
根据图中提供的信息，下列说法错误的是
A．2019年末，农村贫困人口比上年末减少551万人
B．2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9000万人
C．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上
D．为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村贫困人口的任务
5．（2分）关于
的方程
为常数）的根的情况，下列结论中正确的是
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点
在第一象限，
与
轴、
轴都相切，且经过矩形
的顶点
，与
相交于点
．若
的半径为5，点
的坐标是
．则点
的坐标是
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）写出一个负数，使这个数的绝对值小于
．
8．（2分）若式子
在实数范围内有意义，则
的取值范围是 ．
9．（2分）纳秒
是非常小的时间单位，
．北斗全球导航系统的授时精度优于
．用科学记数法表示
是 
．
10．（2分）计算
的结果是 ．
11．（2分）已知
、
满足方程组
，则
的值为 ．
12．（2分）方程
的解是 ．
13．（2分）将一次函数
的图象绕原点
逆时针旋转
，所得到的图象对应的函数表达式是 ．
14．（2分）如图，在边长为
的正六边形
中，点
在
上，则
的面积为 
．
15．（2分）如图，线段
、
的垂直平分线
、
相交于点
，若
，则
．
16．（2分）下列关于二次函数
为常数）的结论：①该函数的图象与函数
的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点
；③当
时，
随
的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数
的图象上．其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）计算
．
18．（7分）解方程：
．
19．（8分）如图，点
在
上，点
在
上，
，
，求证：
．
20．（8分）已知反比例函数
的图象经过点
．
（1）求
的值．
（2）完成下面的解答．
解不等式组
解：解不等式①，得 ．
根据函数
的图象，得不等式②的解集 ．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ．
21．（8分）为了了解某地居民用电量的情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量（单位：
进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表．
组别 |
用电量分组 |
频数 |
1 |
|
50 |
2 |
|
100 |
3 |
|
34 |
4 |
|
11 |
5 |
|
1 |
6 |
|
1 |
7 |
|
2 |
8 |
|
1 |
根据抽样调查的结果，回答下列问题：
（1）该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第 组内；
（2）估计该地1万户居民六月份的用电量低于
的大约有多少户．
22．（8分）甲、乙两人分别从
、
、
这3个景点中随机选择2个景点游览．
（1）求甲选择的2个景点是
、
的概率；
（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是 ．
23．（8分）如图，在港口
处的正东方向有两个相距
的观测点
、
．一艘轮船从
处出发，沿北偏东
方向航行至
处，在
、
处分别测得
、
．求轮船航行的距离
．（参考数据：
，
，
，
，
，
．
24．（8分）如图，在
中，
，
是
上一点，
经过点
、
、
，交
于点
，过点
作
，交
于点
．
求证：（1）四边形
是平行四边形；
（2）
．
25．（8分）小明和小丽先后从
地出发沿同一直道去
地．设小丽出发第
时，小丽、小明离
地的距离分别为
、
．
与
之间的函数表达式是
，
与
之间的函数表达式是
．
（1）小丽出发时，小明离
地的距离为 
．
（2）小丽出发至小明到达
地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
26．（9分）如图，在
和△
中，
、
分别是
、
上一点，
．
（1）当
时，求证
△
．
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
（2）当
时，判断
与△
是否相似，并说明理由．
27．（9分）如图①，要在一条笔直的路边
上建一个燃气站，向
同侧的
、
两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点
关于
的对称点
，线段
与直线
的交点
的位置即为所求，即在点
处建燃气站，所得路线
是最短的．
为了证明点
的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点
，连接
、
，证明
．请完成这个证明．
（2）如果在
、
两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．
①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．
2020年江苏省南京市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）计算
的结果是
A．
B．
C．1 D．5
【解答】解：
．
故选：
．
2．（2分）3的平方根是
．9
．
．
．
【解答】解：
，
的平方根
．
故选：
．
3．（2分）计算
的结果是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
故选：
．
4．（2分）党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置．根据国家统计局发布的数据，
年年末全国农村贫困人口的情况如图所示．
根据图中提供的信息，下列说法错误的是
A．2019年末，农村贫困人口比上年末减少551万人
B．2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9000万人
C．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上
D．为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村贫困人口的任务
【解答】解：
．2019年末，农村贫困人口比上年末减少
（万人），此选项错误；
．2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过
（万人），此选项正确；
．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上，此选项正确；
．为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村贫困人口的任务，此选项正确；
故选：
．
5．（2分）关于
的方程
为常数）的根的情况，下列结论中正确的是
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【解答】解：
关于
的方程
为常数），
，
△
，
方程有两个不相等的实数根，
两个的积为
，
一个正根，一个负根，
故选：
．
6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点
在第一象限，
与
轴、
轴都相切，且经过矩形
的顶点
，与
相交于点
．若
的半径为5，点
的坐标是
．则点
的坐标是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设
与
、
轴相切的切点分别是
、
点，连接
、
、
，延长
与
交于点
，
则
轴，
轴，
，
四边形
是矩形，
，
，
四边形
为正方形，
，
，
，
，
四边形
为矩形，
，
，
，
，
四边形
为平行四边形，四边形
为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：
．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）写出一个负数，使这个数的绝对值小于
（答案不唯一） ．
【解答】解：
一个负数的绝对值小于3，
这个负数大于
且小于0，
这个负数可能是
、
、
、
．
故答案为：
（答案不唯一）．
8．（2分）若式子
在实数范围内有意义，则
的取值范围是 
．
【解答】解：若式子
在实数范围内有意义，
则
，
解得：
．
故答案为：
．
9．（2分）纳秒
是非常小的时间单位，
．北斗全球导航系统的授时精度优于
．用科学记数法表示
是 
．
【解答】解：
，
故答案为：
．
10．（2分）计算
的结果是 
．
【解答】解：原式
．
故答案为：
．
11．（2分）已知
、
满足方程组
，则
的值为 1 ．
【解答】解：
，
①
②得：
，
解得：
，
①
②
得：
，
解得：
，
则
，
故答案为1．
12．（2分）方程
的解是 
．
【解答】解：方程
，
去分母得：
，
解得：
，
经检验
是分式方程的解．
故答案为：
．
13．（2分）将一次函数
的图象绕原点
逆时针旋转
，所得到的图象对应的函数表达式是 
．
【解答】解：在一次函数
中，令
，则
，
直线
经过点
，
将一次函数
的图象绕原点
逆时针旋转
，则点
的对应点为
，
旋转后得到的图象与原图象垂直，则对应的函数解析式为：
，
将点
代入得，
，
解得
，
旋转后对应的函数解析式为：
，
故答案为
．
14．（2分）如图，在边长为
的正六边形
中，点
在
上，则
的面积为 
．
【解答】解：连接
，
，过点
作
于
是正六边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为
．
15．（2分）如图，线段
、
的垂直平分线
、
相交于点
，若
，则
．
【解答】解：过
作射线
，
线段
、
的垂直平分线
、
相交于点
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
．
16．（2分）下列关于二次函数
为常数）的结论：①该函数的图象与函数
的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点
；③当
时，
随
的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数
的图象上．其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【解答】解：①
二次函数
为常数）与函数
的二次项系数相同，
该函数的图象与函数
的图象形状相同，故结论①正确；
②
在函数
中，令
，则
，
该函数的图象一定经过点
，故结论②正确；
③
，
抛物线开口向下，对称轴为直线
，当
时，
随
的增大而减小，故结论③错误；
④
抛物线开口向下，当
时，函数
有最大值
，
该函数的图象的顶点在函数
的图象上．故结论④正确，
故答案为①②④．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）计算
．
【解答】解：原式
．
18．（7分）解方程：
．
【解答】解：原方程可以变形为
，
，
．
19．（8分）如图，点
在
上，点
在
上，
，
，求证：
．
【解答】证明：在
与
中
，
．
．
．
20．（8分）已知反比例函数
的图象经过点
．
（1）求
的值．
（2）完成下面的解答．
解不等式组
解：解不等式①，得 
．
根据函数
的图象，得不等式②的解集 ．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ．
【解答】解：（1）
反比例函数
的图象经过点
，
；
（2）解不等式组
解：解不等式①，得
．
根据函数
的图象，得不等式②的解集
．
把不等式①和②的解集在数轴上表示为：
不等式组的解集为
，
故答案为：
，
，
．
21．（8分）为了了解某地居民用电量的情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量（单位：
进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表．
组别 |
用电量分组 |
频数 |
1 |
|
50 |
2 |
|
100 |
3 |
|
34 |
4 |
|
11 |
5 |
|
1 |
6 |
|
1 |
7 |
|
2 |
8 |
|
1 |
根据抽样调查的结果，回答下列问题：
（1）该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第 2 组内；
（2）估计该地1万户居民六月份的用电量低于
的大约有多少户．
【解答】解：（1）
有200个数据，
六月份的用电量的中位数应该是第100个和第101个数的平均数，
该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第2组内；
故答案为：2；
（2）
（户
，
答：估计该地1万户居民六月份的用电量低于
的大约有7500户．
22．（8分）甲、乙两人分别从
、
、
这3个景点中随机选择2个景点游览．
（1）求甲选择的2个景点是
、
的概率；
（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是 
．
【解答】解：甲选择的2个景点所有可能出现的结果如下：
（1）共有6种可能出现的结果，其中选择
、
的有2种，
；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有9种可能出现的结果，其中选择景点相同的有3种，
．
故答案为：
．
23．（8分）如图，在港口
处的正东方向有两个相距
的观测点
、
．一艘轮船从
处出发，沿北偏东
方向航行至
处，在
、
处分别测得
、
．求轮船航行的距离
．（参考数据：
，
，
，
，
，
．
【解答】解：如图，过点
作
于点
，
在
中，
，
，
在
中，
，
，
，
，
解得
，
在
中，
，
．
答：轮船航行的距离
约为
．
24．（8分）如图，在
中，
，
是
上一点，
经过点
、
、
，交
于点
，过点
作
，交
于点
．
求证：（1）四边形
是平行四边形；
（2）
．
【解答】证明：（1）
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形
是平行四边形；
（2）连接
，
，
，
，
四边形
是
的内接四边形，
，
，
，
，
，
．
25．（8分）小明和小丽先后从
地出发沿同一直道去
地．设小丽出发第
时，小丽、小明离
地的距离分别为
、
．
与
之间的函数表达式是
，
与
之间的函数表达式是
．
（1）小丽出发时，小明离
地的距离为 250 
．
（2）小丽出发至小明到达
地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
【解答】解：（1）
，
，
当
时，
，
，
小丽出发时，小明离
地的距离为
，
故答案为：250；
（2）设小丽出发第
时，两人相距
，则
，
当
时，
取得最小值，此时
，
答：小丽出发第
时，两人相距最近，最近距离是
．
26．（9分）如图，在
和△
中，
、
分别是
、
上一点，
．
（1）当
时，求证
△
．
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
（2）当
时，判断
与△
是否相似，并说明理由．
【解答】（1）证明：
，
，
，
，
△
，
，
，
△
．
故答案为：
，
．
（2）如图，过点
，
分别作
，
，
交
于
，
交
于
．
，
，
，
同理，
，
，
，
，
同理，
，
，即
，
，
，
，
△
，
，
，
，
同理，
，
，
，
△
．
27．（9分）如图①，要在一条笔直的路边
上建一个燃气站，向
同侧的
、
两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点
关于
的对称点
，线段
与直线
的交点
的位置即为所求，即在点
处建燃气站，所得路线
是最短的．
为了证明点
的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点
，连接
、
，证明
．请完成这个证明．
（2）如果在
、
两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．
①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．
【解答】证明：（1）如图②，连接
，
点
，点
关于
对称，点
在
上，
，
，
同理可得
，
，
；
（2）如图③，
在点
出建燃气站，铺设管道的最短路线是
，（其中点
是正方形的顶点）；
如图④，
在点
出建燃气站，铺设管道的最短路线是
，（其中
，
都与圆相切）