【330326】2020年江苏省淮安市中考数学试题

江苏省淮安市2020年中考数学试题

一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.2的相反数是（ ）

A. 2 B. -2 C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用相反数的定义解答即可．

【详解】解：2的相反数是-2．

故选B．

【点睛】本题考查了相反数的概念，掌握互为相反数的两个数的和为0是解答本题的关键．

2.计算 的结果是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据同底数幂的除法法则计算即可．

【详解】原式

故选：B．

【点睛】本题考查了同底数幂的除法运算，熟记运算法则是解题关键．

3.下面的几何体中，主视图为圆的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

试题解析：A、的主视图是矩形，故A不符合题意；

B、的主视图是正方形，故B不符合题意；

C、的主视图是圆，故C符合题意；

D、的主视图是三角形，故D不符合题意；

故选C．

考点：简单几何体的三视图．

4.六边形的内角和为（ ）

A. 360° B. 540° C. 720° D. 1080°

【答案】C

【解析】

【分析】

n边形的内角和等于（n－2）×180°，所以六边形内角和为(6－2)×180°＝720°.

【详解】根据多边形内角和定理得：(6－2)×180°＝720°.

故选C.

5.在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据坐标系中对称点与原点的关系判断即可．

【详解】关于原点对称的一组坐标横纵坐标互为相反数,

所以(3,2)关于原点对称的点是(-3,-2),

故选C．

【点睛】本题考查原点对称的性质,关键在于牢记基础知识．

6.一组数据9、10、10、11、8的众数是（ ）

A. 10 B. 9 C. 11 D. 8

【答案】A

【解析】

【分析】

根据众数的定义进行判断即可．

【详解】在这组数据中出现最多的数是10，

∴众数为10，

故选：A．

【点睛】本题考查了众数的定义，掌握知识点是解题关键．

7.如图，点 、 、 在圆 上， ，则 的度数是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先由圆周角定理得到∠AOB,再利用等腰三角形的性质求解即可．

【详解】∵在圆O中，∠ACB=54º，

∴∠AOB=2∠ACB=108º，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA= =36º，

故选：C．

【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，会用等边对等角求角的度数是解答的关键．

8.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（ ）

A. 205 B. 250 C. 502 D. 520

【答案】D

【解析】

【分析】

设两个连续奇数中的一个奇数为 ，则另一个奇数为 ，先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为 ，再看四个选项中，能够整除4的即为答案．

【详解】设两个连续奇数中的一个奇数为 ，则另一个奇数为

由这两个奇数得到的“幸福数”为

观察四个选项可知，只有选项D中的520能够整除4

即

故选：D．

【点睛】本题考查了平方差公式的应用，理解“幸福数”的定义，正确列出“幸福数”的代数式是解题关键．

二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）

9.分解因式： __________．

【答案】

【解析】

分析】

直接利用平方差公式 进行因式分解即可．

【详解】

故答案为： ．

【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟记公式是解题关键．

10.2020年6月23日，中国北斗全球卫星导航系统提前半年全面完成，其星载原子钟授时精度高达每隔3000000年才误差1秒．数据3000000用科学记数法表示为__________．

【答案】3×10⁶

【解析】

【分析】

先将3000000写成a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为3000000写成a时小时点向左移动的位数．

【详解】解：3000000=3×10⁶．

故答案为3×10⁶．

【点睛】本题考查了科学记数法，将3000000写成a×10ⁿ的形式，确定a和n的值是解答本题的关键．

11.已知一组数据1、3， 、10的平均数为5，则 __________．

【答案】6

【解析】

【分析】

根据平均数的计算方法，列出方程然后计算即可．

【详解】解：依题意有 ，
解得 ．

故答案为：6．

【点睛】本题考查了算术平均数，正确理解算术平均数的意义是解题的关键．

12.方程 的解为__________．

【答案】x=-2

【解析】

【分析】

先用异分母分式加法法则运算，然后利用分式为零 条件解答即可．

【详解】解：

则： ，解得x=-2．

故答案为x=-2．

【点睛】本题考查了异分母分式加法法则和分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解答本题的关键．

13.已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为__________．

【答案】8.

【解析】

【分析】

直接根据直角三角形斜边中线定理可以得出本题答案.

【详解】∵直角三角形斜边的长为16，

∴直角三角形斜边上 中线长是： ，

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理，熟记定理即可得出答案.

14.菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为_____．

【答案】5

【解析】

【分析】

根据菱形对角线垂直平分，再利用勾股定理即可求解.

【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，

根据勾股定理可得菱形的边长为 ＝5．

故答案为5．

【点睛】此题主要考查菱形的边长求解，解题的关键是熟知菱形的性质及勾股定理的运用.

15.二次函数 的图像的顶点坐标是_________．

【答案】(-1,4)

【解析】

【分析】

把二次函数解析式配方转化为顶点式解析式，即可得到顶点坐标．

【详解】解：∵ =-(x+1)²+4，
∴顶点坐标为(-1,4)．
故答案为(-1,4)．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，把解析式配方写成顶点式解析式是解题的关键．

16.如图，等腰 的两个顶点 、 在反比例函数 （ ）的图象上， ．过点 作边 的垂线交反比例函数 （ ）的图象于点 ，动点 从点 出发，沿射线 方向运动 个单位长度，到达反比例函数 （ ）图象上一点，则 __________．

【答案】1

【解析】

【分析】

由 ， ，得到 是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，即CD是反比例函数 的对称轴，直线CD的关系式是 ，根据A点的坐标是 ，代入反比例函数 ，得反比例函数关系式为 ，在根据直线CD与反比例函数 （ ）的图象于点 ，求得 点的坐标是（-2，-2），则 ，根据点 从点 出发，沿射线 方向运动 个单位长度，到达反比例函数 图象上，得到 ，则P点的坐标是（1，1），将P（1，1）代入反比例函数 ，得 ．

【详解】解：如图示，AB与CD相交于E点，P在反比例函数 （ ）图象上，

∵ ， ，

∴ 是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，

∴CD是反比例函数 的对称轴，则直线CD的关系式是 ，

∵A点的坐标是 ，代入反比例函数 ，得

则反比例函数关系式为

又∵直线CD与反比例函数 （ ）的图象于点 ，

则有 ，解之得： （D点在第三象限），

∴D点的坐标是（-2，-2），

∴ ，

∵点 从点 出发，沿射线 方向运动 个单位长度，到达反比例函数 图象上，

∴ ，则P点的坐标是（1，1）（P点在第一象限），

将P（1，1）代入反比例函数 ，得 ，

故答案为：1．

【点睛】本题考查了用待定系数法求出反比例函数，反比例函数的对称性和解二元一次方程组的应用，熟悉相关性质是解此题的关键．

三、解答题：本大题共11个小题，共102分．

17.计算：

（1）

（2）

【答案】(1)2;(2) ．

【解析】

【分析】

(1)根据绝对值、零指数幂、二次根式的计算方法计算即可．

(2)根据分式的混合运算法则计算即可．

【详解】(1) ．

(2) ．

【点睛】本题考查分式的混合运算和绝对值、零指数幂、二次根式的计算,关键在于熟练掌握相关的计算方法．

18.解不等式 ．

解：去分母，得 ．

……

（1）请完成上述解不等式的余下步骤：

（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是 （填“A”或“B”）

A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号 方向不变；

B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

【答案】（1）余下步骤见解析；（2）A．

【解析】

【分析】

（1）按照去括号、移项、合并同类项的步骤进行补充即可；

（2）根据不等式的性质即可得．

【详解】（1）

去分母，得

去括号，得

移项，得

合并同类项，得 ；

（2）不等式的性质：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变

两边同乘以正数2，不等号的方向不变，即可得到

故选：A．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．

19.某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？

【答案】中型12辆，小型18辆.

【解析】

【分析】

根据题意设中型x辆，小型y辆，即可列出方程组求出答案.

【详解】设中型x辆，小型y辆，根据题意可得：

，

解得 ，

故中型汽车12辆，小型汽车18辆.

【点睛】本题主要考查的是方程组，掌握相关方法即可得出答案.

20.如图，在平行四边形 中，点 、 分别在 、 上， 与 相交于点 ，且 ．

（1）求证： ≌ ；

（2）连接 、 ，则四边形 （填“是”或“不是”）平行四边形．

【答案】（1）证明过程见解析；（2）是，理由见解析；

【解析】

【分析】

（1）根据平行四边形的对边平行可得到内错角相等，再根据已知条件可利用ASA得到全等；

（2）由（1）可得到AF=EC，根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形即可得到答案；

【详解】（1）∵四边形 平行四边形，

∴AD∥BC，

∴ ，

根据题可知 ， ，

在△AOF和△COE中，

，

∴ ≌ ．

（2）如图所示，

由（1）得 ≌ ，可得：

，

又∵ ，

∴四边形AECF是平行四边形．

【点睛】本题中主要考查了平行四边形的判定和性质，准确运用全等三角形的条件进行判断是解题的关键．

21.为了响应市政府创建文明城市的号召，某校调查学生对市“文明公约十二条”的内容了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四个选项，分别记为 、 、 、 ，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．

请解答下列问题：

（1）本次问卷共随机调查了 名学生，扇形统计图中 选项对应的圆心角为 度；

（2）请补全条形统计图；

（3）若该校有1200名学生，试估计该校选择“不了解”的学生有多少人？

【答案】（1）60，108；（2）图见解析；（3）该校选择“不了解”的学生有60人．

【解析】

【分析】

（1）先根据B选项的条形统计图和扇形统计图的信息可得调查的总人数，再求出C选项学生人数的占比，然后乘以 即可得；

（2）先根据（1）的结论，求出A选项学生的人数，再补全条形统计图即可；

（3）先求出选择“不了解”的学生的占比，再乘以1200即可得．

【详解】（1）本次问卷共随机调查的学生人数为 （名）

C选项学生人数的占比为

则

故答案为：60，108；

（2）A选项学生的人数为 （名）

因此补全条形统计图如下所示：

（3）选择“不了解”的学生的占比为

则 （人）

答：该校选择“不了解”的学生有60人．

【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图等知识点，掌握理解统计调查的相关知识是解题关键．

22.一只不透明的袋子中，装有三个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有字母 、 、 ，搅匀后先从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的左边方格内；然后将球放回袋中搅匀，再从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的右边方格内．

（1）第一次摸到字母 的概率为 ；

（2）用画树状图或列表等方法求两个方格中的字母从左往右恰好组成“ ”的概率．

【答案】（1） ；（2）

【解析】

【分析】

（1）用标有字母A的情况数除以总的情况数解答即可；

（2）先画出树状图求出所有等可能的情况数，然后找出两个方格中的字母从左往右恰好组成“ ”的情况数，再根据概率公式解答．

【详解】解：（1）第一次摸到字母 的概率= ．

故答案为： ；

（2）所有可能的情况如图所示：

由图可知：共有9种等可能的情况，其中两个方格中的字母从左往右恰好组成“ ”的情况数只有1种，

所以两个方格中的字母从左往右恰好组成“ ”的概率= ．

【点睛】本题主要考查了求两次事件的概率，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握求解的方法是解题的关键．

23.如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为 、 、 ，测得 ， ， 千米，求 、 两点间的距离．（参考数据： ， ，结果精确到1千米）．

【答案】 、 两点间的距离约为11千米．

【解析】

【分析】

如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD、AD的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD的长，然后根据线段的和差即可得．

【详解】如图，过点C作 于点D

在 中， ， 千米

（千米）， （千米）

在 中，

是等腰直角三角形

千米

（千米）

答： 、 两点间的距离约为11千米．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．

24.甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发 小时后离甲地的路程为 千米，图中折线 表示接到通知前 与 之间的函数关系．

（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为 千米/小时；

（2）求线段 所表示的 与 之间的函数表达式；

（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．

【答案】（1）80；（2） ；（3）不能，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）观察图象即可得出休息前汽车行驶的速度；
（2）根据题意求出点E的横坐标，再利用待定系数法解答即可；
（3）求出到达乙地所行驶的时间即可解答．

【详解】解：（1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为 千米/小时；
故答案为：80；

（2）休息后按原速继续前进行驶的时间为： （小时），
∴点E的坐标为（3.5，240），
设线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为 ，

则： ，解得 ，

∴线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为 ；

（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶，

则全程所需时间为： （小时），
从早上8点到中午12点需要12-8=4（小时），
∵4.125＞4，
所以接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达．

【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．

25.如图， 是圆 的弦， 是圆 外一点， ， 交 于点 ，交圆 于点 ，且 ．

（1）判断直线 与圆 的位置关系，并说明理由；

（2）若 ， ，求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）直线BC与圆O相切，理由见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）连接OB，由等腰三角形的性质分别证出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再利用直角三角形性质和对顶角可证得∠OBC=90º，即OB⊥BC,可判断直线BC与圆O相切；

（2）易证得△CPD为等边三角形，则有∠OCB=60º,∠BOC=30º,用含30º角的直角三角形求得OA、BC的长，然后用公式求得△OBC的面积和扇形OBD的面积，相加即可解得阴影面积．

【详解】（1）直线BC与圆O相切，理由为：

连接OB，

∵OA=OB，

∴∠A=∠OBA，

∵CP=CB，

∴∠CPB=∠CBP，又∠APO=∠CPB

∴∠CBP=∠APO，

∵OA⊥OC，

∴∠A+∠APO=90º，

∴∠OBA+∠CBP=90º即∠OBC=90º，

∴OB⊥BC，

∴直线BC与圆O相切；

（2）∵OA⊥OC，∠A=30º，OP=1

∴OA= ，∠APO=60º即∠CPB=60º，

∵CP=CB，

∴△PCB为等边三角形，

∴∠PCB=60º，

∵∠OBC=90º，

∴∠BOD=30º，

∴BC=OB·tan30º=1，

∴ = = ，

答:图中阴影部分的面积为 ．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、切线的判定定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积等知识，解答的关键是认真审题，结合图形，找到各知识点之间的联系，进而推理、探究、发现和计算．

26.【初步尝试】

（1）如图①，在三角形纸片 中， ，将 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，则 与 的数量关系为 ；

【思考说理】

（2）如图②，在三角形纸片 中， ， ，将 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，求 的值．

【拓展延伸】

（3）如图③，在三角形纸片 中， ， ， ，将 沿过顶点 的直线折叠，使点 落在边 上的点 处，折痕为 ．

①求线段 的长；

②若点 是边 的中点，点 为线段 上的一个动点，将 沿 折叠得到 ，点 的对应点为点 ， 与 交于点 ，求 的取值范围．

【答案】（1） ；（2） ；（3）① ；② ．

【解析】

【分析】

（1）先根据折叠的性质可得 ，再根据平行线的判定可得 ，然后根据三角形中位线的判定与性质即可得；

（2）先根据等腰三角形的性质可得 ，再根据折叠的性质可得 ，从而可得 ，然后根据相似三角形的判定与性质可得 ，从而可求出BM的长，最后根据线段的和差可得AM的长，由此即可得出答案；

（3）①先根据折叠的性质可得 ，从而可得 ，再根据等腰三角形的定义可得 ，然后根据相似三角形的判定与性质可得 ，从而可得BM、AM、CM的长，最后代入求解即可得；

②先根据折叠的性质、线段的和差求出 ， 的长，设 ，从而可得 ，再根据相似三角形的判定与性质可得 ，然后根据x的取值范围即可得．

【详解】（1） ，理由如下：

由折叠的性质得：

是 中位线

点M是AB的中点

则

故答案为： ；

（2）

由折叠的性质得：

，即

在 和 中，

，即

解得

；

（3）①由折叠的性质得：

，即

在 和 中，

，即

解得

解得 ；

②如图，由折叠的性质可知， ， ，

点O是边 的中点

设 ，则

点 为线段 上的一个动点

，其中当点P与点 重合时， ；当点P与点O重合时，

，即

在 和 中，

则 ．

【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的定义、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3）②，正确设立未知数，并找出两个相似三角形是解题关键．

27.如图①，二次函数 的图象与直线 交于 、 两点．点 是 轴上的一个动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，交该二次函数的图象于点 ，设点 的横坐标为 ．

（1） ， ；

（2）若点 在点 的上方，且 ，求 的值；

（3）将直线 向上平移4个单位长度，分别与 轴、 轴交于点 、 （如图②）．

①记 的面积为 ， 的面积为 ，是否存在 ，使得点 在直线 的上方，且满足 ？若存在，求出 及相应的 、 的值；若不存在，请说明理由．

②当 时，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 、 、 ，若 ，直接写出直线 与该二次函数图象交点的横坐标．

【答案】（1）1，﹣2；（2）m=0或2；（3）①存在，且 ， ， ；② 或 ．

【解析】

【分析】

（1）把点A的坐标代入抛物线解析式即可求出b，于是可得抛物线的解析式，再把点B的坐标代入抛物线的解析式即可求出n；

（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，由点P（m，0），则点M、N的坐标可得，于是MN的长可用含m的代数式表示，由MN=3可得关于m的方程，解方程即可求出m的值；

（3）①易求出平移后直线CD的解析式，进而可得点C坐标，然后利用待定系数法分别求出直线AC和直线NC的解析式，设直线MN交AC于点F，过点B作BE⊥x轴交直线NC于点E，如图2，然后即可用含m的代数式表示出 和 ，由 可得关于m的方程，解方程即可求出m，进一步即可求出结果；

②当旋转后点F在点C左侧时，过点B作BQ⊥x轴于点Q，过点M作GH∥x轴，作AG⊥GH于点G，作FH⊥GH于点H，交x轴于点K，如图3，根据直线AB的特点和旋转的性质可得△AMG和△FMH是全等的两个等腰直角三角形，进一步即可根据等腰直角三角形的性质和直线上点的坐标特点求得FK=2，由条件 ，根据角的和差和平行线的性质可得∠AOD=∠CFK，然后根据两个角的正切相等即可求出CK的长，于是可得点F的坐标，进而可求出直线OF的解析式，进一步即可求出直线OF与抛物线交点的横坐标；当旋转后点F在点C右侧时，易得满足 的点F不存在，从而可得答案．

【详解】解：（1）把 代入抛物线 ，得 ，解得：b=1，

∴抛物线的解析式是： ，

∵点 在抛物线上，

∴ ，

故答案为：1，﹣2；

（2）设直线 的解析式是 ，把点 、 两点代入，得：

，解得： ，

∴直线 的解析式是 ，

如图1，∵点P（m，0），∴点M（m，﹣m+1）、N（m， ），

当点 在点 的上方时，则 ，

当 时， ，解得：m=0或2；

（3）①直线 向上平移4个单位长度后的解析式为 ，

∴点C、D的坐标分别是（5，0）、（0，5），

则由 、C（5，0）可得直线AC的解析式为 ，

由N（m， ）、C（5，0）可得直线NC的解析式为 ，

设直线MN交AC于点F，过点B作BE⊥x轴交直线NC于点E，如图2，

当x=3时， ，∴点E（3， ），

∴ ， ，

∴ ，

，

∵ ，

∴ ，解得： ，

由于当 时， ，

此时点N在直线AC的下方，故 舍去；

当 时， ， ；

∴存在 ，使 ，且此时 ， ；

②当旋转后点F在点C左侧时，过点B作BQ⊥x轴于点Q，过点M作GH∥x轴，作AG⊥GH于点G，作FH⊥GH于点H，交x轴于点K，如图3，

∵直线AB的解析式为 ，

∴∠AMG=45°，

∵将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，

∴∠AMF=90°，MA=MF，

∴△AMG和△FMH是全等的两个等腰直角三角形，

∴AG=GM=MH=FH=m+1，

∵M（m，﹣m+1），

∴KH=PM=m－1，

∴FK=（m+1）－（m－1）=2，

∵ ，∠FBA=∠QBA+∠QBF=45°+∠QBF，

∴45°+∠QBF+∠AOD－∠BFC=45°，

∴∠QBF+∠AOD=∠BFC=∠BFK+∠CFK，

∵FK∥BQ，∴∠QBF =∠BFK，

∴∠AOD=∠CFK，

∴ ，

∴ ，OK=4，

∴点F的坐标是（4，2），

∴直线OF的解析式是 ，

解方程： ，得 ；

当旋转后点F在点C右侧时，满足 的点F不存在；

综上，直线 与该二次函数图象交点的横坐标为 或 ．

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、等腰直角三角形的判定和性质、一次函数与二次函数的交点以及三角函数等知识，综合性强、难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的相关知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．