黄石市2020年初中毕业生学业水平考试
数学试题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.3的相反数是（ ）．
A.
B.
3 C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义即可得．
【详解】3的相反数是-3
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记定义是解题关键．
2.下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用中心对称图与轴对称图形定义对每个选项进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称图与轴对称图形定义，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题关键．
3.如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据俯视图的定义判断即可．
【详解】俯视图即从上往下看的视图,因此题中的几何体从上往下看是左右对称的两个矩形．
故选B．
【点睛】本题考查俯视图的定义,关键在于牢记定义．
4.下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据整式的加减、幂的乘方、同底数幂的乘除法逐项判断即可．
【详解】A、
与
不是同类项，不可合并，此项错误
B、
，此项错误
C、
，此项错误
D、
，此项正确
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减、幂的乘方、同底数幂的乘除法，熟记各运算法则是解题关键．
5.函数
自变量x的取值范围是（
）
A.
，且
B.
C.
D.
，且
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分式与二次根式的性质即可求解．
【详解】依题意可得x-3≠0，x-2≥0
解得
，且
故选A．
【点睛】此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质．
6.不等式组
的解集是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出每个不等式的解集，再求其公共部分即可．
【详解】解
由①得， x＜−2；
由②得，x≥−3，
所以不等式组的解集为
．
故选：C．
【点睛】本题的实质是求不等式的公共解，解答时要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
7.在平面直角坐标系中，点G的坐标是
，连接
，将线段
绕原点O旋转
，得到对应线段
，则点
的坐标为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可得两个点关于原点对称，即可得到结果．
详解】根据题意可得，
与G关于原点对称，
∵点G的坐标是
，
∴点
的坐标为
．
故选A．
【点睛】本题主要考察了平行直角坐标系中点的对称变换，准确理解公式是解题的关键．
8.如图，在
中，
，点H、E、F分别是边
、
、
的中点，若
，则
的值为（
）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
分析】
根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】∵∠ACB＝90°，点H是边AB的中点，
∴AB＝2CH，
∵点E、F分别是边AC、BC的中点，
∴AB＝2EF
∴CH=EF
∵
，
∴
=4
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
9.如图，点A、B、C在
上，
，垂足分别为D、E，若
，则
的度数为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
在优弧AB上取一点F，连接AF，BF，先根据四边形内角和求出∠O的值，再根据圆周角定理求出∠F的值，然后根据圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】解：在优弧AB上取一点F，连接AF，BF．
∵
，
∴∠CDO=∠CEO=90°．
∵
，
∴∠O=140°，
∴∠F=70°，
∴∠ACB=180°-70°=110°．
故选C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
10.若二次函数
的图象，过不同的六点
、
、
、
、
、
，则
、
、
的大小关系是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，把A、B、C三点代入解析式，求出
，再求出抛物线的对称轴，利用二次根式的对称性，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，把点
、
、
代入
，则
，
消去c，则得到
，
解得：
，
∴抛物线的对称轴为：
，
∵
与对称轴的距离最近；
与对称轴的距离最远；抛物线开口向上，
∴
；
故选：D．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确求出抛物线的对称轴进行解题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.计算：
______．
【答案】4-
【解析】
【分析】
根据实数的性质即可化简求解．
【详解】
3-
+1=4-
故答案为：4-
．
【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知负指数幂的运算．
12.因式分解：
_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据因式分解的方法，分别使用提公因式法和公式法即可求解．
【详解】根据因式分解的方法，先提取公因式得
，再利用公式法得
．
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
13.据报道，2020年4月9日下午，黄石市重点园区（珠三角）云招商财富推介会上，我市现场共签项目20个，总投资137.6亿元，用科学计数法表示137.6亿元，可写为_____元．
【答案】1.376×1010
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】将137.6亿用科学记数法表示为：1.376×1010．
故答案为：1.376×1010．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.某中学规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩
的比，计算学期成绩．小明同学本学期三项成绩依次为90分、90分、80分，则小明同学本学期的体育成绩是______分．
【答案】85
【解析】
【分析】
按照
的比例算出本学期的体育成绩即可．
【详解】解：小明本学期的体育成绩为：
=85（分），
故答案为：85．
【点睛】本题考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
15.如图，在
的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作
的外接圆，则
的长等于_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由AB、BC、AC长可推导出△ACB为等腰直角三角形，连接OC，得出∠BOC＝90°，计算出OB的长就能利用弧长公式求出
的长了．
【详解】∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴AB＝2
，AC＝
，BC＝
，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴连接OC，则∠COB＝90°，
∵OB＝
∴
的长为：
＝
故答案为：
．
【点睛】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是利用三角形三边长通过勾股定理逆定理得出△ACB为等腰直角三角形．
16.匈牙利著名数学家爱尔特希（P.
Erdos，1913-1996）曾提出：在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点A、B、C、D、O构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则
的度数是_____．
【答案】18°
【解析】
【分析】
先证明△AOB≌△BOC≌△COD，得出∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，∠AOB=∠BOC=∠COD，然后求出正五边形每个角的度数为108°，从而可得∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC=54°，∠AOB=∠BOC=∠COD=72°，可计算出∠AOD=144°，根据OA=OD，即可求出∠ADO．
【详解】∵这个五边形由正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成，
∴根据正五边形的性质可得OA=OB=OC=OD，AB=BC=CD，
∴△AOB≌△BOC≌△COD，
∴∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，∠AOB=∠BOC=∠COD，
∵正五边形每个角的度数为：
=108°，
∴∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC=54°，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=（180°-2×54°）=72°，
∴∠AOD=360°-3×72°=144°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=
（180°-144°）=18°，
故答案为：18°．
【点睛】本题考查了正多边形的内角，正多边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，求出∠AOB=∠BOC=∠COD=72°是解题关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）
17.先化简，再求值：
，其中
．
【答案】
，
．
【解析】
【分析】
先根据分式的减法法则进行化简，再将
代入求值即可．
【详解】原式
将
代入得：原式
．
【点睛】本题考查了分式的减法运算与求值，熟练掌握分式的减法运算法则是解题关键．
18.如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房
的楼顶，测量对面的乙栋楼房
的高度，已知甲栋楼房
与乙栋楼房
的水平距离
米，小丽在甲栋楼房顶部B点，测得乙栋楼房顶部D点的仰角是
，底部C点的俯角是
，求乙栋楼房
的高度（结果保留根号）．
【答案】18(
+1)m
【解析】
【分析】
根据仰角与俯角的定义得到AB=BE=AC,再根据三角函数的定义即可求解．
【详解】如图，依题意可得∠BCA=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=CE=
∵∠DBE=30°
∴DE=BE×tan30°=18
∴
的高度为CE+ED=18(
+1)m．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义．
19.如图，
．
（1）求
的度数；
（2）若
，求证：
．
【答案】（1）∠DAE=30°；（2）见详解．
【解析】
【分析】
（1）根据AB∥DE，得出∠E=∠CAB=40°，再根据∠DAB=70°，即可求出∠DAE；
（2）证明△DAE≌△CBA，即可证明AD=BC．
【详解】（1）∵AB∥DE，
∴∠E=∠CAB=40°，
∵∠DAB=70°，
∴∠DAE=∠DAB-∠CAB=30°；
（2）由（1）可得∠DAE=∠B=30°，
又∵AE=AB，∠E=∠CAB=40°，
∴△DAE≌△CBA（ASA），
∴AD=BC．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，求出∠DAE的度数是解题关键．
20.如图，反比例函数
的图象与正比例函数
的图象相交于
、B两点，点C在第四象限，BC∥x轴．
（1）求k的值；
（2）以
、
为边作菱形
，求D点坐标．
【答案】（1）k=2；（2）D点坐标为(1+
，2)．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，点
在正比例函数
上，故将点
代入正比例函数
中，可求出a值，点A又在反比例函数图像上，故k值可求；
（2）根据（1）中已知A点坐标，则B点坐标可求，根据两点间距离公式可以求出AB的长，最后利用已知条件四边形ABCD为菱形，BC∥x，即可求出D点坐标．
【详解】（1）根据题意，点
在正比例函数
上，故将点
代入正比例函数
中，得a=2，故点A的坐标为(1,2)，点A又在反比例函数图像上，设反比例函数解析式为
，将A(1,2)代入反比例函数解析中，得k=2．
故k=2．
（2）如图，A、B为反比例函数与正比例函数的交点，故可得
，解得
，
，如图，已知点A坐标为(1,2)，故点B坐标为(－1，－2)，根据两点间距离公式可得AB=
，根据已知条件中四边形ABCD为菱形，故AB=AD=
，AD∥BC∥x轴，则点D坐标为(1+
，2)．
故点D坐标为(1+
，2)．
【点睛】（1）本题主要考查正比例函数和反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法以及已知解析式求点坐标是解答本题的关键．
（2）本题主要考查求正比例函数和反比例函数交点坐标、菱形性质、两点间距离公式，掌握求正比例函数和反比例函数交点坐标、菱形性质、两点间距离公式是解答本题的关键．
21.已知：关于x
一元二次方程
有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两根为
、
，且满足
，求m的值．
【答案】（1）m＞−8（2）9
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系可得
=-
，
=-2，根据
可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值．
【详解】（1）根据题意得△＝（
）2−4×（−2）＞0，
解得m＞−8．
故m的取值范围是m＞−8；
（2）方程的两根为
、
，
∴
=-
，
=-2
∵
∴
即m+8=17
解得m＝9
∴m的值为9．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−
，x1•x2＝
．
22.我市将面向全市中小学开展“经典诵读”比赛．某中学要从2名男生2名女生共4名学生中选派2名学生参赛．
（1）请列举所有可能出现的选派结果；
（2）求选派的2名学生中，恰好为1名男生1名女生的概率．
【答案】（1）6种，见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）用列举法写出所有可能的结果即可；
（2）根据（1）中的数据进行求解即可；
【详解】（1）设2名男生分别为x和y，2名女生分别为n和m，则根据题意可得不同的结果有；
，
，
，
，
，
共6种结果；
（2）由（1）可得，恰好为1名男生1名女生的结果有4种，
∴
．
【点睛】本题主要考查了数据分析的知识点，通过所给数据准确分析是解题的关键．
23.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【答案】(1) 每头牛3两银子,每只羊2两银子;(2) 三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买养8只．
【解析】
【分析】
(1)根据题意列出二元一次方程组,解出即可．
(2)根据题意列出代数式,穷举法代入取值即可．
【详解】(1)设每头牛x银两,每只羊y银两．
解得:
答:每头牛3两银子,每只羊2两银子．
(2)设买牛a头,买养b只．
3a+2b=19,即
．
解得a=5,b=2；或a=3,b=5,或a=1,b=8．
答:三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买养8只．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系．
24.如图，在
中，
，
平分
交
于点D，O为
上一点，经过点A、D的
分别交
、
于点E、F．
（1）求证：
是
的切线；
（2）若
，
，求
半径；
（3）求证：
．
【答案】（1）见解析（2）8（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；
（2）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义即可求出r的值；
（3）先判断出∠AEF＝∠B．再判断出∠AEF＝∠ADF，进而得出∠B＝∠ADF，进而判断出△ABD∽△ADF，即可得出结论．
【详解】（1）如图，连接OD，则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）由（1）知，OD⊥BC，
∴∠BDO＝90°，
设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OE＝R，
∵BE＝8，
∴OB＝BE＋OE＝8＋R，
在Rt△BDO中，sinB＝
，
∴sinB＝
＝
，
∴R＝5;
(3) 连接OD，DF，EF，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°＝∠C，
∴EF∥BC，
∴∠B＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
由（1）知，∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴
，
∴AD2＝AB•AF．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，圆周角的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求出圆的半径是解本题的关键．
25.在平面直角坐标系中，抛物线
的顶点为N．
（1）若此抛物线过点
，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接
，C为抛物线上一点，且位于线段
的上方，过C作
垂直x轴于点D，
交
于点E，若
，求点C坐标；
（3）已知点
，且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当
时，求抛物线的解析式．
【答案】（1）
（2）C（-2,4）（3）
．
【解析】
【分析】
（1）把
代入
即可求解；
（2）根据题意作图，求出直线AB的解析式，再表示出E点坐标，代入直线即可求解；
（3）先求出定点H，过H点做HI⊥x轴，根据题意求出∠MHI=30°，再根据题意分情况即可求解．
【详解】（1）把
代入
得-9-3k-2k=1
解得k=-2
∴抛物线的解析式为
；
（2）设C（t,
）,则E（t,
）,
设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（-3，1），（0,4）代入得
解得
∴直线AB的解析式为y=x+4
∵E（t,
）在直线AB上
∴
=t+4
解得t=-2（舍去正值），
∴C（-2,4）；
（3）由
=k（x-2）-x2,
当x-2=0即x=2时，y=-4
故无论k取何值，抛物线都经过定点H（2，-4）
二次函数的顶点为N（
）
1°如图，过H点做HI⊥x轴，若
＞2时，则k＞4
∵
，H（2，-4）
∴MI=
，
∵HI=4
∴tan∠MHI=
∴∠MHI=30°
∵
∴∠NHI=30°
即∠GNH=30°
由图可知tan∠GNH=
解得k=4+2
，或k=4（舍）
2°如图，若
＜2，则k＜4
同理可得∠MHI=30°
∵
∴HN⊥IH，即
解得k=4不符合题意；
3°若
=2，N、H重合，舍去．
∴k=4+2
∴抛物线的解析式为
．
【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质及三角函数的定义．