2020年黑龙江省伊春市中考数学试卷
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．（3分）下列各运算中，计算正确的是
A．
B．
C．
D．
2．（3分）下列图标中是中心对称图形的是
A．
B．
C．
D．
3．（3分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（3分）一组从小到大排列的数据：
，3，4，4，
为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是
A．3.6 B．3.8或3.2 C．3.6或3.4 D．3.6或3.2
5．（3分）已知关于
的一元二次方程
有两个实数根
，
，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
且
6．（3分）如图，菱形
的两个顶点
，
在反比例函数
的图象上，对角线
，
的交点恰好是坐标原点
，已知
，
，则
的值是
A．5 B．4 C．3 D．2
7．（3分）已知关于
的分式方程
的解为正数，则
的取值范围是
A．
B．
且
C．
且
D．
且
8．（3分）如图，菱形
的对角线
、
相交于点
，过点
作
于点
，连接
，若
，
，则
的长为
A．4 B．8 C．
D．6
9．（3分）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买
、
、
三种奖品，
种每个10元，
种每个20元，
种每个30元，在
种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案
A．12种 B．15种 C．16种 D．14种
10．（3分）如图，正方形
的边长为
，点
在边
上运动（不与点
，
重合），
，点
在射线
上，且
，
与
相交于点
，连接
、
、
．则下列结论：
①
；
②
的周长为
；
③
；
④
的面积的最大值是
；
⑤当
时，
是线段
的中点．
其中正确的结论是
A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
二、填空题（每题3分，满分30分）
11．（3分）
信号的传播速度为
，将数据300000000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）在函数
中，自变量
的取值范围是 ．
13．（3分）如图，
和
中，
，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使
和
全等．
14．（3分）一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为 ．
15．（3分）若关于
的一元一次不等式组
有2个整数解，则
的取值范围是 ．
16．（3分）如图，
是
的外接圆
的直径，若
，则
．
17．（3分）小明在手工制作课上，用面积为
，半径为
的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为 
．
18．（3分）如图，在边长为4的正方形
中，将
沿射线
平移，得到
，连接
、
．求
的最小值为 ．
19．（3分）在矩形
中，
，
，点
在边
上，且
，连接
，将
沿
折叠．若点
的对应点
落在矩形
的边上，则折痕的长为 ．
20．（3分）如图，直线
的解析式为
与
轴交于点
，与
轴交于点
，以
为边作正方形
，点
坐标为
．过点
作
交
于点
，交
轴于点
，过点
作
轴的垂线交
于点
，以
为边作正方形
，点
的坐标为
．过点
作
交
于
，交
轴于点
，过点
作
轴的垂线交
于点
．以
为边作正方形
．
．则点
的坐标 ．
三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：
，其中
．
22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，
的三个顶点
、
、
均在格点上．
（1）将
向左平移5个单位得到△
，并写出点
的坐标；
（2）画出△
绕点
顺时针旋转
后得到的△
，并写出点
的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△
在旋转过程中扫过的面积（结果保留
．
23．（6分）如图，已知二次函数
的图象经过点
，
，与
轴交于点
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点
，使
，若存在请直接写出点
的坐标．若不存在，请说明理由．
24．（7分）为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．
求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；
（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；
（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．
25．（8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离
（单位：千米）与快递车所用时间
（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．
（1）求
的函数解析式；
（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．
（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）
26．（8分）如图①，在
中，
，
，点
、
分别在
、
边上，
，连接
、
、
，点
、
、
分别是
、
、
的中点，连接
、
、
．
（1）
与
的数量关系是 ．
（2）将
绕点
逆时针旋转到图②和图③的位置，判断
与
有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
27．（10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克
元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克
元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求
，
的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜
千克
为正整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出
元，乙种蔬菜每千克捐出
元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于
，求
的最大值．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形
的边
长是
的根，连接
，
，并过点
作
，垂足为
，动点
从
点以每秒2个单位长度的速度沿
方向匀速运动到
点为止；点
沿线段
以每秒
个单位长度的速度由点
向点
匀速运动，到点
为止，点
与点
同时出发，设运动时间为
秒
．
（1）线段
；
（2）连接
和
，求
的面积
与运动时间
的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当
是以
为腰的等腰三角形时，直接写出点
的坐标．
2020年黑龙江省伊春市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．（3分）下列各运算中，计算正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
、
，正确；
、
，故此选项错误；
、
，故此选项错误；
、
，故此选项错误；
故选：
．
2．（3分）下列图标中是中心对称图形的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
．是中心对称图形，故本选项符合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：
．
3．（3分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：综合主视图与左视图，第一行第1列最多有2个，第一行第2列最多有1个；
第二行第1列最多有3个，第二行第2列最多有1个；
所以最多有：
（个
．
故选：
．
4．（3分）一组从小到大排列的数据：
，3，4，4，
为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是
A．3.6 B．3.8或3.2 C．3.6或3.4 D．3.6或3.2
【解答】解：
从小到大排列的数据：
，3，4，4，
为正整数），唯一的众数是4，
或
，
当
时，这组数据的平均数为
；
当
时，这组数据的平均数为
；
即这组数据的平均数为3.4或3.6，
故选：
．
5．（3分）已知关于
的一元二次方程
有两个实数根
，
，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
且
【解答】解：
关于
的一元二次方程
有两个实数根
，
，
△
，
解得：
．
故选：
．
6．（3分）如图，菱形
的两个顶点
，
在反比例函数
的图象上，对角线
，
的交点恰好是坐标原点
，已知
，
，则
的值是
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：
四边形
是菱形，
，
，
，
，
是等边三角形，
点
，
，
，
直线
的解析式为
，
直线
的解析式为
，
，
点
的坐标为
，
，
点
在反比例函数
的图象上，
，
故选：
．
7．（3分）已知关于
的分式方程
的解为正数，则
的取值范围是
A．
B．
且
C．
且
D．
且
【解答】解：分式方程
，
去分母得：
，
去括号得：
，
解得：
，
由分式方程的解为正数，得到
，且
，
解得：
且
．
故选：
．
8．（3分）如图，菱形
的对角线
、
相交于点
，过点
作
于点
，连接
，若
，
，则
的长为
A．4 B．8 C．
D．6
【解答】解：
四边形
是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
菱形
的面积
，
，
；
故选：
．
9．（3分）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买
、
、
三种奖品，
种每个10元，
种每个20元，
种每个30元，在
种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案
A．12种 B．15种 C．16种 D．14种
【解答】解：设购买
种奖品
个，购买
种奖品
个，
当
种奖品个数为1个时，
根据题意得
，
整理得
，
、
都是正整数，
，
，2，3，4，5，6，7，8；
当
种奖品个数为2个时，
根据题意得
，
整理得
，
、
都是正整数，
，
，2，3，4，5，6；
有
种购买方案．
故选：
．
10．（3分）如图，正方形
的边长为
，点
在边
上运动（不与点
，
重合），
，点
在射线
上，且
，
与
相交于点
，连接
、
、
．则下列结论：
①
；
②
的周长为
；
③
；
④
的面积的最大值是
；
⑤当
时，
是线段
的中点．
其中正确的结论是
A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
【解答】解：如图1中，在
上截取
，连接
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确，
如图2中，延长
到
，使得
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③错误，
的周长
，故②错误，
设
，则
，
，
，
，
时，
的面积的最大值为
．故④正确，
当
时，设
，则
，
在
中，则有
，
解得
，
，故⑤正确，
故选：
．
二、填空题（每题3分，满分30分）
11．（3分）
信号的传播速度为
，将数据300000000用科学记数法表示为 
．
【解答】解：
．
故答案为：
．
12．（3分）在函数
中，自变量
的取值范围是 
．
【解答】解：由题意得，
，
解得
．
故答案为：
．
13．（3分）如图，
和
中，
，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 
或
或
等） ，使
和
全等．
【解答】解：添加的条件是：
，
理由是：
在
和
中
，
，
故答案为：
．
14．（3分）一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为 
．
【解答】解：画树状图如图所示：
共有20种等可能的结果，摸出的两个小球的标号之和大于6的有8种结果，
摸出的两个小球的标号之和大于6的概率为
，
故答案为：
．
15．（3分）若关于
的一元一次不等式组
有2个整数解，则
的取值范围是 
．
【解答】解：解不等式
，得：
，
解不等式
，得：
，
则不等式组的解集为
，
不等式组有2个整数解，
不等式组的整数解为2、3，
则
，
解得
，
故答案为：
．
16．（3分）如图，
是
的外接圆
的直径，若
，则
50 
．
【解答】解：连接
，如图，
为
的外接圆
的直径，
，
，
．
故答案为50．
17．（3分）小明在手工制作课上，用面积为
，半径为
的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为 10 
．
【解答】解：
，
，解得
，
设圆锥的底面半径为
，
，
．
故答案为：10．
18．（3分）如图，在边长为4的正方形
中，将
沿射线
平移，得到
，连接
、
．求
的最小值为 
．
【解答】解：如图，连接
，作点
关于直线
的对称点
，连接
，
，
．
四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
，
关于
对称，
，
，
，
，
，
，
共线，
，
，
，
四边形
是平行四边形，
，
，
，
，
的最小值为
．
19．（3分）在矩形
中，
，
，点
在边
上，且
，连接
，将
沿
折叠．若点
的对应点
落在矩形
的边上，则折痕的长为 
或
．
【解答】解：分两种情况：
①当点
落在
边上时，如图1所示：
四边形
是矩形，
，
将
沿
折叠．点
的对应点
落在矩形
的
边上，
，
是等腰直角三角形，
，
；
②当点
落在
边上时，如图2所示：
四边形
是矩形，
，
，
将
沿
折叠．点
的对应点
落在矩形
的
边上，
，
，
，
，
，
在
和△
中，
，
，
△
，
，即
，
解得：
，或
（舍去），
，
；
综上所述，折痕的长为
或
；
故答案为：
或
．
20．（3分）如图，直线
的解析式为
与
轴交于点
，与
轴交于点
，以
为边作正方形
，点
坐标为
．过点
作
交
于点
，交
轴于点
，过点
作
轴的垂线交
于点
，以
为边作正方形
，点
的坐标为
．过点
作
交
于
，交
轴于点
，过点
作
轴的垂线交
于点
．以
为边作正方形
．
．则点
的坐标 
，
．
【解答】解：
点
坐标为
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得
，
，
由上可知，
，
当
时，
．
故答案为：
，
．
三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：
，其中
．
【解答】解：原式
，
当
时，
原式
．
22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，
的三个顶点
、
、
均在格点上．
（1）将
向左平移5个单位得到△
，并写出点
的坐标；
（2）画出△
绕点
顺时针旋转
后得到的△
，并写出点
的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△
在旋转过程中扫过的面积（结果保留
．
【解答】解：（1）如图所示，△
即为所求，点
的坐标为
；
（2）如图所示，△
即为所求，点
的坐标为
；
（3）如图，
，
△
在旋转过程中扫过的面积为：
．
23．（6分）如图，已知二次函数
的图象经过点
，
，与
轴交于点
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点
，使
，若存在请直接写出点
的坐标．若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意得
，
解得
．
故抛物线的解析式为
；
（2）二次函数
的对称轴是
，
当
时，
，
则
，
点
关于对称轴的对应点
，
设直线
的解析式为
，
则
，
解得
．
则直线
的解析式为
，
设与
平行的直线
的解析式为
，
则
，
解得
．
则与
平行的直线
的解析式为
，
联立抛物线解析式得
，
解得
，
（舍去）．
．
综上所述，
，
．
24．（7分）为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．
求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；
（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；
（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．
【解答】解：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是：
，
，
超过全校的平均次数；
（2）这个学生的跳绳成绩在该班是中位数，因为
，所以中位数一定在
范围内；
（3）该班60秒跳绳成绩大于或等于100次的有：
（人
，
故从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是
．
25．（8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离
（单位：千米）与快递车所用时间
（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．
（1）求
的函数解析式；
（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．
（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）
【解答】解：（1）设
的函数解析式为
，由
经过
，
可得：
，解得
，
的解析式为
；
（2）设
的函数解析式为
，由
经过
，
可得：
，解得
，
的函数解析式为
；
设
的函数解析式为
，由
经过
，
可得：
，解得
，
的函数解析式为
，
解方程组
得
，
同理可得
，
答：货车返回时与快递车图中相遇的时间
，
；
（3）
，
答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为
．
26．（8分）如图①，在
中，
，
，点
、
分别在
、
边上，
，连接
、
、
，点
、
、
分别是
、
、
的中点，连接
、
、
．
（1）
与
的数量关系是 
．
（2）将
绕点
逆时针旋转到图②和图③的位置，判断
与
有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
【解答】解：（1）如图①中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为
．
（2）如图②中，结论仍然成立．
理由：连接
，延长
交
于点
．
和
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
、
、
分别为
、
、
的中点，
，
，
，
，
，
，
．
27．（10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克
元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克
元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求
，
的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜
千克
为正整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出
元，乙种蔬菜每千克捐出
元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于
，求
的最大值．
【解答】解：（1）依题意，得：
，
解得：
．
答：
的值为10，
的值为14．
（2）依题意，得：
，
解得：
．
又
为正整数，
可以为58，59，60，
共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜．
（3）购买方案1的总利润为
（元
；
购买方案2的总利润为
（元
；
购买方案3的总利润为
（元
．
，
利润最大值为520元，即售出甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．
依题意，得：
，
解得：
．
答：
的最大值为
．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形
的边
长是
的根，连接
，
，并过点
作
，垂足为
，动点
从
点以每秒2个单位长度的速度沿
方向匀速运动到
点为止；点
沿线段
以每秒
个单位长度的速度由点
向点
匀速运动，到点
为止，点
与点
同时出发，设运动时间为
秒
．
（1）线段
；
（2）连接
和
，求
的面积
与运动时间
的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当
是以
为腰的等腰三角形时，直接写出点
的坐标．
【解答】解：（1）
长是
的根，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
．
（2）如图，过点
作
于
，
，
，
，
，
，
，
当
时，
的面积
；
当
时，点
与点
重合，
，
当
时，
的面积
；
（3）如图，过点
作
于
，
当
时，
，
，
或
，
，当
时，
，
，
，
，
点
，
，
当
时，
同理可求点
，
，
当
时，
，
，
或24（不合题意舍去），
，
点
，
，
综上所述：点
坐标为
，
或
，
．