2020年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷
一、填空题（每小题3分，满分24分）
1．（3分）新冠肺炎疫情期间，全国各地约42000名医护人员驰援湖北．请将数42000用科学记数法表示为 ．
2．（3分）如图，在四边形
中，连接
，
．请你添加一个条件 ，使
．（填一种情况即可）
3．（3分）若一组数据21，14，
，
，9的众数和中位数分别是21和15，则这组数据的平均数为 ．
4．（3分）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为
，则商店应打 折．
5．（3分）
是
的弦，
，垂足为
，连接
．若
中有一个角是
，
，则弦
的长为 ．
6．（3分）将抛物线
向上平移3个单位长度后，经过点
，则
的值是 ．
7．（3分）如图，在
中，
，点
在
边上．将
沿直线
翻折，点
落在点
处，连接
，交
于点
．若
，
，则
．
8．（3分）如图，在
中，
，
是
的中点，点
在
上，
，
，垂足分别为
，
，连接
．则下列结论中：
①
；
②
；
③
；
④
；
⑤若
平分
，则
；
⑥
，
正确的有 ．（只填序号）
二、选择题（每小题3分，满分36分）
9．（3分）下列运算正确的是
A．
B．
C．
D．
10．（3分）下列图形是中心对称图形的是
A．
B．
C．
D．
11．（3分）在函数
中，自变量
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
12．（3分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是
A．6 B．5 C．4 D．3
13．（3分）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为
A．
B．
C．
D．
14．（3分）如图，四边形
内接于
，连接
．若
，
，则
的度数是
A．
B．
C．
D．
15．（3分）一列数1，5，11，
按此规律排列，第7个数是
A．37 B．41 C．55 D．71
16．（3分）如图，点
在反比例函数
的图象上，过点
作
轴，垂足为
，交反比例函数
的图象于点
．
为
轴上一点，连接
，
．则
的面积为
A．5 B．6 C．11 D．12
17．（3分）若关于
的方程
的解为正数，则
的取值范围是
A．
B．
且
C．
D．
且
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，
是菱形
对角线
的中点，
轴且
，
，将菱形
绕点
旋转，使点
落在
轴上，则旋转后点
的对应点的坐标是
A．
，
B．
C．
，
D．
，
或
19．（3分）如图，在矩形
中，
，
，点
在
边上，
，垂足为
．若
，则线段
的长为
A．2 B．3 C．4 D．5
20．（3分）如图，抛物线
与
轴正半轴交于
，
两点，与
轴负半轴交于点
．若点
，则下列结论中，正确的个数是
①
；
②
；
③
，
与
，
是抛物线上两点，若
，则
；
④若抛物线的对称轴是直线
，
为任意实数，则
；⑤若
，则
．
A．5 B．4 C．3 D．2
三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：
，其中
．
22．（6分）如图，抛物线
与
轴交于
，
两点，与
轴交于点
，抛物线的顶点为
．已知
，
．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点
的坐标；
（2）抛物线的对称轴与
轴交于点
，连接
，
的垂直平分线交直线
于点
，则线段
的长为 ．
注：抛物线
的对称轴是直线
，顶点坐标是
，
．
23．（6分）在
中，
，
，
．以
为边作周长为18的矩形
，
，
分别为
，
的中点，连接
．请你画出图形，并直接写出线段
的长．
24．（7分）某中学为了了解本校学生对排球、篮球、毽球、羽毛球和跳绳五项“大课间”活动的喜欢情况，随机抽查了部分学生进行问卷调查（每名学生只选择一项），将调查结果整理并绘制成如图所示不完整的统计图表．请结合统计图表解答下列问题：
抽样调查学生喜欢大课间活动人数的统计表
项目 |
人数 |
|
6 |
|
|
|
10 |
|
4 |
|
18 |
（1）本次抽样调查的学生有 人，请补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中，喜欢毽球活动的学生人数所对应圆心角的度数；
（3）全校有学生1800人，估计全校喜欢跳绳活动的学生人数是多少？
25．（8分）在一条公路上依次有
，
，
三地，甲车从
地出发，驶向
地，同时乙车从
地出发驶向
地，到达
地停留0.5小时后，按原路原速返回
地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达
地．两车距各自出发地的路程
（千米）与时间
（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
（1）甲车行驶速度是 千米1时，
，
两地的路程为 千米；
（2）求乙车从
地返回
地的过程中，
（千米）与
（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量
的取值范围）；
（3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案．
26．（8分）在等腰
中，
，点
，
在射线
上，
，过点
作
，交射线
于点
．请解答下列问题：
（1）当点
在线段
上，
是
的角平分线时，如图①，求证：
；（提示：延长
，
交于点
．
（2）当点
在线段
的延长线上，
是
的角平分线时，如图②；当点
在线段
的延长线上，
是
的外角平分线时，如图③，请直接写出线段
，
，
之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若
，则
．
27．（10分）某商场准备购进
，
两种书包，每个
种书包比
种书包的进价少20元，用700元购进
种书包的个数是用450元购进
种书包个数的2倍，
种书包每个标价是90元，
种书包每个标价是130元．请解答下列问题：
（1）
，
两种书包每个进价各是多少元？
（2）若该商场购进
种书包的个数比
种书包的2倍还多5个，且
种书包不少于18个，购进
，
两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？
（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，
种书包各有几个？
28．（10分）如图，已知直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，线段
的长是方程
的一个根，
．请解答下列问题：
（1）求点
，
的坐标；
（2）直线
交
轴负半轴于点
，交
轴正半轴于点
，交直线
于点
．若
是
的中点，
，反比例函数
图象的一支经过点
，求
的值；
（3）在（2）的条件下，过点
作
，垂足为
，点
在直线
上，点
在直线
上．坐标平面内是否存在点
，使以
，
，
，
为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点
的个数，并直接写出其中两个点
的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题3分，满分24分）
1．（3分）新冠肺炎疫情期间，全国各地约42000名医护人员驰援湖北．请将数42000用科学记数法表示为 
．
【解答】解：
，
故答案为：
．
2．（3分）如图，在四边形
中，连接
，
．请你添加一个条件 
，使
．（填一种情况即可）
【解答】解：添加的条件：
，理由是：
，
，
，
四边形
是平行四边形，
．
故答案为：
．
3．（3分）若一组数据21，14，
，
，9的众数和中位数分别是21和15，则这组数据的平均数为 16 ．
【解答】解：
一组数据21，14，
，
，9的中位数是15，
、
中必有一个数是15，
又
一组数据21，14，
，
，9的众数是21，
、
中必有一个数是21，
、
所表示的数为15和21，
，
故答案为：16．
4．（3分）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为
，则商店应打 8 折．
【解答】解：设商店打
折，
依题意，得：
，
解得：
．
故答案为：8．
5．（3分）
是
的弦，
，垂足为
，连接
．若
中有一个角是
，
，则弦
的长为 12或4 ．
【解答】解：
，
，
若
，
则
，
，
；
若
，
则
，
，
．
故答案为：12或4．
6．（3分）将抛物线
向上平移3个单位长度后，经过点
，则
的值是 
．
【解答】解：将抛物线
向上平移3个单位长度后，
表达式为：
，
经过点
，代入得：
，
则
，
故答案为：
．
7．（3分）如图，在
中，
，点
在
边上．将
沿直线
翻折，点
落在点
处，连接
，交
于点
．若
，
，则
．
【解答】解：
，
，
，设
，
，则
，
，
，
，
由于折叠，
，且△
，
，即
为等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：
．
8．（3分）如图，在
中，
，
是
的中点，点
在
上，
，
，垂足分别为
，
，连接
．则下列结论中：
①
；
②
；
③
；
④
；
⑤若
平分
，则
；
⑥
，
正确的有 ①②③④⑤⑥ ．（只填序号）
【解答】解：
，
，
，
，
又
，
，
，
，故①正确；
由全等可得：
，
，
，
连接
，
，
点
是
中点，
，
，
在
和
中，
，
，
，
又
，
，
，
，
，
，
，即
为等腰直角三角形，
，故③正确，
，
，
，故②正确，
设
与
交于点
，连接
，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，而
，
，故④正确；
，
，
，
平分
，
，
，
，
，即
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，故⑤正确；
，
，
，
，
，
，
，
，故⑥正确；
故答案为：①②③④⑤⑥．
二、选择题（每小题3分，满分36分）
9．（3分）下列运算正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
、
，故选项错误；
、
，故选项错误；
、
，故选项错误；
、
，故选项正确；
故选：
．
10．（3分）下列图形是中心对称图形的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
、是中心对称图形，符合题意；
、不是中心对称图形，不合题意；．
故选：
．
11．（3分）在函数
中，自变量
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意得，
，
解得
．
故选：
．
12．（3分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：仔细观察物体的主视图和左视图可知：该几何体的下面最少要有2个小正方体，上面最少要有1个小正方体，
故该几何体最少有3个小正方体组成．
故选：
．
13．（3分）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有12种可能出现的结果，其中“和为5”的有4种，
．
故选：
．
14．（3分）如图，四边形
内接于
，连接
．若
，
，则
的度数是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：连接
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：
．
15．（3分）一列数1，5，11，
按此规律排列，第7个数是
A．37 B．41 C．55 D．71
【解答】解：
，
，
，
，
第
个数为
，
则第7个数是：55．
故选：
．
16．（3分）如图，点
在反比例函数
的图象上，过点
作
轴，垂足为
，交反比例函数
的图象于点
．
为
轴上一点，连接
，
．则
的面积为
A．5 B．6 C．11 D．12
【解答】解：连接
和
，
点
在
轴上，则
和
面积相等，
在
上，
在
上，
轴，
，
的面积为6，
故选：
．
17．（3分）若关于
的方程
的解为正数，则
的取值范围是
A．
B．
且
C．
D．
且
【解答】解：
解方程
，
去分母得：
，
整理得：
，
方程有解，
，
分式方程的解为正数，
，
解得：
，
而
且
，
则
，
，
解得：
，
综上：
的取值范围是：
．
故选：
．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，
是菱形
对角线
的中点，
轴且
，
，将菱形
绕点
旋转，使点
落在
轴上，则旋转后点
的对应点的坐标是
A．
，
B．
C．
，
D．
，
或
【解答】解：根据菱形的对称性可得：当点
在
轴上时，
、
、
均在坐标轴上，如图，
，
，
，
，
，
点
的坐标为
，
同理：当点
旋转到
轴正半轴时，
点
的坐标为
，
点
的坐标为
或
，
故选：
．
19．（3分）如图，在矩形
中，
，
，点
在
边上，
，垂足为
．若
，则线段
的长为
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：
四边形
为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：
．
20．（3分）如图，抛物线
与
轴正半轴交于
，
两点，与
轴负半轴交于点
．若点
，则下列结论中，正确的个数是
①
；
②
；
③
，
与
，
是抛物线上两点，若
，则
；
④若抛物线的对称轴是直线
，
为任意实数，则
；⑤若
，则
．
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：如图，抛物线开口向下，与
轴交于负半轴，对称轴在
轴右侧，
，
，
，
，
，故①正确；
如图，
抛物线过点
，点
在
轴正半轴，
对称轴在直线
右侧，即
，
，又
，
，故②正确；
，
与
，
是抛物线上两点，
，
可得：抛物线
在
上，
随
的增大而增大，
在
上，
随
的增大而减小，
不一定成立，故③错误；
若抛物线对称轴为直线
，则
，即
，
则
，
，故④正确；
，则点
的横坐标大于0或小于等于1，
当
时，代入，
，
当
时，
，
，
则
，整理得：
，则
，又
，
，
，故⑤正确，
故正确的有4个．
故选：
．
三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：
，其中
．
【解答】解：
，
当
时，原式
．
22．（6分）如图，抛物线
与
轴交于
，
两点，与
轴交于点
，抛物线的顶点为
．已知
，
．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点
的坐标；
（2）抛物线的对称轴与
轴交于点
，连接
，
的垂直平分线交直线
于点
，则线段
的长为 
．
注：抛物线
的对称轴是直线
，顶点坐标是
，
．
【解答】解：（1）
抛物线经过，代入得：
，
解得：
，
抛物线表达式为：
，
顶点
的坐标为
；
（2）
直线
为抛物线对称轴，
，
，
，
，
垂直平分
，
，
，
，
，
，即
，
解得：
，
，
故答案为：
．
23．（6分）在
中，
，
，
．以
为边作周长为18的矩形
，
，
分别为
，
的中点，连接
．请你画出图形，并直接写出线段
的长．
【解答】解：
，
，
中
边上的高为
，而矩形
的周长为18，
，
，
当矩形
和
在
同侧时，
过
作
，垂足为
，与
交于
，连接
，
可知
，
，
，
，
，
分别为
和
中点，
；
当矩形
和
在
异侧时，
过
作
，垂足为
，与
交于
，连接
，
可知
，
，
，
为
中点，
，
，
，
，
分别为
和
中点，
，
综上：
的长为
或
．
24．（7分）某中学为了了解本校学生对排球、篮球、毽球、羽毛球和跳绳五项“大课间”活动的喜欢情况，随机抽查了部分学生进行问卷调查（每名学生只选择一项），将调查结果整理并绘制成如图所示不完整的统计图表．请结合统计图表解答下列问题：
抽样调查学生喜欢大课间活动人数的统计表
项目 |
人数 |
|
6 |
|
|
|
10 |
|
4 |
|
18 |
（1）本次抽样调查的学生有 50 人，请补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中，喜欢毽球活动的学生人数所对应圆心角的度数；
（3）全校有学生1800人，估计全校喜欢跳绳活动的学生人数是多少？
【解答】解：（1）
（人
，
（人
，
故答案为：50；补全条形统计图如图所示：
（2）
，
答：喜欢“毽球”所在的圆心角的度数为
；
（3）
（人
，
答：全校1800名学生中喜欢跳绳活动的有648人．
25．（8分）在一条公路上依次有
，
，
三地，甲车从
地出发，驶向
地，同时乙车从
地出发驶向
地，到达
地停留0.5小时后，按原路原速返回
地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达
地．两车距各自出发地的路程
（千米）与时间
（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
（1）甲车行驶速度是 60 千米1时，
，
两地的路程为 千米；
（2）求乙车从
地返回
地的过程中，
（千米）与
（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量
的取值范围）；
（3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：
，
甲车的行驶速度是：
千米
时，
的纵坐标为360，
，
两地之间的距离为360千米，
故答案为：60；360；
（2）
甲车比乙车晚1.5小时到达
地，
点
，
乙的速度为
千米
小时，
则
，
，
，
设
表达式为
，将
和
代入，
，解得：
，
（千米）与
（小时）之间的函数关系式为：；
（3）设出发
小时，行驶中的两车之间的路程是15千米，
①在乙车到
地之前时，
，即
，
解得：
，
②
小时，
小时，
甲乙同时到达
地，
当乙在
地停留时，
小时；
③当乙车从
地开始往回走，追上甲车之前，
小时；
④当乙车追上甲车并超过
时，
小时；
⑤当乙车回到
地时，甲车距离
地15千米时，
小时．
综上：行驶中的两车之间的路程是15千米时，出发时间为
小时或
小时或5小时或6小时或
小时．
26．（8分）在等腰
中，
，点
，
在射线
上，
，过点
作
，交射线
于点
．请解答下列问题：
（1）当点
在线段
上，
是
的角平分线时，如图①，求证：
；（提示：延长
，
交于点
．
（2）当点
在线段
的延长线上，
是
的角平分线时，如图②；当点
在线段
的延长线上，
是
的外角平分线时，如图③，请直接写出线段
，
，
之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若
，则
18或6 ．
【解答】解：（1）如图①，延长
，
交于点
．
，
，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
又
，
，
，
，
即
；
（2）当点
在线段
的延长线上，
是
的角平分线时，
，
如图②，延长
，
交于点
．
由①同理可证
，
，
由①证明过程同理可得出
，
，
；
当点
在线段
的延长线上，
是
的外角平分线时，
．
如图③，延长
交
于点
，
由上述证明过程易得
，
，
，
又
，
，
，
，
，
；
（3）
或6，
当
时，图①中，由（1）得：
，
，
；
图②中，由（2）得：
，
，
；
图③中，
小于
，故不存在．
故答案为18或6．
27．（10分）某商场准备购进
，
两种书包，每个
种书包比
种书包的进价少20元，用700元购进
种书包的个数是用450元购进
种书包个数的2倍，
种书包每个标价是90元，
种书包每个标价是130元．请解答下列问题：
（1）
，
两种书包每个进价各是多少元？
（2）若该商场购进
种书包的个数比
种书包的2倍还多5个，且
种书包不少于18个，购进
，
两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？
（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，
种书包各有几个？
【解答】解：（1）设每个
种书包的进价为
元，则每个
种书包的进价为
元，
依题意，得：
，
解得：
，
经检验，
是原方程的解，且符合题意，
．
答：每个
种书包的进价为70元，每个
种书包的进价为90元．
（2）设该商场购进
个
种书包，则购进
个
种书包，
依题意，得：
，
解得：
．
又
为正整数，
可以为18，19，20，
该商场有3种进货方案，方案1：购买18个
种书包，41个
种书包；方案2：购买19个
种书包，43个
种书包；方案3：购买20个
种书包，45个
种书包．
（3）设销售利润为
元，则
．
，
随
的增大而增大，
当
时，
取得最大值，此时
．
设赠送的书包中
种书包有
个，样品中
种书包有
个，则赠送的书包中
种书包有
个，样品中
种书包有
个，
依题意，得：
，
．
，
，
，
均为正整数，
．
答：赠送的书包中
种书包有4个，样品中
种书包有2个．
28．（10分）如图，已知直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，线段
的长是方程
的一个根，
．请解答下列问题：
（1）求点
，
的坐标；
（2）直线
交
轴负半轴于点
，交
轴正半轴于点
，交直线
于点
．若
是
的中点，
，反比例函数
图象的一支经过点
，求
的值；
（3）在（2）的条件下，过点
作
，垂足为
，点
在直线
上，点
在直线
上．坐标平面内是否存在点
，使以
，
，
，
为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点
的个数，并直接写出其中两个点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）
线段
的长是方程 的一个根，
解得：
或
（舍
，而点
在
轴正半轴，
，
，
，
（2）
，
，
设直线
的表达式为
，将点
和
的坐标代入，
得：
，解得：
，
的表达式为：
，
点
是
的中点，
点
的横坐标为
，代入
中，
，
则
，
反比例函数
经过点
，
则
；
（3）存在点
，使以
，
，
，
为顶点的四边形是正方形，
如图，共有5种情况，
在四边形
中，
和点
重合，
，
此时
；
在四边形
中，点
和
重合，
可知
在直线
上，
联立：
，
解得：
，
，
，
同理可得：
，
，
．
故存在点
使以
，
，
，
为顶点的四边形是正方形，
点
的坐标为
，
，
，
，
．
