【330295】2020年黑龙江省牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校中考数学试题

牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校2020年初中毕业学业考试数学试卷

一、选择题（每小题 3分，共 36分）

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】B

【解析】

解：第一个图是轴对称图形，又是中心对称图形；

第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；

第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；

第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；

既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．故选B．

2.下列运算正确的是（ ）

A. (a＋b)(a－2b)=a²－2b² B.

C. －2(3a－1)=－6a＋1 D. (a＋3)(a－3)=a²－9

【答案】D

【解析】

【分析】

本题根据代数式运算法则及公式即可做出选择．

【详解】A、原式＝ ，故此选项错误；

B、原始＝ ，根据完全平方公式可以做出判断，故此选项错误；

C、原式＝ ，根据乘法分配律可以做出判断，故此选项错误；

D、原式＝a²－9，故此选项正确．

故选：D．

【点睛】本题主要考查代数式运算公式及法则，掌握相关公式及运算法则是解答本题的关键．

3.如图是由5个立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边有1竖列，有1个立方块；中间有2竖列，其中1列有2个立方块；右边是1竖列，有1个立方块；结合四个选项选出答案．

【详解】解：从正面看去，一共三列，左边有1竖列，中间有2竖列，其中1列有2个立方块，右边是1竖列．

故选：A．

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能力．

4.现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得．

【详解】解：列表如下：

	黄	红	红
红	（黄，红）	（红，红）	（红，红）
红	（黄，红）	（红，红）	（红，红）
白	（黄，白）	（红，白）	（红，白）

由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，

所以摸出的两个球颜色相同的概率为 ．

故选：B．

【点睛】本题考查了列表法与树状图的知识以及概率公式，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．

5.一组数据4，4，x，8，8有唯一的众数，则这组数据的平均数是（ ）

A. B. 或5 C. 或 D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】

因为这组数据有唯一的众数，那么众数可能是4，也可能是8，分情况讨论即可．

【详解】解：当众数为4时，x=4， ，

当众数为8时，x=8， ，

即这组数据的平均数是 或 ．

故答案 ：C．

【点睛】本题考查众数的概念和平均数的求解，在一组数据中，出现次数最多的数就是这组数据的众数．

6.如图，在△ABC中，sinB= ， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ）

A. B. C. D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】

过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．

【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：

由 ，且 可知， ，

由 ，且 可知， ，

∴在 中，由勾股定理有： ．

故选：B．

【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．

7.如图，点 在圆上，若弦 的长度等于圆半径的 倍，则 的度数是( )．

A. 22.5° B. 30° C. 45° D. 60°

【答案】C

【解析】

【分析】

设圆心为 ，连接 ，如图，先证明 为等腰直角三角形得到 ，然后根据圆周角定理确定 的度数．

【详解】解：设圆心为 ，连接 ，如图，

∵弦 的长度等于圆半径的 倍，

即 ，

∴ ，

∴ 为等腰直角三角形， ，

∴ °．

故选C．

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

8.若 是二元一次方程组 的解，则x＋2y的算术平方根为（ ）

A. 3 B. 3，－3 C. D. ，－

【答案】C

【解析】

【分析】

将 代入二元一次方程组中解出x和y的值，再计算x＋2y的算术平方根即可．

详解】解：将 代入二元一次方程 中，

得到： ，解这个关于x和y的二元一次方程组，

两式相加，解 得，将 回代方程中，解得 ，

∴ ，

∴x＋2y的算术平方根为 ，

故选：C．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，算术平方根的概念等，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．

9.如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2 )，将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（ ）

A. 或 B.

C. D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】

如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，根据题意易得△AOB为等边三角形，在旋转过程中，点A有两次落在x轴上，当点A落在x轴正半轴时，点C落在点C′位置，利用旋转的性质和菱形的性质求解，当A落在x轴负半轴时，点C落在点C′′位置，易证此时C′′与点A重合，即可求解．

【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，

则 ，OA= ，

∴∠AOE=60°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴△AOB是等边三角形，

当A落在x轴正半轴时，点C落在点C′位置，

此时旋转角为60°，

∵∠BOC=60°，∠COF=30°，

∴∠C′OF=60°-30°=30°，

∵OC′=OA=4，

∴OF= ，

C′F= ，

∴C′（ ），

当A落在x轴负半轴时，点C落在点C′′位置，

∵∠AOC=∠AOC+∠BOC=120°，

∴∠A′′OC=120°，∠GOC′=30°

又∵OA=OC′′，

∴此时C′′点A重合，C C′′ ，

综上，点C的对应点的坐标为 或 ，

故答案为：D．

【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形和旋转的性质，解题的关键是根据题意，分析点A的运动情况，分情况讨论．

10.若关于x的分式方程 有正整数解，则整数m的值是（ ）

A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 3或4

【答案】D

【解析】

【分析】

解带参数m的分式方程，得到 ，即可求得整数m的值．

【详解】解： ，

两边同时乘以 得： ，

去括号得： ，

移项得： ，

合并同类项得： ，

系数化为1得： ，

若m为整数，且分式方程有正整数解，则 或 ，

当 时， 是原分式方程的解；

当 时， 是原分式方程的解；

故选：D．

【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．

11.如图，A，B是双曲线 上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）

A. B. 2 C. 4 D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】

过点B作 轴，易得 ，得到 ，即可求解k的值．

【详解】解：如图，过点B作 轴，设 ，则 ，

∵ 轴， 轴，

∴ ，

∴ ，

∵D为OB 中点，

∴ ，

∴ ，

即 ，解得 ，

∴k的值为8，

故选：D．

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标，解题的关键是作出辅助线，得到两个相似的三角形．

12.如图是二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为 ，且经过点（2，0). 下列说法：①abc<0；②－2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若 ， 是抛物线上的两点，则y₁<y₂；⑤ b>m(am+b) (其中m≠ )．其中说法正确的是（ ）

A. ①②④⑤ B. ①②④ C. ①④⑤ D. ③④⑤

【答案】A

【解析】

分析】

根据抛物线开口方向得到 ，根据抛物线的对称轴得 ，则 ，根据抛物线与 轴的交点在 轴上方得到 ，则 ，于是可对①进行判断；根据对称轴和一个与 轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出 ，则得到 ，于是可对②进行判断；由于经过点 ，则得到 ，则可对③进行判断；通过点 ， 和点 ， 离对称轴的远近对④进行判断；根据抛物线的对称轴为直线 ，开口向下，得到当 时， 有最大值，所以 （其中 ，由 代入则可对⑤进行判断．

【详解】解： 抛物线开口向下，

，

抛物线对称轴为直线 ，

，

抛物线与 轴的交点在 轴上方，

，

，所以①正确；

对称轴为 ，且经过点 ，

抛物线与 轴的另一个交点为 ，

，

，

，所以②正确；

抛物线经过点 ，

时， ，

，所以③错误；

点 ， 离对称轴要比点 ， 离对称轴要远，

，所以④正确．

抛物线的对称轴为直线 ，

当 时， 有最大值，

（其中 ，

（其中 ，

，

，

，所以⑤正确；

故选：A．

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 ，二次项系数 决定抛物线的开口方向和大小，当 时，抛物线开口向上；当 时，抛物线开口向下；一次项系数 和二次项系数 共同决定对称轴的位置：当 与 同号时（即 ，对称轴在 轴左； 当 与 异号时（即 ，对称轴在 轴右．（简称：左同右异）．抛物线与 轴交于 ．抛物线与 轴交点个数：△ 时，抛物线与 轴有2个交点；△ 时，抛物线与 轴有1个交点；△ 时，抛物线与 轴没有交点．

二、填空题（每小题3分，共24分）

13.一周时间有604800秒，604800用科学记数法表示 ______．

【答案】

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】 ，

故答案为： ．

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

14.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件____，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）．

【答案】AD=BC（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据平行四边形的判定方法添加一个条件即可．

【详解】解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以添加条件AD=BC，

根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以添加条件AB∥DC，

本题只需添加一个即可，

故答案为：AD=BC（答案不唯一）．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．

15.在函数 中，自变量x的取值范围是_______．

【答案】

【解析】

【分析】

直接利用二次根式和分式有意义的条件列出不等式组求解即可．

【详解】解：函数 中： ，

解得： ．

故答案为： ．

【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确把握二次根式和分式有意义的条件是解题关键．

16.“元旦”期间，某商店单价为130元的书包按八折出售可获利30%，则该书包的进价是____元．

【答案】80

【解析】

【分析】

根据题意设出方程，解出即可．

【详解】设书包进价是x元，由题意得：

130×0.8－x=30%x

解得x=80．

故答案为：80．

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键在于根据题意找出等量关系．

17.将抛物线y=(x－1)²－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是_____．

【答案】(2，－5)

【解析】

【分析】

先求出抛物线的顶点坐标，再根据题意进行变换即可求解．

【详解】抛物线y=(x－1)²－5的顶点为（1，-5），

∴关于y轴对称的坐标为（-1，-5），再向右平移3个单位长度后的坐标为（2，-5），

故答案为：(2，－5) ．

【点睛】此题主要考查抛物线顶点，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．

18.如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆……按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是___个．

【答案】92

【解析】

【分析】

根据图形得出第 个图形中圆的个数是 进行解答即可．

【详解】解：因为第1个图形中一共有 个圆，

第2个图形中一共有 个圆，

第3个图形中一共有 个圆，

第4个图形中一共有 个圆；

可得第 个图形中圆的个数是 ；

所以第9个图形中圆的个数 ，

故答案为：92．

【点睛】本题考查图形的变换规律，根据图形的排列规律得到第 个图形中圆的个数是 是解决本题的关键．

19.在半径为 的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB=CD=4，则S_△ACP=______．

【答案】 或 或

【解析】

【分析】

作OE垂直于AB于E，OF垂直于CD于F，连接OD、OB，则可以求出OE、OF的长度，进而求出OP的长度，进一步得PE与PF长度，最后可求出答案.

【详解】如图所示，作OE垂直于AB于E，OF垂直于CD于F，

∴AE=BE= =2，DF=CF= =2，

在 中，

∵OB= ，BE=2，

∴OE=1，

同理可得OF=1，

∵AB垂直于CD，

∴四边形OEPF为矩形，

又∵OE=OF=1，

∴四边形OEPF为正方形，

又∵ 有如图四种情况，

∴（1） = AP∙CP= ×1×3= ，

（2） = AP∙PC= ×1×1= ，

（3） = PC∙PA= ×3×3= ，

（4） = AP∙PC= ×3×1= ，

故答案为： 或 或

【点睛】本题主要考查的是垂径定理和勾股定理还有圆的综合运用，熟练掌握方法是关键.

20.正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，若∠BEF=∠EBC，AB=3AE，则下列结论：①DF=FC；②AE+DF=EF；③∠BFE=∠BFC；④∠ABE+∠CBF=45°；⑤∠DEF+∠CBF=∠BFC；⑥ DF:DE:EF=3:4:5；⑦ BF:EF= :5．其中结论正确的序号有_____．

【答案】①②③④⑤⑥⑦

【解析】

【分析】

设正方形的边长为3，假设F为DC的中点，证明 进而证明PE=PB可得假设成立，故可对①进行判断；由勾股定理求出EF的长即可对② 进行判断；过B作BG⊥EF，证明 即可对③进行判断；过点E作EH⊥BF，利用三角形BEF的面积求出EH和BH的长，判断△BEH是等腰直角三角形即可对④进行判断；过F作 FQ//AD，利用平行线的性质得 ，从而可对⑤进行判断；根据DE，DF，EF的长可对⑥进行判断；根据BF和CF的长可对⑦进行判断．

【详解】如图，不妨设正方形ABCD的边长为3，即 ，

，

， ，

①假设F为CD的中点，延长EF交BC的延长线于点P，

在 和 中

由勾股定理得， ，

， ，

，

，故假设成立，

，故①正确；

② ， ，

，

而 ，

，故②正确；

③过B作 ，垂足为G，

而

在 和 中，

∴

，

即 ，故③正确；

④过E和 ，垂足为H，

∵ ，

又 ，

，

在 中， ， ，

在 中， ，

，

而

是等腰直角三角形，

，

，故④正确；

⑤过F作FQ// AD，交AB于Q，则FQ// BC，

， ，

，

，故⑤正确；

⑥ ， ，

，故⑥正确；

⑦ ， ，

，故⑦正确；

综上所述，正确的结论是①②③④⑤⑥⑦．

故答案为：①②③④⑤⑥⑦．

【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，假设出AB=3是解答此题的关键．

三、解答题（共60分）

21.先化简，再求值： 其中x=1－2tan45°．

【答案】 ， ．

【解析】

【分析】

原式第二项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，再计算出x的值，把x的值代入计算即可求出值．

【详解】解：

=

=

=

＝ ，

当x＝1－2tan45°=－1时，原式＝ ．

【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时还考查了特殊角的三角函数值．

22.已知抛物线y=a(x－2)²+c经过点A(－2,0)和点C(0, )，与x轴交于另一点B，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（点E不与点A，B重合），且∠DEF=∠DAB，DE=EF，直接写出线段BE的长．

【答案】（1）y= (x－2)²+3；顶点D的坐标为(2,3)；（2）BE=5．

【解析】

【分析】

（1）本题可利用待定系数法，将A,C两点代入抛物线求解即可．

（2）本题可利用等腰三角形性质，通过角的互换证明BD=BE，最后利用勾股定理求解BD即可解答．

【详解】（1）将点A(-2,0)，C(0, )代入 y = a(x - 2)² + c，得： ，解得： ．

∴抛物线的解析式为y= (x－2)²+3 ．

∴顶点D的坐标为(2,3)．

（2）∵A,B两点为抛物线与x轴两交点，D为坐标顶点，

∴DA=DB，故∠DAB=∠DBA，

∵DE=EF，

∴∠EDF=∠EFD．

∵∠EFD=∠FEB+∠EBD，∠DEF=∠DAB，

∴∠EDF=∠FEB+∠DEF，

∴∠BDE=∠BED，

故BD=BE．

∵A(-2,0)，D(2,3)，

∴利用对称性可得B(6,0)，

经计算BD=5,

故BE=5．

【点睛】本题考查二次函数，第一问为常规题目，利用待定系数法求解即可；第二问属于二次函数与几何综合，解答时需要结合等腰三角形性质与判定求解本题．

23.等腰三角形ABC中，AB=AC=4，∠BAC=45º，以AC为腰作等腰直角三角形ACD，∠CAD为90º，请画出图形，并直接写出点B到CD的距离．

【答案】画出图形见解析；点B到CD的距离为2 或 ．

【解析】

【分析】

根据题目描述可以作出两个图形，利用等腰直角三角形的性质分别进行求解即可．

【详解】本题有两种情况：

（1）如图，

∵ 是等腰直角三角形， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴点B到CD的距离等于点A到CD的距离，

过点A作 ，

∵ ，

∴ ，

∴点B到CD的距离为2 ；

（2）如图：

∵ 是等腰直角三角形， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴点B到CD的距离即BE的长，

∵ ，

∴ ，

∴ ，即点B到CD的距离为 ．

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，根据题目描述作出两个图形是解题的关键．

24.为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调査（问卷调査表如图1所示），并根据调查结果绘制了图2、图3两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答下列问题．

（1）本次接受问卷调查的学生有________名．

（2）补全条形统计图．

（3）扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数为________．

（4）该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数．

【答案】（1）100；（2）见解析；（3） ；（4） 人.

【解析】

【分析】

（1）根据D的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数；

（2）根据（1）中的结果和图1中的数据可以将条形统计图补充完完整；

（3）根据条形统计图中的数据可以求得扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数；

（4）根据统计图中的数据可以求得该校最喜爱新闻节目的学生人数．

【详解】（1）本次接受问卷调查的学生有： （名），

故答案为100；

（2）喜爱C的有： （人），

补全的条形统计图如右图所示；

（3）扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数为： ，

故答案为 ；

（4） （人），

答：该校最喜爱新闻节目的学生有160人．

【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

25.A，B两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车从C市到A市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y(单位：千米)与驶的时间t(单位：小时)的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：

（1）甲车的速度是_____千米/时，在图中括号内填入正确的数；

（2）求图象中线段MN所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；

（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距C市的路程之和是460千米．

【答案】（1）60，10；（2）y = 80t－320；（3）甲车出发 小时或9小时时，两车距C市的路程之和是460千米．

【解析】

【分析】

（1）由图象分析可得甲车行驶 用时为8小时，即可求解其速度，进而乙车速度也可知，则图中括号内的数字也可求解；

（2）利用待定系数法即可求解；

（3）分析整个运动过程，分三种情况进行讨论，分别求出对应的t即可求解．

【详解】（1）由图象可知甲车在 时行驶到C市，此时行驶的路程为 ，故速度为 ，

∴乙车的行驶速度为： ，

∴乙车由C市到A市需行驶 ，

∴图中括号内的数为 ，

故答案为：60，10；

（2）设线段MN所在直线的解析式为 y = kt + b ( k ≠ 0 ) .

把点M（4，0），N（10，480）代入y = kt + b，得： ，

解得： ，

∴线段MN所在直线的函数解析式为y = 80t－320．

（3）若在乙车出发之前，即 时，则 ，解得 ；

若乙车出发了且甲车未到C市时，即 时，则 ，解得 （舍）；

若乙车出发了且甲车已到C市时，即 时，则 ，解得 ；

综上，甲车出发 小时或9小时时，两车距C市的路程之和是460千米．

【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．

26.∆ABC中，点D在直线AB上.点E在平面内，点F在BC的延长线上，∠E=∠BDC，AE=CD，∠EAB+∠DCF=180º．

（1）如图①，求证AD+BC=BE；

（2）如图②、图③，请分别写出线段AD，BC，BE之间的数量关系，不需要证明；

（3）若BE⊥BC，tan∠BCD= ，CD=10，则AD=______．

【答案】（1）见解析；（2）图②结论：BC－AD = BE，图③结论：AD－BC = BE；（3）14－6 或 2+6 .

【解析】

【分析】

（1）证明∠EAB=∠BCD，用ASA证明△EAB≌△DCB，可得AD+BC=BE；

（2）利用（1）的解题思路，证明△EAB≌△DCB，即可得到图②的结论BC－AD = BE；图③的结论AD－BC = BE；

（3）利用（2）的结论，过点D作BC边长的垂线，构造直角三角形，结合tan∠BCD= ，计算相应边的长度，即可得到AD的值．

【详解】（1）证明：∵∠EAB+∠DCF=180⁰，∠BCD+∠DCF=180⁰，∴∠EAB=∠BCD，

∵∠E=∠BDC，AE=CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE=BD， AB=BC，

∴AD+BC=AD+AB=BD=BE.

（2）图②结论：BC－AD = BE，

证明如下：∵∠EAB+∠DCF=180⁰，∠BCD+∠DCF=180⁰，∴∠EAB=∠BCD，

∵∠E=∠BDC，AE=CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE=BD， AB=BC，

∴BA－AD=BC－AD= BE，即BC－AD=BE

图③结论：AD－BC = BE.

证明如下：∵∠EAB+∠DCF=180⁰，∠BCD+∠DCF=180⁰，∴∠EAB=∠BCD，

∵∠E=∠BDC，AE=CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE=BD， AB=BC，

∴AD－AB=AD－BC= BD=BE，即AD－AB=BE

（3）如图②所示，作 于G

由（2）知△EAB≌△DCB，∴

∵

∴

在 中，CD=10， ，∴

在 中， ，

∴

如图③所示，作 于H

由（2）知△EAB≌△DCB，∴

∴

∵

∴

在 中，CD=10， ，∴

在 中， ，

∴

综上所述：AD的长度为14－6 或 2+6 .

【点睛】本题考查了由图形变化引起的类比探究，快速确定全等三角形，并准确利用全等三角形的性质是解题的关键．

27.某商场准备购进A、B两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台B型号电脑多500元，用40 000元购进A型号电脑的数量与用30 000元购进B型号电脑的数量相同，请解答下列问题：

（1）A，B型号电脑每台进价各是多少元？

（2）若每台A型号电脑售价为2 500元，每台B型号电脑售价为1 800元，商场决定同时购进A，B两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润y(单位：元)与A型号电脑x（单位：台）的函数关系式，若商场用不超过36 000元购进A，B两种型号电脑，A型号电脑至少购进10台，则有几种购买方案？

（3）在（2）问的条件下，将不超过所获得的最大利润再次购买A，B两种型号电脑捐赠给某个福利院，请直接写出捐赠A，B型号电脑总数最多是多少台．

【答案】（1）每台A型号电脑进价为2000元，每台B型号电脑进价为1500元；（2） ，有三种方案；（3）捐赠A，B型号电脑总数最多是5台．

【解析】

【分析】

（1）设每台A型号电脑进价为a元.，则每台B型号电脑进价为 元，根据题意列出分式方程求解即可；

（2）若A型号电脑x台，则B型号电脑 台，根据题意列出y与x的关系式；根据题意可列出关于x的一元一次不等式组 ，求解即可得到方案；

（3）根据（2）得到最大利润，优先购买B型号电脑，即可求解．

【详解】（1）设每台A型号电脑进价为a元.，则每台B型号电脑进价为 元，

由题意，得 ，解得：a=2000，

经检验a=2000是原方程的解，且符合题意，

2000－500=1500（元）．

答：每台A型号电脑进价为2000元，每台B型号电脑进价为1500元．

（2）由题意，得 y=(2500－2000)x+(1800-1500)(20－x)=200x+6000，

∵ ，解得 ，

∵x是整数，∴x=10，11，12，∴有三种方案．

（3）∵利润 ，随x的增大而增大，

∴当 时可获得最大利润，最大利润为 （元），

若要使捐赠A，B型号电脑总数尽可能多，则优先购买B型号电脑，可购买5台，

所以捐赠A，B型号电脑总数最多5台．

【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用等内容，理解题意并列出方程或不等式组是解题的关键．

28.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上．O为坐标原点，AB//OC，线段OA，AB的长分别是方程x²－9x+20=0的两个根（OA<AB）, tan∠OCB= ．

（1）求点B，C的坐标；

（2）P为OA上一点，Q为OC上一点，OQ=5，将∆POQ翻折，使点O落在AB上的点 处，双曲线 的一个分支过点 ．求k的值；

（3）在（2）的条件下，M为坐标轴上一点，在平面内是否存在点N，使以 ，Q，M，N为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）点B的坐标为（5，4），点C的坐标为（8，0）；（2）k=8 ；（3）存在． ， ， ， ．

【解析】

【分析】

（1）解一元二次方程得到OA=4， AB=5，过点B作BD⊥OC于点D，求出OD、OC的长即可求解；

（2）根据翻折的性质即可求解；

（3）分类讨论，以 ，Q为边时和以 ，Q为对角线时，在前两问的基础上先确定点M的坐标，进而确定点N的坐标．

【详解】（1）解方程：x²-9x+20=0，得x₁=4， x₂=5，

∵OA<AB，

∴OA=4， AB=5，

过点B作BD⊥OC于点D，

∵tan∠OCB= ，BD=OA=4，OD=AB=5，

∴CD=3，

∴OC=8，

∴点B的坐标为（5，4），点C的坐标为（8，0）；

（2）∵AB//OC， OQ=AB=5，∠AOQ=90º，

∴四边形AOQB为矩形，

∴BQ=OA=4，由翻折，得OQ= =5，

∴ =3，

∴A =2，

∴ (2, 4)，

∴ ；

（3）存在．

①以 ，Q为边时，点M的坐标为 或 或 ，当点M的坐标为 时，点N的坐标为 ；当点M的坐标为 时，点N的坐标为 ；当点M的坐标为 时，点N的坐标为 ；

②以 ，Q为对角线时，点M的坐标为 ，此时点N的坐标为 ，

综上所述，点N的坐标为： ， ， ， ．

【点睛】本题考查的是矩形的判定、解一元二次方程、求反比例函数的解析式等内容，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．