2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）
的倒数是
A．
B．
C．8 D．
2．（3分）下列运算一定正确的是
A．
B．
C．
D．
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．
扇形 B．
正方形
C．
等腰直角三角形 D．
正五边形
4．（3分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是
A．
B．
C．
D．
5．（3分）如图，
为
的切线，点
为切点，
交
于点
，点
在
上，连接
、
，
，若
，则
的度数为
A．
B．
C．
D．
6．（3分）将抛物线
向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为
A．
B．
C．
D．
7．（3分）如图，在
中，
，
，
，垂足为
，
与
关于直线
对称，点
的对称点是点
，则
的度数为
A．
B．
C．
D．
8．（3分）方程
的解为
A．
B．
C．
D．
9．（3分）一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是
A．
B．
C．
D．
10．（3分）如图，在
中，点
在
边上，连接
，点
在
边上，过点
作
，交
于点
，过点
作
，交
于点
，则下列式子一定正确的是
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）将数4790000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）在函数
中，自变量
的取值范围是 ．
13．（3分）已知反比例函数
的图象经过点
，则
的值为 ．
14．（3分）计算
的结果是 ．
15．（3分）把多项式
分解因式的结果是 ．
16．（3分）抛物线
的顶点坐标为 ．
17．（3分）不等式组
的解集是 ．
18．（3分）一个扇形的面积是
，半径是
，则此扇形的圆心角是 度．
19．（3分）在
中，
，
为
边上的高，
，
，则
的长为 ．
20．（3分）如图，在菱形
中，对角线
、
相交于点
，点
在线段
上，连接
，若
，
，
，则线段
的长为 ．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求代数式
的值，其中
．
22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段
和线段
的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以
为边的正方形
，点
和点
均在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以
为边的等腰三角形
，点
在小正方形的顶点上，且
的周长为
．连接
，请直接写出线段
的长．
23．（8分）为了丰富同学们的课余生活，冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主题的调查活动，围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的
．请你根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若冬威中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名．
24．（8分）已知：在
中，
，点
、点
在边
上，
，连接
、
．
（1）如图1，求证：
；
（2）如图2，当
时，过点
作
交
的延长线于点
，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于
．
25．（10分）昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．
（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？
26．（10分）已知：
是
的外接圆，
为
的直径，
，垂足为
，连接
，延长
交
于点
．
（1）如图1，求证：
；
（2）如图2，过点
作
交
于点
，点
为
的中点，连接
，求证：
；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接
，若
，
的面积为
，求线段
的长．
27．（10分）已知：在平面直角坐标系中，点
为坐标原点，直线
与
轴的正半轴交于点
，与
轴的负半轴交于点
，
，过点
作
轴的垂线与过点
的直线相交于点
，直线
的解析式为
，过点
作
轴，垂足为
，
．
（1）如图1，求直线
的解析式；
（2）如图2，点
在线段
上，连接
，点
在线段
上，过点
作
轴，垂足为
，交
于点
，若
，求
的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，点
为线段
上一点，连接
，过点
作
的垂线交线段
于点
，连接
，过点
作
轴的平行线交
于点
，连接
交
轴于点
，连接
，若
，
，求点
的坐标．
2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）
的倒数是
A．
B．
C．8 D．
【解答】解：
的倒数是
，
故选：
．
2．（3分）下列运算一定正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
、
，原计算错误，故此选项不合题意；
、
，原计算错误，故此选项不合题意；
、
，原计算正确，故此选项合题意；
、
，原计算错误，故此选项不合题意．
故选：
．
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．
扇形 B．
正方形
C．
等腰直角三角形 D．
正五边形
【解答】解：
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：
．
4．（3分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层右边一个小正方形，
故选：
．
5．（3分）如图，
为
的切线，点
为切点，
交
于点
，点
在
上，连接
、
，
，若
，则
的度数为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
为圆
的切线，
，即
，
，
，
．
故选：
．
6．（3分）将抛物线
向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线
向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：
；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线
向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：
；
故选：
．
7．（3分）如图，在
中，
，
，
，垂足为
，
与
关于直线
对称，点
的对称点是点
，则
的度数为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
，
与
关于直线
对称，点
的对称点是点
，
，
，
故选：
．
8．（3分）方程
的解为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：方程的两边同乘
得：
，
解得
，
经检验，
是原方程的解．
故选：
．
9．（3分）一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
袋子中一共有9个除颜色不同外其它均相同的小球，其中红球有6个，
摸出的小球是红球的概率是
，
故选：
．
10．（3分）如图，在
中，点
在
边上，连接
，点
在
边上，过点
作
，交
于点
，过点
作
，交
于点
，则下列式子一定正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
，
，
，
故选：
．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）将数4790000用科学记数法表示为 
．
【解答】解：
，
故答案为：
．
12．（3分）在函数
中，自变量
的取值范围是 
．
【解答】解：由题意得
，
解得
．
故答案为：
．
13．（3分）已知反比例函数
的图象经过点
，则
的值为 
．
【解答】解：
反比例函数
的图象经过点
，
，
故答案为：
．
14．（3分）计算
的结果是 
．
【解答】解：原式
．
故答案为：
．
15．（3分）把多项式
分解因式的结果是 
．
【解答】解：原式
．
故答案为：
．
16．（3分）抛物线
的顶点坐标为 
．
【解答】解：
抛物线
是顶点式，
顶点坐标是
．
故答案为：
．
17．（3分）不等式组
的解集是 
．
【解答】解：
，
由①得，
；
由②得，
，
故此不等式组的解集为：
．
故答案为：
．
18．（3分）一个扇形的面积是
，半径是
，则此扇形的圆心角是 130 度．
【解答】解：设这个扇形的圆心角为
，
，
解得，
，
故答案为：130．
19．（3分）在
中，
，
为
边上的高，
，
，则
的长为 5或7 ．
【解答】解：在
中，
，
，
，
如图1、图2所示：
，
，
故答案为：7或5．
20．（3分）如图，在菱形
中，对角线
、
相交于点
，点
在线段
上，连接
，若
，
，
，则线段
的长为 
．
【解答】解：设
，则
，
四边形
为菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，解得
，
即
，
，
在
中，
，
在
中，
．
故答案为
．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求代数式
的值，其中
．
【解答】解：原式
，
，
原式
．
22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段
和线段
的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以
为边的正方形
，点
和点
均在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以
为边的等腰三角形
，点
在小正方形的顶点上，且
的周长为
．连接
，请直接写出线段
的长．
【解答】解：（1）如图，正方形
即为所求．
（2）如图，
即为所求．
．
23．（8分）为了丰富同学们的课余生活，冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主题的调查活动，围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的
．请你根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若冬威中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名．
【解答】解：（1）
（名
，
答：在这次调查中，一共抽取了50名学生；
（2）
（名
，补全条形统计图如图所示：
（3）
（名
，
答：冬威中学800名学生中最喜欢剪纸小组的学生有320名．
24．（8分）已知：在
中，
，点
、点
在边
上，
，连接
、
．
（1）如图1，求证：
；
（2）如图2，当
时，过点
作
交
的延长线于点
，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于
．
【解答】（1）证明：
，
，
在
和
中，
，
，
；
（2）
，
，
，
，
，
，
，
，
，
满足条件的等腰三角形有：
，
，
，
．
25．（10分）昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．
（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？
【解答】解：（1）设每个大地球仪
元，每个小地球仪
元，根据题意可得：
，
解得：
，
答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；
（2）设大地球仪为
台，则小地球仪为
台，根据题意可得：
，
解得：
，
答：最多可以购买5个大地球仪．
26．（10分）已知：
是
的外接圆，
为
的直径，
，垂足为
，连接
，延长
交
于点
．
（1）如图1，求证：
；
（2）如图2，过点
作
交
于点
，点
为
的中点，连接
，求证：
；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接
，若
，
的面积为
，求线段
的长．
【解答】证明：（1）
为
的直径，
，
，
，
又
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图2，连接
，
是直径，
，
点
是
中点，
，
又
，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
；
（3）如图3，过点
作
，交
于
，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积为
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图3，连接
，过点
作
，交
的延长线于
，
由（2）可知：
，
四边形
是圆内接四边形，
，
又
，
，
，
，
，
，
，
．
27．（10分）已知：在平面直角坐标系中，点
为坐标原点，直线
与
轴的正半轴交于点
，与
轴的负半轴交于点
，
，过点
作
轴的垂线与过点
的直线相交于点
，直线
的解析式为
，过点
作
轴，垂足为
，
．
（1）如图1，求直线
的解析式；
（2）如图2，点
在线段
上，连接
，点
在线段
上，过点
作
轴，垂足为
，交
于点
，若
，求
的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，点
为线段
上一点，连接
，过点
作
的垂线交线段
于点
，连接
，过点
作
轴的平行线交
于点
，连接
交
轴于点
，连接
，若
，
，求点
的坐标．
【解答】解：（1）
轴，
，
时，
，解得
，
，
轴，
，
，
，
设直线
的解析式为
，则有
，
解得
，
直线
的解析式为
．
（2）如图2中，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
直线
的解析式为
，设点
的横坐标为
，则
，
，
把
，代入
中，得到
，
，
，
把
代入，
中，得到
，
，
，
，
．
（3）如图3中，设直线
交
的延长线于
，交
轴于
，过点
作
于
．
轴，
，
，
，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
，
，
，
，
，
，
解得
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
由（2）可知
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．