【330288】2020年黑龙江省大兴安岭地区中考数学试卷

2020年黑龙江省大兴安岭地区中考数学试卷

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．（3分）2020的倒数是（　　）

A．2020 B．﹣2020 C． D．

2．（3分）下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．a+2a＝3a B．（a+b）²＝a²+ab+b²

C．（﹣2a）²＝﹣4a² D．a•2a²＝2a²

4．（3分）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是（　　）

A． B． C． D．

5．（3分）李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象是（　　）

A． B．

C． D．

6．（3分）数学老师在课堂上给同学们布置了10个填空题作为课堂练习，并将全班同学的答题情况绘制成条形统计图．由图可知，全班同学答对题数的众数为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

7．（3分）若关于x的分式方程 5的解为正数，则m的取值范围为（　　）

A．m＜﹣10 B．m≤﹣10

C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6

8．（3分）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（　　）

A．3种 B．4种 C．5种 D．6种

9．（3分）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°

10．（3分）如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：

①ac＜0；

②4a﹣2b+c＞0；

③当x＞2时，y随x的增大而增大；

④关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个不相等的实数根．

其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（每小题3分，满分21分）

11．（3分）2020年初新冠肺炎疫情发生以来，近4000000名城乡社区工作者奋战在中国大地的疫情防控一线．将数据4000000用科学记数法表示为　 　．

12．（3分）在函数y 中，自变量x的取值范围是　 　．

13．（3分）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是　 　．（只填一个即可）

14．（3分）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，计算出这个几何体的侧面积是　 　．

15．（3分）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是　 　．

16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在y轴上，点C坐标为（2，﹣2），并且AO：BO＝1：2，点D在函数y （x＞0）的图象上，则k的值为　 　．

17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A₁（0，2）变换到点A₂（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A₂变换到点A₃（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A₃变换到点A₄（10，4 ），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A₄变换到点A₅（10+12 ，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是　 　．

三、解答题（本题共7道大题，共69分）

18．（10分）（1）计算：sin30° （3 ）⁰+| |

（2）因式分解：3a²﹣48

19．（5分）解方程：x²﹣5x+6＝0

20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点， ，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）若直径AB＝6，求AD的长．

21．（10分）新冠肺炎疫情期间，某市防控指挥部想了解自1月20日至2月末各学校教职工参与志愿服务的情况．在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表．请根据两幅统计图表中的信息回答下列问题：

（1）本次被抽取的教职工共有　 　名；

（2）表中a＝　 　，扇形统计图中“C”部分所占百分比为　 　%；

（3）扇形统计图中，“D”所对应的扇形圆心角的度数为　 　°；

（4）若该市共有30000名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于60小时的教职工大约有多少人？

	志愿服务时间（小时）	频数
A	0＜x≤30	a
B	30＜x≤60	10
C	60＜x≤90	16
D	90＜x≤120	20

22．（10分）团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为800km，在行驶过程中乙车速度始终保持80km/h，甲车先以一定速度行驶了500km，用时5h，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

（1）甲车改变速度前的速度是　 　km/h，乙车行驶　 　h到达绥芬河；

（2）求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数解析式，不用写出自变量x的取值范围；

（3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有　 　km；出发　 　h时，甲、乙两车第一次相距40km．

23．（12分）综合与实践

在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．

实践发现：

对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．

（1）折痕BM　 　（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：　 　；进一步计算出∠MNE＝　 　°；

（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝　 　°；

拓展延伸：

（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．

求证：四边形SATA'是菱形．

解决问题：

（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．

请写出以上4个数值中你认为正确的数值　 　．

24．（14分）综合与探究

在平面直角坐标系中，抛物线y x²+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线AB的函数解析式为　 　，点M的坐标为　 　，cos∠ABO＝　 　；

连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为　 　；

（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；

（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2020年黑龙江省大兴安岭地区中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．（3分）2020的倒数是（　　）

A．2020 B．﹣2020 C． D．

【解答】解：2020的倒数是 ，

故选：C．

2．（3分）下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

D、是轴对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

3．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．a+2a＝3a B．（a+b）²＝a²+ab+b²

C．（﹣2a）²＝﹣4a² D．a•2a²＝2a²

【解答】解：A．a+2a＝（1+2）a＝3a，此选项计算正确；

B．（a+b）²＝a²+2ab+b²，此选项计算错误；

C．（﹣2a）²＝4a²，此选项计算错误；

D．a•2a²＝2a³，此选项计算错误；

故选：A．

4．（3分）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵掷小正方体后共有6种等可能结果，其中朝上一面的数字出现偶数的有2、4、6这3种可能，

∴朝上一面的数字出现偶数的概率是 ，

故选：A．

5．（3分）李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象是（　　）

A． B．

C． D．

【解答】解：因为登山过程可知：

先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．

所以在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象是B．

故选：B．

6．（3分）数学老师在课堂上给同学们布置了10个填空题作为课堂练习，并将全班同学的答题情况绘制成条形统计图．由图可知，全班同学答对题数的众数为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

【解答】解：由条形统计图可得，

全班同学答对题数的众数为9，

故选：C．

7．（3分）若关于x的分式方程 5的解为正数，则m的取值范围为（　　）

A．m＜﹣10 B．m≤﹣10

C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6

【解答】解：去分母得：3x＝﹣m+5（x﹣2），

解得：x ，

由方程的解为正数，得到m+10＞0，且m+10≠4，

则m的范围为m＞﹣10且m≠﹣6，

故选：D．

8．（3分）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（　　）

A．3种 B．4种 C．5种 D．6种

【解答】解：设可以购买x支康乃馨，y支百合，

依题意，得：2x+3y＝30，

∴y＝10 x．

∵x，y均为正整数，

∴ ， ， ， ，

∴小明有4种购买方案．

故选：B．

9．（3分）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°

【解答】解：如图，设AD与BC交于点F，

∵BC∥DE，

∴∠CFA＝∠D＝90°，

∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，

∴∠BAD＝30°

故选：B．

10．（3分）如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：

①ac＜0；

②4a﹣2b+c＞0；

③当x＞2时，y随x的增大而增大；

④关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个不相等的实数根．

其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；

抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；

x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；

抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；

综上所述，正确的结论有：①③④，

故选：C．

二、填空题（每小题3分，满分21分）

11．（3分）2020年初新冠肺炎疫情发生以来，近4000000名城乡社区工作者奋战在中国大地的疫情防控一线．将数据4000000用科学记数法表示为　4×10⁶　．

【解答】解：将数据4000000用科学记数法表示为4×10⁶，

故答案为：4×10⁶．

12．（3分）在函数y 中，自变量x的取值范围是　x≥﹣3且x≠2　．

【解答】解：由题可得， ，

解得 ，

∴自变量x的取值范围是x≥﹣3且x≠2，

故答案为：x≥﹣3且x≠2．

13．（3分）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是　AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）　．（只填一个即可）

【解答】解：∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，

∴当添加AD＝AC时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC；

当添加∠D＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC；

当添加∠ABD＝∠ABC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC．

故答案为AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．

14．（3分）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，计算出这个几何体的侧面积是　65π　．

【解答】解：由三视图可知，原几何体为圆锥，

S_侧 •2πr•l 2π×5×13＝65π．

故答案为：65π．

15．（3分）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是　10或11　．

【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，

∵此时能组成三角形，

∴周长＝3+3+4＝10；

②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，

此时能组成三角形，

所以周长＝3+4+4＝11．

综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．

故答案为：10或11．

16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在y轴上，点C坐标为（2，﹣2），并且AO：BO＝1：2，点D在函数y （x＞0）的图象上，则k的值为　2　．

【解答】解：如图，∵点C坐标为（2，﹣2），

∴矩形OBCE的面积＝2×2＝4，

∵AO：BO＝1：2，

∴矩形AOED的面积＝2，

∵点D在函数y （x＞0）的图象上，

∴k＝2，

故答案为2．

17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A₁（0，2）变换到点A₂（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A₂变换到点A₃（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A₃变换到点A₄（10，4 ），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A₄变换到点A₅（10+12 ，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是　2²⁰²⁰　．

【解答】解：∵点A₁（0，2），

∴第1个等腰直角三角形的面积 2，

∵A₂（6，0），

∴第2个等腰直角三角形的边长为 2 ，

∴第2个等腰直角三角形的面积 4＝2²，

∵A₄（10，4 ），

∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4，

∴第3个等腰直角三角形的面积 8＝2³，

…

则第2020个等腰直角三角形的面积是2²⁰²⁰；

故答案为：2²⁰²⁰（形式可以不同，正确即得分）．

三、解答题（本题共7道大题，共69分）

18．（10分）（1）计算：sin30° （3 ）⁰+| |

（2）因式分解：3a²﹣48

【解答】解：（1）sin30° （3 ）⁰+| |

4﹣1

＝4；

（2）3a²﹣48

＝3（a²﹣16）

＝3（a+4）（a﹣4）．

19．（5分）解方程：x²﹣5x+6＝0

【解答】解：∵x²﹣5x+6＝0，

∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，

则x﹣2＝0或x﹣3＝0，

解得x₁＝2，x₂＝3．

20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点， ，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）若直径AB＝6，求AD的长．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵ ，

∴∠BOD 180°＝60°，

∵ ，

∴∠EAD＝∠DAB BOD＝30°，

∵OA＝OD，

∴∠ADO＝∠DAB＝30°，

∵DE⊥AC，

∴∠E＝90°，

∴∠EAD+∠EDA＝90°，

∴∠EDA＝60°，

∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：连接BD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠DAB＝30°，AB＝6，

∴BD AB＝3，

∴AD 3 ．

21．（10分）新冠肺炎疫情期间，某市防控指挥部想了解自1月20日至2月末各学校教职工参与志愿服务的情况．在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表．请根据两幅统计图表中的信息回答下列问题：

（1）本次被抽取的教职工共有　50　名；

（2）表中a＝　4　，扇形统计图中“C”部分所占百分比为　32　%；

（3）扇形统计图中，“D”所对应的扇形圆心角的度数为　144　°；

（4）若该市共有30000名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于60小时的教职工大约有多少人？

	志愿服务时间（小时）	频数
A	0＜x≤30	a
B	30＜x≤60	10
C	60＜x≤90	16
D	90＜x≤120	20

【解答】解：（1）本次被抽取的教职工共有：10÷20%＝50（名），

故答案为：50；

（2）a＝50﹣10﹣16﹣20＝4，

扇形统计图中“C”部分所占百分比为： 100%＝32%，

故答案为：4，32；

（3）扇形统计图中，“D”所对应的扇形圆心角的度数为：360° 144°．

故答案为：144；

（4）30000 21600（人）．

答：志愿服务时间多于60小时的教职工大约有21600人．

22．（10分）团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为800km，在行驶过程中乙车速度始终保持80km/h，甲车先以一定速度行驶了500km，用时5h，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

（1）甲车改变速度前的速度是　100　km/h，乙车行驶　10　h到达绥芬河；

（2）求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数解析式，不用写出自变量x的取值范围；

（3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有　100　km；出发　2　h时，甲、乙两车第一次相距40km．

【解答】解：（1）甲车改变速度前的速度为：500出5＝100（km/h），乙车达绥芬河是时间为：800÷80＝10（h），

故答案为：100；10；

（2）∵乙车速度为80km/h，

∴甲车到达绥芬河的时间为： ，

甲车改变速度后，到达绥芬河前，设所求函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），

将（5，500）和（ ，800）代入得： ，

解得 ，

∴y＝80x+100，

答：甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数解析式为y＝80x+100（ ）；

（3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程为：800﹣80 100（km），

40÷（100﹣80）＝2（h），

即出发2h时，甲、乙两车第一次相距40km．

故答案为：100；2．

23．（12分）综合与实践

在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．

实践发现：

对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．

（1）折痕BM　是　（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：　等边三角形　；进一步计算出∠MNE＝　60　°；

（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝　15　°；

拓展延伸：

（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．

求证：四边形SATA'是菱形．

解决问题：

（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．

请写出以上4个数值中你认为正确的数值　7，9　．

【解答】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，

∴EF垂直平分AB，

∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，

∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，

∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，

∴AB＝BN，

∴AB＝AN＝BN，

∴△ABN是等边三角形，

∴∠EBN＝60°，

∴∠ENB＝30°，

∴∠MNE＝60°，

故答案为：是，等边三角形，60；

（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，

∴∠ABG＝∠HBG＝45°，

∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，

故答案为：15°；

（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，

∴ST垂直平分AA'，

∴AO＝A'O，AA'⊥ST，

∵AD∥BC，

∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，

∴△ASO≌△A'TO（AAS）

∴SO＝TO，

∴四边形ASA'T是平行四边形，

又∵AA'⊥ST，

∴边形SATA'是菱形；

（4）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，

∴AT＝A'T，

在Rt△A'TB中，A'T＞BT，

∴AT＞10﹣AT，

∴AT＞5，

∵点T在AB上，

∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10，

∴5＜AT≤10，

∴正确的数值为7，9，

故答案为：7，9．

24．（14分）综合与探究

在平面直角坐标系中，抛物线y x²+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线AB的函数解析式为　y＝x+4　，点M的坐标为　（﹣2，﹣2）　，cos∠ABO＝　 　；

连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为　（﹣2，2）或（0，4）　；

（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；

（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得： ，解得 ，

故直线AB的表达式为：y x²+2x；

（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），

由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x+4；

则∠ABO＝45°，故cos∠ABO ；

对于y x²+2x，函数的对称轴为x＝﹣2，故点M（﹣2，﹣2）；

OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP AC或 AC，

则 ，即 ，解得：y_P＝2或4，

故点P（﹣2，2）或（0，4）；

故答案为：y＝x+4；（﹣2，﹣2）； ；（﹣2，2）或（0，4）；

（3）△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，

点A′（4，0），

设直线A′M的表达式为：y＝kx+b，则 ，解得 ，

故直线A′M的表达式为：y x ，

令x＝0，则y ，故点Q（0， ）；

（4）存在，理由：

设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），

①当AC是边时，

点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），

即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，

故点N（6，6）或（﹣6，﹣6）；

②当AC是对角线时，

由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，

解得：m＝﹣2，n＝6，

故点N（﹣2，6）；

综上，点N的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．