【330258】2018-2019学年湖南省株洲市醴陵市八年级下期末数学试卷

2018-2019学年湖南省株洲市醴陵市八年级（下）期末数学试卷

一．选择题（共10小题，每小题4分共40分）

1．（4分）下列交通标志图案中，是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2．（4分）在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中利用了稳定性的是（　　）

A． 电动伸缩门 B． 升降台

C． 栅栏 D． 窗户

3．（4分）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）

A．对角线互相平分

B．对角线互相垂直

C．对角线相等

D．对角线互相垂直平分且相等

4．（4分）以下四组数中的三个数作为边长，不能构成直角三角形的是（　　）

A．1， ， B．5，12，13 C．3²，4²，5² D．8，15，17．

5．（4分）已知▱ABCD的周长为32，AB＝4，则BC＝（　　）

A．4 B．12 C．24 D．28

6．（4分）已知反比例函数 图象经过点（2，﹣3），则下列点中必在此函数图象上的是（　　）

A．（2，3） B．（1，6） C．（﹣1，6） D．（﹣2，﹣3）

7．（4分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝kx+k的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

8．（4分）点P（﹣2，3）到x轴的距离为（　　）

A．﹣2 B．1 C．2 D．3

9．（4分）学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的条形统计图，则参加绘画兴趣小组的频率是（　　）

A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.3

10．（4分）点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在反比例函数y＝ 的图象上，若x₁＜x₂＜0＜x₃，则y₁，y₂，y₃的大小关系是（　　）

A．y₁＜y₂＜y₃ B．y₂＜y₃＜y₁ C．y₃＜y₂＜y₁ D．y₂＜y₁＜y₃

二、填空题（共8小题，每小题4分共32分）

11．（4分）若一个直角三角形的两直角边长分别是1、2，则第三边长为　 　．

12．（4分）若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是　 　边形．

13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝5cm，则AB＝　 　cm．

14．（4分）已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为　 　cm²．

15．（4分）在平面直角坐标系中，点P（a﹣1，a）是第二象限内的点，则a的取值范围是　 　．

16．（4分）已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，且DE＝3cm，则BC＝　 　cm．

17．（4分）已知，如图，AB＝AD＝5，∠B＝15°，CD⊥AB于C，则CD＝　 　．

18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是　 　．

三、解答题（共8道，19题6分，20-21题每题8分，22-24题每题10分，25-26题每题13分）

19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．

（1）在图中作出△ABC关于x轴的轴对称图形△A′B′C′；

（2）直接写出A，B关于y轴的对称点A″，B″的坐标．

20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F．

求证：△ABE≌△ADF．

21．（8分）如图，在▱ABCD中，AC交BD于点O，点E，点F分别是OA，OC的中点．

求证：四边形BEDF为平行四边形．

22．（10分）某区在实施居民用水额定管理前，对居民生活用水情况进行了调查，下表是通过简单随机抽样获得的50个家庭去年月平均用水量（单位：吨），并将调查数据进行如下整理：

4.7 2.1 3.1 2.3 5.2 2.8 7.3 4.3 4.8 6.7

4.5 5.1 6.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.5

3.5 3.5 3.6 4.9 3.7 3.8 5.6 5.5 5.9 6.2

5.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.2 6.4 3.5

4.5 4.5 4.6 5.4 5.6 6.6 5.8 4.5 6.2 7.5

频数分布表

分组	划记	频数
2.0＜x≤3.5	正正	11
3.5＜x≤5.0		19
5.0＜x≤6.5 6.5＜x≤8.0
8.0＜x≤9.5 合计		2 50

（1）把上面频数分布表和频数分布直方图补充完整；

（2）从直方图中你能得到什么信息？（写出两条即可）；

（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？

23．（10分）莲城超市以10元/件的价格调进一批商品，根据前期销售情况，每天销售量y（件）与该商品定价x（元）是一次函数关系，如图所示．

（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；

（2）如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其它因素，求超市每天销售这种商品所获得的利润．

24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ 与反比例函数y＝ （x＜0）的图象交于A（﹣4，a），B（﹣1，b）两点．，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．

（1）求a、b及k的值；

（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．

25．（13分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF．

（1）求证△ACD≌△BFD

（2）求证：BF＝2AE；

（3）若CD＝ ，求AD的长．

26．（13分）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，E是BC边上的一点，将矩形ABCD沿折痕AE折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处，PC＝4（如图1）．

（1）求AB的长；

（2）擦去折痕AE，连结PB，设M是线段PA的一个动点（点M与点P、A不重合）．N是AB沿长线上的一个动点，并且满足PM＝BN．过点M作MH⊥PB，垂足为H，连结MN交PB于点F（如图2）．

①若M是PA的中点，求MH的长；

②试问当点M、N在移动过程中，线段FH的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段FH的长度．

2018-2019学年湖南省株洲市醴陵市八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，每小题4分共40分）

1．（4分）下列交通标志图案中，是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据中心对称图形的定义进行判断．

【解答】解：四张交通标志图案的卡片中，只有第三张为中心对称图形．

故选：C．

【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

2．（4分）在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中利用了稳定性的是（　　）

A． 电动伸缩门 B． 升降台

C． 栅栏 D． 窗户

【分析】三角形的特性之一就是具有稳定性．找到图形中有三角形固定的即可．

【解答】解：A、利用了四边形的不稳定性，故错误；

B、利用了四边形的不稳定性，故错误；

C、利用了三角形的稳定性，正确；

D、四边形不具有稳定性，故错误，

故选：C．

【点评】主要考查了三角形的性质中的稳定性．属于基础题，比较简单．

3．（4分）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）

A．对角线互相平分

B．对角线互相垂直

C．对角线相等

D．对角线互相垂直平分且相等

【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．

【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．

故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．

故选：A．

【点评】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．

4．（4分）以下四组数中的三个数作为边长，不能构成直角三角形的是（　　）

A．1， ， B．5，12，13 C．3²，4²，5² D．8，15，17．

【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

【解答】解：A、1²+（ ）²＝（ ）²，能构成直角三角形，故不符合题意；

B、5²+12²＝13²，能构成直角三角形，故不符合题意；

C、（3²）²+（4²）²≠（5²）²，不能构成直角三角形，故符合题意；

D、8²+15²＝17²，能构成直角三角形，故不符合题意．

故选：C．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理；如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²＝c²，那么这个三角形就是直角三角形．

5．（4分）已知▱ABCD的周长为32，AB＝4，则BC＝（　　）

A．4 B．12 C．24 D．28

【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，根据2（AB+BC）＝32，即可求出答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝BC，

∵平行四边形ABCD的周长是32，

∴2（AB+BC）＝32，

∴BC＝12．

故选：B．

【点评】本题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能利用平行四边形的性质进行计算是解此题的关键．

6．（4分）已知反比例函数 图象经过点（2，﹣3），则下列点中必在此函数图象上的是（　　）

A．（2，3） B．（1，6） C．（﹣1，6） D．（﹣2，﹣3）

【分析】由已知可以确定函数解析式为y＝ ，将选项依次代入验证即可．

【解答】解：∵反比例函数 图象经过点（2，﹣3），

∴k＝﹣6，

∴y＝ ，

故选：C．

【点评】本题考查反比函数图象及性质；掌握待定系数法求函数解析式，点与函数解析式的特点是解题的关键．

7．（4分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝kx+k的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】先根据正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．

【解答】解：∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大，

∴k＞0，

∵b＝k＞0，

∴一次函数y＝kx+k的图象经过一、二、三象限．

故选：A．

【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＞0时函数的图象在一、二、三象限．

8．（4分）点P（﹣2，3）到x轴的距离为（　　）

A．﹣2 B．1 C．2 D．3

【分析】求得P的纵坐标的绝对值即可求得P点到x轴的距离．

【解答】解：∵点P的纵坐标为3，

∴P点到x轴的距离是3．

故选：D．

【点评】本题考查了点的坐标，解答本题的关键在于熟练掌握点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值．

9．（4分）学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的条形统计图，则参加绘画兴趣小组的频率是（　　）

A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.3

【分析】根据条形统计图可以知道绘画兴趣小组的频数，然后除以总人数即可求出加绘画兴趣小组的频率．

【解答】解：∵根据条形统计图知道绘画兴趣小组的频数为12，

∴参加绘画兴趣小组的频率是12÷40＝0.3．

故选：D．

【点评】本题考查读条形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

10．（4分）点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在反比例函数y＝ 的图象上，若x₁＜x₂＜0＜x₃，则y₁，y₂，y₃的大小关系是（　　）

A．y₁＜y₂＜y₃ B．y₂＜y₃＜y₁ C．y₃＜y₂＜y₁ D．y₂＜y₁＜y₃

【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x₁＜x₂＜0＜x₃，判断出三点所在的象限，再根据函数的增减性即可得出结论．

【解答】解：∵反比例函数y＝ 中，k＝1＞0，

∴此函数图象的两个分支在一、三象限，

∵x₁＜x₂＜0＜x₃，

∴A、B在第三象限，点C在第一象限，

∴y₁＜0，y₂＜0，y₃＞0，

∵在第三象限y随x的增大而减小，

∴y₁＞y₂，

∴y₂＜y₁＜y₃．

故选：D．

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限及三点所在的象限是解答此题的关键．

二、填空题（共8小题，每小题4分共32分）

11．（4分）若一个直角三角形的两直角边长分别是1、2，则第三边长为　 　．

【分析】利用勾股定理计算即可．

【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别是1和2，

∴斜边＝ ＝ ，

故答案为 ．

【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是记住勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

12．（4分）若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是　十二　边形．

【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．

【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n﹣2）＝360°×5，

解得n＝12．

故答案为：十二．

【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．

13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝5cm，则AB＝　10　cm．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，

∴线段CD是斜边AB上的中线；

又∵CD＝5cm，

∴AB＝2CD＝10cm．

故答案是：10．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

14．（4分）已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为　24　cm²．

【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．

【解答】解：由已知得，菱形的面积等于两对角线乘积的一半

即：6×8÷2＝24cm²．

故答案为：24．

【点评】此题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半．

15．（4分）在平面直角坐标系中，点P（a﹣1，a）是第二象限内的点，则a的取值范围是　0＜a＜1　．

【分析】已知点P（a﹣1，a）是第二象限内的点，即可得到横纵坐标的符号，即可求解．

【解答】解：∵点P（a﹣1，a）是第二象限内的点，

∴a﹣1＜0且a＞0，解得：0＜a＜1．故答案填：0＜a＜1．

【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点，第二象限（﹣，+）．

16．（4分）已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，且DE＝3cm，则BC＝　6　cm．

【分析】由D，E分别是边AB，AC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得BC的值即可．

【解答】解：∵△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，

∴DE是三角形的中位线，

∵DE＝3cm，

∴BC＝2DE＝6cm．

故答案为：6．

【点评】本题重点考查了中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．

17．（4分）已知，如图，AB＝AD＝5，∠B＝15°，CD⊥AB于C，则CD＝　2.5　．

【分析】根据等边对等角可得∠ADB＝∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAC＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CD＝ AD．

【解答】解：∵AB＝AD，

∴∠ADB＝∠B＝15°，

∴∠DAC＝∠ADB+∠B＝30°，

又∵CD⊥AB，

∴CD＝ AD＝ ×5＝2.5．

故答案为：2.5．

【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．

18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是　 　．

【分析】连接FE，交AC于点O，证明△FCH≌△EAG，得到CH＝AG，根据菱形的性质及矩形性质可得O为AC中点，在Rt△AOE和Rt△ABC中，借助公共角∠CAB的余弦值求解AE．

【解答】解：连接FE，交AC于点O．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠FCH＝∠EAG．

∵四边形EGFH是菱形，

∴FH＝GE，∠FHG＝∠EGH．

∴∠FHC＝∠EGA．

∴△FCH≌△EAG（AAS）．

∴CH＝AG．

∵四边形EGFH是菱形，

∴FE⊥GH，且O为GH中点．

∴O为AC中点．

在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC＝10．

∴AO＝5．

则cos∠OAE＝cos∠CAB，

∴ ，即 ，解得AE＝ ．

故答案为 ．

【点评】本题主要考查了矩形的性质、菱形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是通过菱形的性质作出辅助线，在三角形中求线段长度．

三、解答题（共8道，19题6分，20-21题每题8分，22-24题每题10分，25-26题每题13分）

19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．

（1）在图中作出△ABC关于x轴的轴对称图形△A′B′C′；

（2）直接写出A，B关于y轴的对称点A″，B″的坐标．

【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于x轴的轴对称图形△A′B′C′；

（2）依据轴对称的性质，即可得到A，B关于y轴的对称点A″，B″的坐标．

【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；

（2）∵A（﹣3，4），B（﹣4，1），

∴A″（3，4），B″（4，1）．

【点评】此题主要考查了轴对称图形的作法以及坐标性质点的距离求法和关于坐标轴对称的点的坐标特点，灵活应用关于坐标轴对称点的性质是解题关键．

20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F．

求证：△ABE≌△ADF．

【分析】首先由角平分线的性质定理得到：AE＝AF，再由HL判定Rt△ABE≌Rt△ADF即可．

【解答】证明：∵CA平分∠BCD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F，

∴AE＝AF．

在Rt△ABE与Rt△ADF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与角平分线的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

21．（8分）如图，在▱ABCD中，AC交BD于点O，点E，点F分别是OA，OC的中点．

求证：四边形BEDF为平行四边形．

【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝CO，BO＝DO，

又∵点E，点F分别是OA，OC的中点，

∴EO＝ ，FO＝ ，

∴EO＝FO，

∴四边形BEDF为平行四边形．

【点评】本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理．

22．（10分）某区在实施居民用水额定管理前，对居民生活用水情况进行了调查，下表是通过简单随机抽样获得的50个家庭去年月平均用水量（单位：吨），并将调查数据进行如下整理：

4.7 2.1 3.1 2.3 5.2 2.8 7.3 4.3 4.8 6.7

4.5 5.1 6.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.5

3.5 3.5 3.6 4.9 3.7 3.8 5.6 5.5 5.9 6.2

5.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.2 6.4 3.5

4.5 4.5 4.6 5.4 5.6 6.6 5.8 4.5 6.2 7.5

频数分布表

分组	划记	频数
2.0＜x≤3.5	正正	11
3.5＜x≤5.0		19
5.0＜x≤6.5 6.5＜x≤8.0
8.0＜x≤9.5 合计		2 50

（1）把上面频数分布表和频数分布直方图补充完整；

（2）从直方图中你能得到什么信息？（写出两条即可）；

（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？

【分析】（1）根据题中给出的50个数据，从中分别找出5.0＜x≤6.5与 6.5＜x≤8.0 的个数，进行划记，得到对应的频数，进而完成频数分布表和频数分布直方图；

（2）本题答案不唯一．例如：从直方图可以看出：①居民月平均用水量大部分在2.0至6.5之间；②居民月平均用水量在3.5＜x≤5.0范围内的最多，有19户；

（3）由于50×60%＝30，所以为了鼓励节约用水，要使60%的家庭收费不受影响，即要使30户的家庭收费不受影响，而11+19＝30，故家庭月均用水量应该定为5吨．

【解答】解：（1）频数分布表如下：

分组	划记	频数
2.0＜x≤3.5	正正	11
3.5＜x≤5.0		19
5.0＜x≤6.5 6.5＜x≤8.0		13 5
8.0＜x≤9.5 合计		2 50

频数分布直方图如下：

（2）从直方图可以看出：①居民月平均用水量大部分在2.0至6.5之间；②居民月平均用水量在3.5＜x≤5.0范围内的最多，有19户；

（3）要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为5吨，因为月平均用水量不超过5吨的有30户，30÷50＝60%．

【点评】本题考查读频数分布直方图和频数分布表的能力及利用统计图表获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

23．（10分）莲城超市以10元/件的价格调进一批商品，根据前期销售情况，每天销售量y（件）与该商品定价x（元）是一次函数关系，如图所示．

（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；

（2）如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其它因素，求超市每天销售这种商品所获得的利润．

【分析】（1）由图象可知y与x是一次函数关系，又由函数图象过点（11，10）和（15，2），则用待定系数法即可求得y与x的函数关系式；

（2）根据（1）求出的函数关系式，再求出每件该商品的利润，即可求得求超市每天销售这种商品所获得的利润．

【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0），由图象可知，

，

解得 ，

故销售量y与定价x之间的函数关系式是：y＝﹣2x+32；

（2）超市每天销售这种商品所获得的利润是：

W＝（﹣2x+32）（13﹣10）＝﹣6x+96，

当x＝13（元）时，超市每天销售这种商品所获得的利润是：

W＝﹣6×13+96＝18（元）．

【点评】此题考查了一次函数的应用问题，此题综合性较强，难度一般，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，注意待定系数法的应用，注意数形结合思想的应用．

24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ 与反比例函数y＝ （x＜0）的图象交于A（﹣4，a），B（﹣1，b）两点．，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．

（1）求a、b及k的值；

（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．

【分析】（1）根据直线y＝ 经过A（﹣4，a），B（﹣1，b）两点，得到关于a和b的一元一次方程，解之，即可得到a和b的值，把点A和点B的坐标代入函数y＝ （x＜0），解之，即可得到k的值；

（2）设直线AB分别交x轴、y轴于点E，F，由直线解析式求得E、F的坐标，然后根据S_△AOB＝S_△EOF﹣S_△AEO﹣S_△BFO求得即可．

【解答】解：（1）将点A（﹣4，a）、B（﹣1，b）分别代入表达式 中，得： ； ，

∴ ，

将B（﹣1，2）代入y＝ 中，得k＝﹣2，

所以a＝ ，b＝2，k＝﹣2；

（2）设直线AB分别交x轴、y轴于点E，F

对于直线 ，分别令y＝0，x＝0，解得：x＝﹣5，y＝ ，

∴E（﹣5，0），F（ ），

∵S_△AEO＝ ×OE×AC＝ ，S_△BFO＝ ×OF×BD＝ ，S_△EOF＝ ×OE×OF＝ ，

∴S_△AOB＝S_△EOF﹣S_△AEO﹣S_△BFO＝ ．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合思想的运用是解题的关键．

25．（13分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF．

（1）求证△ACD≌△BFD

（2）求证：BF＝2AE；

（3）若CD＝ ，求AD的长．

【分析】（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD＝BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD＝∠CBE，然后利用“角边角”证明△ACD≌△BFD即可；

（2）根据全等三角形对应边相等可得BF＝AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC＝2AE，从而得证；

（3）根据全等三角形对应边相等可得DF＝CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF＝CF，然后根据AD＝AF+DF代入数据即可得解．

【解答】（1）∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴AD＝BD，

∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠CBE+∠ACD＝90°，

∴∠CAD＝∠CBE，

在△ADC和△BDF中， ，

∴△ACD≌△BFD（ASA）；

（2）证明：由（1）可知：BF＝AC，

∵AB＝BC，BE⊥AC，

∴AC＝2AE，

∴BF＝2AE；

（3）解：∵△ACD≌△BFD，

∴DF＝CD＝ ，

在Rt△CDF中，CF＝ ＝2，

∵BE⊥AC，AE＝EC，

∴AF＝CF＝2．

∴AD＝AF+DF＝2+ ．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

26．（13分）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，E是BC边上的一点，将矩形ABCD沿折痕AE折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处，PC＝4（如图1）．

（1）求AB的长；

（2）擦去折痕AE，连结PB，设M是线段PA的一个动点（点M与点P、A不重合）．N是AB沿长线上的一个动点，并且满足PM＝BN．过点M作MH⊥PB，垂足为H，连结MN交PB于点F（如图2）．

①若M是PA的中点，求MH的长；

②试问当点M、N在移动过程中，线段FH的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段FH的长度．

【分析】（1）设AB＝x，根据折叠可得AP＝CD＝x，DP＝CD﹣CP＝x﹣4，利用勾股定理，在Rt△ADP中，AD²+DP²＝AP²，即8²+（x﹣4）²＝x²，即可解答；

（2）①过点A作AG⊥PB于点G，根据勾股定理求出PB的长，由AP＝AB，所以PG＝BG＝ PB＝2 ，在Rt△AGP中，AG＝ ，

由AG⊥PB，MH⊥PB，所以MH∥AG，根据M是PA的中点，所以H是PG的中点，根据中位线的性质得到MH＝ AG＝ ．

②作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP＝MQ，BN＝QM，得出MP＝MQ，根据MH⊥PQ，得出HQ＝ PQ，根据∠QMF＝∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF＝ QB，再求出EF＝ PB，最后代入HF＝ PB即可得出线段EF的长度不变．

【解答】解：（1）设AB＝x，则AP＝CD＝x，DP＝CD﹣CP＝x﹣4，

在Rt△ADP中，AD²+DP²＝AP²，

即8²+（x﹣4）²＝x²，

解得：x＝10，

即AB＝10．

（2）①如图2，过点A作AG⊥PB于点G，

由（1）中的结论可得：PC＝4，BC＝8，∠C＝90°，

∴PB＝ ，

∵AP＝AB，

∴PG＝BG＝ PB＝2 ，

在Rt△AGP中，AG＝ ，

∵AG⊥PB，MH⊥PB，

∴MH∥AG，

∵M是PA的中点，

∴H是PG的中点，

∴MH＝ AG＝ ．

②当点M、N在移动过程中，线段FH的长度是不发生变化；

作MQ∥AN，交PB于点Q，如图3，

∵AP＝AB，MQ∥AN，

∴∠APB＝∠ABP＝∠MQP．

∴MP＝MQ，

∵BN＝PM，

∴BN＝QM．

∵MP＝MQ，MH⊥PQ，

∴HQ＝ PQ．

∵MQ∥AN，

∴∠QMF＝∠BNF，

在△MFQ和△NFB中，

，

∴△MFQ≌△NFB（AAS）．

∴QF＝ QB，

∴HF＝HQ+QF＝ PQ+ QB＝ PB＝ ．

∴当点M、N在移动过程中，线段FH的长度是不发生变化，长度为2 ．

【点评】此题考查了四边形综合，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等三角形．

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日期：2019/10/8 17:44:22；用户：15527082918；邮箱：15527082918；学号：27022530