2018-2019学年湖南省邵阳市隆回县八年级（下）期末数学试卷
一、精心选一选（本题共10小题；每小题3分，共30分．每小题只有一个选项正确）
1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（3，﹣2）
3．（3分）将直线y＝3x向下平移4个单位后所得直线的解析式为（ ）
A．y＝3x+4 B．y＝3（x﹣4） C．y＝3（x+4） D．y＝3x﹣4
4．（3分）如图，在直角三角形ABC中，AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，点E为AC的中点，点D在AB上，且DE⊥AC于E，则CD＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（3分）如图，在▱ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝3，则▱ABCD的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
6．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．（3分）已知点P的坐标为P（﹣5，3），则点P在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
8．（3分）如图，△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于D．若BD＝2，则△ABC的面积为（ ）
A．
B．3
C．4
D．2
9．（3分）直线y＝2x﹣4与x轴、y轴所围成的直角三角形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
10．（3分）若一次函数y＝（m﹣1）x﹣3的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围为（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞1 D．m＜1
二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）
11．（3分）已知正方形的一条对角线长为2
cm，则该正方形的边长为
cm．
12．（3分）已知点（a，4）在直线y＝3x+2上，则a＝ ．
13．（3分）菱形的两条对角线长分别为2cm和2
cm，则该菱形的面积为
cm2．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF＝3，则CD的长为 ．
15．（3分）已知一次函数的图象经过两点A（﹣1，3），B（2，﹣5），则这个函数的表达式为 ．
16．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为 ．
17．（3分）已知直线y＝ax+b（a≠0）过点A（﹣3，0）和点B（0，2），那么关于x的方程ax+b＝0的解是 ．
18．（3分）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长度为 ．
三、解答题（共7个小题，19-21小题每小题6分，22-25小题7分，共46分）
19．（6分）已知一次函数y＝﹣x+2．
（1）画出该函数的图象；
（2）若该函数图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，求A，B两点的坐标．
20．（6分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F，且BE＝DF．
求证：▱ABCD是菱形．
21．（6分）如图，李亮家在学校的北偏西60°方向上，距学校800米，小明家在学校北偏东30°方向上，距学校600米．
（1）写出学校相对于小明家的位置；
（2）求李亮家与小明家的距离AB．
22．（7分）某班进行了一次数学测验，将成绩绘制成频数分布表和频数直方图的一部分如下：
成绩 |
频数（人数） |
频率 |
50≤x＜60 |
5 |
0.1 |
60≤x＜70 |
10 |
0.2 |
70≤x＜80 |
20 |
0.4 |
80≤x＜90 |
a |
0.2 |
90≤x＜100 |
5 |
b |
（1）在频数分布表中，a的值为 ，b的值为 ．
（2）将频数直方图补充完整．
（3）成绩在80分以上（含80）的学生人数占全班总人数的百分比是多少？
23．（7分）如图，线段AE与BC相交于点D，BD＝CD，AD＝ED，CA⊥AE，∠1＝30°，且AB＝4cm，求线段BE的长．
24．（7分）如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝5，AE＝2EM．
（1）求证：△AED≌△MBA；
（2）求BM的长（结果用根式表示）
25．（7分）如图，直线l过点P（1，2），且l与x，y轴的正半轴分别交于点A、B两点，O为坐标原点．
（1）当OA＝OB时，求直线l的方程；
（2）当点P（1，2）恰好为线段AB的中点时，求直线l的方程．
2018-2019学年湖南省邵阳市隆回县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选（本题共10小题；每小题3分，共30分．每小题只有一个选项正确）
1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、C、D中图形都不是中心对称图形，
B中图形是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（3，﹣2）
【分析】点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n），然后将题目已经点的坐标代入即可求得解．
【解答】解：根据轴对称的性质，得点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题考查平面直角坐标系点的对称性质，属于对一般知识性内容的考查，难度不大，学生做的时候要避免主观性失分．
3．（3分）将直线y＝3x向下平移4个单位后所得直线的解析式为（ ）
A．y＝3x+4 B．y＝3（x﹣4） C．y＝3（x+4） D．y＝3x﹣4
【分析】根据平移k值不变，只有b只发生改变解答即可．
【解答】解：由题意得：平移后的解析式为：y＝3x﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
4．（3分）如图，在直角三角形ABC中，AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，点E为AC的中点，点D在AB上，且DE⊥AC于E，则CD＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据已知条件得到AD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACD，求得CD＝BD，由跟勾股定理得到AB＝10，于是得到结论．
【解答】解：∵点E为AC的中点，DE⊥AC于E，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠DCB＝∠B，
∴CD＝BD，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∴CD＝
AB＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
5．（3分）如图，在▱ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝3，则▱ABCD的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【分析】根据在▱ABCD中，AC平分∠DAB可以得到AB＝BC，所以▱ABCD为菱形，周长便不难求出．
【解答】解：在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠ACB＝∠BAC，
∴AB＝BC，
∴▱ABCD是菱形，
▱ABCD的周长为3×4＝12．
故选：C．
【点评】根据角平分线和平行四边形的性质证出平行四边形是菱形是解本题的关键．
6．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°＝2×360，
解得：n＝6．
即这个多边形的边数是6．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
7．（3分）已知点P的坐标为P（﹣5，3），则点P在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】根据各象限内点的坐标符号可得其所在象限．
【解答】解：∵点P的坐标为（﹣5，3），
∴点P的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∴点P在第二象限，
故选：B．
【点评】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握四个象限内点的坐标符号特点．
8．（3分）如图，△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于D．若BD＝2，则△ABC的面积为（ ）
A．
B．3
C．4
D．2
【分析】依据∠A＝90°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于D，即可得出∠ABD与∠CBD的度数，进而得到AB，AD，CD的长，依据公式即可得到△ABC的面积．
【解答】解：∵∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
又∵BD是角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∵在Rt△BAD中，BD＝2AD＝2，
∴AD＝1，AB＝
＝
，
又∵∠C＝∠CBD＝30°，
∴CD＝BD＝2，
∴AC＝3，
∴△ABC的面积为
＝
．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线定义以及含30°角的直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
9．（3分）直线y＝2x﹣4与x轴、y轴所围成的直角三角形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】先求出直线和两坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：
设直线y＝2x﹣4交x轴于A，交y轴于B，如图，
当x＝0时，y＝﹣4，
当y＝0时，x＝2，
即OA＝2，OB＝4，
所以
＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，能求出OA、OB的长是解此题的关键．
10．（3分）若一次函数y＝（m﹣1）x﹣3的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围为（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞1 D．m＜1
【分析】一次函数y＝（m﹣1）x﹣m的图象经过第二、三、四象限，则一次项系数m﹣1是负数，即可求得m的范围．
【解答】解：根据题意得：m﹣1＜0，
解得：m＜1，
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）
11．（3分）已知正方形的一条对角线长为2
cm，则该正方形的边长为 2 cm．
【分析】根据正方形的性质及勾股定理可求得边长的值．
【解答】解：因为正方形的四边相等，所以利用勾股定理可知若正方形的一条对角线长为2
cm，则它的边长是2cm．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了正方形的性质和勾股定理的应用．
12．（3分）已知点（a，4）在直线y＝3x+2上，则a＝ 
．
【分析】把点的坐标代入函数的解析式，即可求出a的值．
【解答】解：∵点（a，4）在直线y＝3x+2上，
∴代入得：4＝3a+2，
解得：a＝
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
13．（3分）菱形的两条对角线长分别为2cm和2
cm，则该菱形的面积为 2
cm2．
【分析】由菱形的面积公式可求解．
【解答】解：∵菱形的面积＝对角线积的一半
∴菱形的面积＝
×2×2
＝2
cm2，
故答案为：2
【点评】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是本题的关键．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF＝3，则CD的长为 6 ．
【分析】根据三角形中位线等于三角形第三边的一半可得AB长，进而根据平行四边形的对边相等可得CD＝AB．
【解答】解：∵EF是△ABD的中位线，
∴AB＝2EF＝6，
又∵AB＝CD，
∴CD＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形中位线定理及平行四边形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．
15．（3分）已知一次函数的图象经过两点A（﹣1，3），B（2，﹣5），则这个函数的表达式为 y＝﹣
x+
．
【分析】设直线AB的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法即可解决问题．
【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，3），B（2，﹣5）两点坐标代入得到：
，
解得
，
∴这个函数的解析式为y＝﹣
x+
，
故答案为：y＝﹣
x+
．
【点评】本题考查一次函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为 21 ．
【分析】△OAB的周长＝AO+BO+AB，只要求得AO和BO即可，根据平行四边形的对角线互相平分的性质求得答案．
【解答】解：在▱ABCD中，OA＝OC＝
AC，OB＝OD＝
BD，
∵AC＝14，BD＝8，
∴OA＝7，OB＝4，
∵AB＝10，
∴△OAB的周长＝7+4+10＝21．
故答案为21．
【点评】本题重点考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
17．（3分）已知直线y＝ax+b（a≠0）过点A（﹣3，0）和点B（0，2），那么关于x的方程ax+b＝0的解是 x＝﹣3 ．
【分析】直线y＝ax+b与x轴交点的横坐标的值即为关于x的方程ax+b＝0的解．
【解答】解：∵直线y＝ax+b（a≠0）经过点A（﹣3，0），
∴关于x的方程ax+b＝0的解是x＝﹣3．
故答案为：x＝﹣3．
【点评】本题本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
18．（3分）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长度为 3cm ．
【分析】根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN＝x，则DN＝NE＝8﹣x，CE＝4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．
【解答】解：由题意设CN＝x cm，则EN＝（8﹣x）cm，
又∵CE＝
DC＝4cm，
∴在Rt△ECN中，EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝42+x2，
解得：x＝3，即CN＝3cm．
故答案为：3cm．
【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．
三、解答题（共7个小题，19-21小题每小题6分，22-25小题7分，共46分）
19．（6分）已知一次函数y＝﹣x+2．
（1）画出该函数的图象；
（2）若该函数图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，求A，B两点的坐标．
【分析】（1）利用两点法，画出函数图象：
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征即可求得．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝2．
画出函数图象，如图所示
；
（2）∵当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝2．
∴A（2，0），B（0，2）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象，解题的关键是：利用两点法画出函数图象．
20．（6分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F，且BE＝DF．
求证：▱ABCD是菱形．
【分析】由平行四边形的性质可得∠B＝∠D，由“AAS”可证△ABE≌△ADF，可得AB＝AD，即可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B＝∠D，且BE＝DF，∠AEB＝∠ADF＝90°
∴△ABE≌△ADF（AAS）
∴AB＝AD，且四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形
【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，证明AB＝AD是本题的关键．
21．（6分）如图，李亮家在学校的北偏西60°方向上，距学校800米，小明家在学校北偏东30°方向上，距学校600米．
（1）写出学校相对于小明家的位置；
（2）求李亮家与小明家的距离AB．
【分析】（1）根据方向角的定义和距离即可求解；
（2）连结AB，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）学校在小明家的南偏西30°方向上，距小明家600米；
（2）连结AB，
∵AO＝800米，BO＝600米，∠AOB＝60°+30°＝90°，
∴AB＝
＝1000米．
故李亮家与小明家的距离AB是1000米．
【点评】考查了方向角和勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
22．（7分）某班进行了一次数学测验，将成绩绘制成频数分布表和频数直方图的一部分如下：
成绩 |
频数（人数） |
频率 |
50≤x＜60 |
5 |
0.1 |
60≤x＜70 |
10 |
0.2 |
70≤x＜80 |
20 |
0.4 |
80≤x＜90 |
a |
0.2 |
90≤x＜100 |
5 |
b |
（1）在频数分布表中，a的值为 10 ，b的值为 0.1 ．
（2）将频数直方图补充完整．
（3）成绩在80分以上（含80）的学生人数占全班总人数的百分比是多少？
【分析】（1）根据频数直方表中的信息即可得到结论；
（2）根据80≤x＜90这组的频数将频数直方图补充完整即可；
（3）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）在频数分布表中，a的值为5÷0.1×0.2＝10，b的值为1﹣0.1﹣0.2﹣0.4﹣0.2＝0.1；
故答案为：10，0.1；
（2）补全频数直方图如图所示；
（3）成绩在80分以上（含80）的学生人数为15人，全班总人数为50人，
∴成绩在80分以上（含80）的学生人数占全班总人数的百分比＝
＝30%．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（7分）如图，线段AE与BC相交于点D，BD＝CD，AD＝ED，CA⊥AE，∠1＝30°，且AB＝4cm，求线段BE的长．
【分析】由SAS证得△ADC≌△EDB得出∠BED＝∠CAD＝90°，在Rt△AEB中，由30°角所得的边等于斜边的一半即可得出结果．
【解答】解：在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴∠BED＝∠CAD＝90°，
在Rt△AEB中，∵∠1＝30°，
∴BE＝
AB＝2cm．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（7分）如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝5，AE＝2EM．
（1）求证：△AED≌△MBA；
（2）求BM的长（结果用根式表示）
【分析】（1）由题意可证△AED≌△ABM，则结论可得．
（2）在Rt△ABM中根据勾股定理可求EM的长，即可求AE的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°
∴∠DAE＝∠AMB
∵CD＝DE，CD＝AB
∴AB＝DE，且∠ABC＝∠AED＝90°，∠DAE＝∠AMB
∴△ADE≌△ABM（AAS）；
（2）在Rt△ABM中，AM2＝AB2+BM2．
∴9EM2＝25+4EM2．
∴EM＝
，
∴AE＝BM＝2
．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键
25．（7分）如图，直线l过点P（1，2），且l与x，y轴的正半轴分别交于点A、B两点，O为坐标原点．
（1）当OA＝OB时，求直线l的方程；
（2）当点P（1，2）恰好为线段AB的中点时，求直线l的方程．
【分析】（1）设直线l的方程为y＝kx+b，把B、A、P分别代入，即可求出函数的解析式；
（2）求出C的坐标，求出A的坐标，再把P、A代入函数解析式，即可求出答案．
【解答】解：（1）设OA＝OB＝t，则A（t，0），B（0，t），
设直线l的解析式为y＝kx+b，
把B的坐标代入得：b＝t，
即y＝kx+t，
把A点的坐标代入得：0＝kt+t，
kt＝﹣t，
解得：k＝﹣1，
即y＝﹣x+t，
把P（1，2）代入得：2＝﹣1+t，
解得：t＝3，
即直线l的方程为y＝﹣x+3；
（2）
过P作PC⊥x轴于C，则PC∥y轴，
∵P（1，2），P为AB中点，PC∥y轴，
∴C为OA中点，C（1，0），
∴OA＝2OC＝2，
∴A（2，0），
设直线l的方程为y＝ax+c，
把A（2，0），P（1，2）代入得：
，
解得：a＝﹣2，c＝4，
∴直线l的方程为y＝﹣2x+4．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和用待定系数法求一次函数的解析式，能正确运用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键．
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