【330250】2018-2019学年湖南省怀化市洪江市八年级下期末数学试卷

2018-2019学年湖南省怀化市洪江市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2．（4分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，则∠B为（　　）

A．15° B．30° C．50° D．60°

3．（4分）将点A（4，2）向左平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是（　　）

A．（6，2） B．（4，0） C．（2，2） D．（4，4）

4．（4分）下列各式中，不是二次根式的是（　　）

A． B． C．﹣ D．

5．（4分）在Rt△ABC中，a＝3，b＝5，则c的长为（　　）

A．2 B． C．4 D．4或

6．（4分）下列说法错误的是（　　）

A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．对角线相等的菱形是正方形

D．对角线相等的平行四边形是矩形

7．（4分）下面哪个点在函数y＝ x+1的图象上（　　）

A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，0） D．（﹣2，0）

8．（4分）若等腰三角形的周长为60cm，底边长为x cm，一腰长为y cm，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是（　　）

A．y＝60﹣2x（0＜x＜60） B．y＝60﹣2x（0＜x＜30）

C．y＝ （60﹣x）（0＜x＜60） D．y＝ （60﹣x）（0＜x＜30）

9．（4分）将100个数据分成①～⑧组，如下表所示：

组号	①	②	③	④	⑤	⑥	⑦	⑧
频数	4	8	12		24	18	7	3

那么第④组的频率为（　　）

A．24 B．26 C．0.24 D．0.26

10．（4分）无论m取任何实数，直线y＝x+m与y＝﹣x+4的交点不可能在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

二.填空题（共8小题，每小题4分，共32分）

11．（4分）函数y＝ 中自变量x的取值范围是　 　．

12．（4分）正多边形的一个内角等于144°，则该多边形是正　 　边形．

13．（4分）已知菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的周长是　 　，面积是　 　．

14．（4分）把容量是64的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是5，7，11，13，第5组到第7组的频率是0.125，那么第8组的频数是　 　．

15．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则△AEF的周长＝　 　cm．

16．（4分）一次函数y＝﹣2x+m的图象经过点P（﹣2，3），且与x轴、y轴分别交于点A、B，则△AOB的面积等于　 　．

17．（4分）如图，D是△ABC中BC边中点，∠EDF＝60°，CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，若EF＝4，则BC＝　 　．

18．（4分）如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C＝90°，AC＝4，BC＝3现小林将纸片做三次折叠：第一次使点A落在C处；将纸片展平做第二次折叠，使点B落在C处；再将纸片展平做第三次折叠，使点A落在B处这三次折叠的折痕长依次记为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（从大到小）　 　．

三、解答题（共8小题，共78分）

19．（8分）计算：

（1） ．

（2） ．

20．（8分）有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多什么米？

21．（8分）如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．

求证：四边形EFGH是平行四边形．

22．（10分）邵阳县某校为了了解学生对语文（A）、数学（B）、英语（C）、物理（D）四科的喜爱程度（每人只选一科），特对八年级某班进行了调查，并绘制成如下频数和频率统计表和扇形统计图：

	频数	频率
A	a	0.5
B	12	b
C	6	c
D	d	0.2

（1）求出这次调查的总人数；

（2）求出表中a、b、c、d的值；

（3）若该校八年级有学生1000人，请你算出喜爱英语的人数，并发表你的看法．

23．（10分）如图，△ABC在直角坐标系中，

（1）若把△ABC向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到△A₁B₁C₁，写出A₁、B₁、C₁的坐标

（2）求出三角形ABC的面积．

24．（10分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．

（1）求证：OP＝OQ；

（2）若AD＝8厘米，AB＝6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．

25．（12分）已知O为原点，点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y＝12，设△OPA的面积为S．

（1）求S关于x的函数解析式；

（2）求x的取值范围；

（3）当S＝12时，求P点坐标；

（4）画出函数S的图象，

26．（12分）如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F

（1）求证：EO＝FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．

（3）在第（2）问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，请直接写出凹四边形ABCE的面积为　 　．

2018-2019学年湖南省怀化市洪江市八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

D、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2．（4分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，则∠B为（　　）

A．15° B．30° C．50° D．60°

【分析】根据直角三角形的两个锐角互余的性质解答．

【解答】解：如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，则x+2x＝90°．

x＝30°．

所以2x＝60°，即∠B为60°．

故选：D．

【点评】考查了直角三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，由此借助于方程求得答案．

3．（4分）将点A（4，2）向左平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是（　　）

A．（6，2） B．（4，0） C．（2，2） D．（4，4）

【分析】让点A的横坐标减2，纵坐标不变，可得A′的坐标．

【解答】解：将点A（4，2）向左平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是（4﹣2，2），即（2，2），

故选：C．

【点评】考查坐标的平移变化；用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐标，左减右加．

4．（4分）下列各式中，不是二次根式的是（　　）

A． B． C．﹣ D．

【分析】根据二次根式的定义即可求出答案．

【解答】解：由于3﹣π＜0，

∴ 不是二次根式，

故选：A．

【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的定义，本题属于基础题型．

5．（4分）在Rt△ABC中，a＝3，b＝5，则c的长为（　　）

A．2 B． C．4 D．4或

【分析】分b是斜边、b是直角边两种情况，根据勾股定理计算即可．

【解答】解：当b是斜边时，c＝ ＝4，

当b是直角边时，c＝ ＝ ，

则c＝4或 ，

故选：D．

【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a²+b²＝c²．

6．（4分）下列说法错误的是（　　）

A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．对角线相等的菱形是正方形

D．对角线相等的平行四边形是矩形

【分析】根据正方形，平行四边形，矩形，菱形的判定定理判断即可．

【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故正确；

B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误；

C、对角线相等的菱形是正方形，故正确；

D、对角线相等的平行四边形是矩形，故正确；

故选：B．

【点评】本题考查了正方形，平行四边形，矩形，菱形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键．

7．（4分）下面哪个点在函数y＝ x+1的图象上（　　）

A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，0） D．（﹣2，0）

【分析】分别把下列各个点代入解析式根据等式左右是否相等来判断点是否在函数图象上．

【解答】解：（1）当x＝2时，y＝2，（2，1）不在函数y＝ x+1的图象上，（2，0）不在函数y＝ x+1的图象上；

（2）当x＝﹣2时，y＝0，（﹣2，1）不在函数y＝ x+1的图象上，（﹣2，0）在函数y＝ x+1的图象上．

故选：D．

【点评】本题考查的知识点是；在这条直线上的点的坐标一定适合这条直线的解析式．

8．（4分）若等腰三角形的周长为60cm，底边长为x cm，一腰长为y cm，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是（　　）

A．y＝60﹣2x（0＜x＜60） B．y＝60﹣2x（0＜x＜30）

C．y＝ （60﹣x）（0＜x＜60） D．y＝ （60﹣x）（0＜x＜30）

【分析】根据底边长+两腰长＝周长，建立等量关系，变形即可，再根据三角形两边之和大于第三边及周长的限制，确定自变量的取值范围．

【解答】解：依题意得x+2y＝60，

即y＝ （60﹣x）（0＜x＜30）．

故选：D．

【点评】本题考查了函数关系式、等腰三角形三边关系的性质、三角形三边关系定理，得出y与x的函数关系式是解题关键．

9．（4分）将100个数据分成①～⑧组，如下表所示：

组号	①	②	③	④	⑤	⑥	⑦	⑧
频数	4	8	12		24	18	7	3

那么第④组的频率为（　　）

A．24 B．26 C．0.24 D．0.26

【分析】先根据数据总数和表格中的数据，可以计算得到第④组的频数；再根据频率＝频数÷数据总数进行计算．

【解答】解：根据表格中的数据，得

第④组的频数为100﹣（4+8+12+24+18+7+3）＝24，

其频率为24：100＝0.24．

故选：C．

【点评】本题考查频数、频率的计算方法．用到的知识点：各组的频数之和等于数据总数；频率＝频数：数据总数．

10．（4分）无论m取任何实数，直线y＝x+m与y＝﹣x+4的交点不可能在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】判断出完整的直线可能经过的象限，即可求得它们的交点不可能在的象限．

【解答】解：因为y＝﹣x+4的图象经过一、二、四，所以直线y＝x+m与y＝﹣x+4的交点不可能在第三象限，

故选：C．

【点评】考查两条直线的相交问题；判断出完整的直线经过的象限即可得到交点不在的象限．

二.填空题（共8小题，每小题4分，共32分）

11．（4分）函数y＝ 中自变量x的取值范围是　x≥0且x≠2　．

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

【解答】解：由题意得，x≥0且x﹣2≠0，

解得x≥0且x≠2．

故答案为：x≥0且x≠2．

【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

12．（4分）正多边形的一个内角等于144°，则该多边形是正　十　边形．

【分析】根据正多边形的每个内角相等，可得正多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式，可得答案．

【解答】解：设正多边形是n边形，由题意得

（n﹣2）×180°＝144°n．

解得n＝10，

故答案为：十．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用了正多边形的内角相等，多边形的内角和公式．

13．（4分）已知菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的周长是　20　，面积是　24　．

【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长，由菱形面积公式即可求得面积．

【解答】解：根据题意，设对角线AC、BD相交于O，

则由菱形对角线性质知，AO＝ AC＝3，BO＝ BD＝4，且AO⊥BO，

∴AB＝5，

∴周长L＝4AB＝20，

∵菱形对角线相互垂直，

∴菱形面积是S＝ AC×BD＝24．

故答案为20，24．

【点评】本题考查菱形性质，要熟练掌握．

14．（4分）把容量是64的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是5，7，11，13，第5组到第7组的频率是0.125，那么第8组的频数是　4　．

【分析】求出第5组到第7组的频数，利用总数减去第1组到底7组的频数，即可求得．

【解答】解：第5组到第7组的频率是0.125，且容量是64，那么第5组到第7组的频数是64×0.125＝8，

那么第8组的频数是64﹣（5+7+11+13+8×3）＝4．

故答案为：4．

【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．

15．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则△AEF的周长＝　9　cm．

【分析】先求出矩形的对角线AC，根据中位线定理可得出EF，继而可得出△AEF的周长．

【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝ ＝10cm，

∵点E、F分别是AO、AD的中点，

∴EF是△AOD的中位线，EF＝ OD＝ BD＝ AC＝ cm，AF＝ AD＝ BC＝4cm，AE＝ AO＝ AC＝ cm，

∴△AEF的周长＝AE+AF+EF＝9cm．

故答案为：9．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理及矩形的性质，解答本题需要我们熟练掌握三角形中位线的判定与性质．

16．（4分）一次函数y＝﹣2x+m的图象经过点P（﹣2，3），且与x轴、y轴分别交于点A、B，则△AOB的面积等于　 　．

【分析】首先根据待定系数法求得一次函数的解析式，然后计算出与x轴交点，与y轴交点的坐标，再利用三角形的面积公式计算出面积即可．

【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+m的图象经过点P（﹣2，3），

∴3＝4+m，

解得m＝﹣1，

∴y＝﹣2x﹣1，

∵当x＝0时，y＝﹣1，

∴与y轴交点B（0，﹣1），

∵当y＝0时，x＝﹣ ，

∴与x轴交点A（﹣ ，0），

∴△AOB的面积： ×1× ＝ ．

故答案为：

【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握与x轴相交时y＝0，与y轴相交时，x＝0．

17．（4分）如图，D是△ABC中BC边中点，∠EDF＝60°，CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，若EF＝4，则BC＝　8　．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出ED＝ BC，FD＝ BC，那么ED＝FD，又∠EDF＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判定△EDF是等边三角形，从而得出ED＝FD＝EF＝4，进而求出BC．

【解答】解：∵D是△ABC中BC边中点，CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，

∴ED＝ BC，FD＝ BC，

∴ED＝FD，

又∠EDF＝60°，

∴△EDF是等边三角形，

∴ED＝FD＝EF＝4，

∴BC＝2ED＝8．

故答案为8．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等边三角形的判定与性质，判定△EDF是等边三角形是解题的关键．

18．（4分）如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C＝90°，AC＝4，BC＝3现小林将纸片做三次折叠：第一次使点A落在C处；将纸片展平做第二次折叠，使点B落在C处；再将纸片展平做第三次折叠，使点A落在B处这三次折叠的折痕长依次记为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（从大到小）　b＞c＞a　．

【分析】由图1，根据折叠得：DE是线段AC的垂直平分线，由中位线定理的推论可知：DE是△ABC的中位线，得出DE的长，即a的长；

由图2，同理可得：MN是△ABC的中位线，得出MN的长，即b的长；

由图3，根据折叠得：GH是线段AB的垂直平分线，得出AG的长，再利用两角对应相等证△ACB∽△AGH，利用比例式可求GH的长，即c的长．

【解答】解：第一次折叠如图1，折痕为DE，

由折叠得：AE＝EC＝ AC＝ ×4＝2，DE⊥AC

∵∠ACB＝90°

∴DE∥BC

∴a＝DE＝ BC＝ ×3＝

第二次折叠如图2，折痕为MN，

由折叠得：BN＝NC＝ BC＝ ×3＝ ，MN⊥BC

∵∠ACB＝90°

∴MN∥AC

∴b＝MN＝ AC＝ ×4＝2

第三次折叠如图3，折痕为GH，

由勾股定理得：AB＝ ＝5

由折叠得：AG＝BG＝ AB＝ ，GH⊥AB

∴∠AGH＝90°

∵∠A＝∠A，∠AGH＝∠ACB

∴△ACB∽△AGH

∴

∴

∴GH＝ ，即c＝

∵2＞ ＞

∴b＞c＞a

故答案为：b＞c＞a

【点评】本题考查了折叠的问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．本题的关键是明确折痕是所折线段的垂直平分线，准确找出中位线，利用经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边这一性质得出对应折痕的长，没有中位线的可以考虑用三角形相似来解决．

三、解答题（共8小题，共78分）

19．（8分）计算：

（1） ．

（2） ．

【分析】（1）首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．

（2）应用乘法分配律，求出算式的值是多少即可．

【解答】解：（1）

＝2﹣1+2+ ﹣1

＝2+

（2）

＝ × ﹣3 ×

＝10﹣3×5

＝10﹣15

＝﹣5

【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

20．（8分）有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多什么米？

【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．

【解答】解：如图，设大树高为AB＝10m，

小树高为CD＝4m，

过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，

∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，

在Rt△AEC中，AC＝ ＝ ＝10m，

故小鸟至少飞行10m．

【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

21．（8分）如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．

求证：四边形EFGH是平行四边形．

【分析】连接BD，再利用三角形中位线定理可得FG∥BD，FG＝ BD，EH∥BD，EH＝ BD．进而得到FG∥EH，且FG＝EH，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出结论．

【解答】证明：如图，连接BD．

∵F，G分别是BC，CD的中点，

所以FG∥BD，FG＝ BD．

∵E，H分别是AB，DA的中点．

∴EH∥BD，EH＝ BD．

∴FG∥EH，且FG＝EH．

∴四边形EFGH是平行四边形．

【点评】此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

22．（10分）邵阳县某校为了了解学生对语文（A）、数学（B）、英语（C）、物理（D）四科的喜爱程度（每人只选一科），特对八年级某班进行了调查，并绘制成如下频数和频率统计表和扇形统计图：

	频数	频率
A	a	0.5
B	12	b
C	6	c
D	d	0.2

（1）求出这次调查的总人数；

（2）求出表中a、b、c、d的值；

（3）若该校八年级有学生1000人，请你算出喜爱英语的人数，并发表你的看法．

【分析】（1）用C科目人数除以其所占比例；

（2）根据频数＝频率×总人数求解可得；

（3）总人数乘以样本中C科目人数所占比例，根据图表得出正确的信息即可．

【解答】解：（1）这次调查的总人数为6÷（36÷360）＝60（人）；

（2）a＝60×0.5＝30（人）；b＝12÷60＝0.2；c＝6÷60＝0.1；d＝0.2×60＝12（人）；

（3）喜爱英语的人数为1000×0.1＝100（人），

由扇形统计图知喜爱语文的人数占总人数的一半，是四个学科中人数最多的科目．

【点评】本题考查的是扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：总体数目＝部分数目÷相应百分比．

23．（10分）如图，△ABC在直角坐标系中，

（1）若把△ABC向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到△A₁B₁C₁，写出A₁、B₁、C₁的坐标

（2）求出三角形ABC的面积．

【分析】（1）根据平移的性质，结合已知点A，B，C的坐标，即可写出A₁、B₁、C₁的坐标，

（2）根据点的坐标的表示法即可写出各个顶点的坐标，根据S_△ABC＝S_{长方形ADEF}﹣S_△ABD﹣S_△EBC﹣S_△ACF，即可求得三角形的面积．

【解答】解：（1）

根据题意得：A₁、B₁、C₁的坐标分别是：

A₁（﹣3，0），B₁（2，3），C₁（﹣1，4）；

（2）S_△ABC＝S_{长方形ADEF}﹣S_△ABD﹣S_△EBC﹣S_△ACF

＝4×5﹣ ×3×5﹣ ×3×1﹣ ×2×4

＝20﹣ ﹣ ﹣4

＝7．

【点评】本题考查了点的坐标的表示，以及图形的面积的计算，不规则图形的面积等于规则图形的面积的和或差．

24．（10分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．

（1）求证：OP＝OQ；

（2）若AD＝8厘米，AB＝6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．

【分析】（1）本题需先根据四边形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO＝∠QBO，再根据O为BD的中点得出△POD≌△QOB，即可证出OP＝OQ．

（2）本题需先根据已知条件得出∠A的度数，再根据AD＝8厘米，AB＝6厘米，得出BD和OD的长，再根据四边形PBQD是菱形时，即可求出t的值，判断出四边形PBQD是菱形．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠PDO＝∠QBO，

又∵O为BD的中点，

∴OB＝OD，

在△POD与△QOB中，

∵

∴△POD≌△QOB（ASA），

∴OP＝OQ；

（2）解：PD＝8﹣t，

∵四边形PBQD是菱形，

∴PD＝BP＝8﹣t，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，

在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB²+AP²＝BP²，

即6²+t²＝（8﹣t）²，

解得：t＝ ，

即运动时间为 秒时，四边形PBQD是菱形．

【点评】本题主要考查了矩形的性质，在解题时要注意与全等三角形、矩形的知识点结合起来是解本题的关键．

25．（12分）已知O为原点，点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y＝12，设△OPA的面积为S．

（1）求S关于x的函数解析式；

（2）求x的取值范围；

（3）当S＝12时，求P点坐标；

（4）画出函数S的图象，

【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得出结论；

（2）根据（1）中函数关系式及点P在第一象限即可得出结论；

（3）把S＝12代入（1）中函数关系即可得出x的值，进而得出y的值；

（4）利用描点法画出函数图象即可．

【解答】解：（1）∵A和P点的坐标分别是（8，0）、（x，y），

∴S＝0.5×8×y＝4y．

∵x+y＝12，

∴y＝12﹣x．

∴S＝4（12﹣x）＝48﹣4x，

∴所求的函数关系式为：S＝﹣4x+48；

（2）由（1）得S＝﹣4x+48＞0，

解得：x＜12；

又∵点P在第一象限，

∴x＞0，

综上可得x的范围为：0＜x＜12；

（3）∵S＝12，

∴﹣4x+48＝12，

解得x＝9．

∵x+y＝12，

∴y＝12﹣9＝3，

即P（9，3）；

（4）∵解析式为S＝﹣4x+48，

∴函数图象经过点（8，0）（0，48）（但不包括这两点的线段）．

所画图象如图

【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．

26．（12分）如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F

（1）求证：EO＝FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．

（3）在第（2）问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，请直接写出凹四边形ABCE的面积为　24　．

【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OEC＝∠OCE，证出EO＝CO，同理得出FO＝CO，即可得出EO＝FO；

（2）由对角线互相平分证明四边形CEAF是平行四边形，再由对角线相等即可得出结论；

（3）先根据勾股定理求出AC，得出△ACE的面积＝ AE×EC，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，得出△ABC的面积＝ AB•AC，凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积，即可得出结果．

【解答】（1）证明：∵EF∥BC，

∴∠OEC＝∠BCE，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE＝∠OCE，

∴∠OEC＝∠OCE，

∴EO＝CO，

同理：FO＝CO，

∴EO＝FO；

（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如下：

由（1）得：EO＝FO，

又∵O是AC的中点，

∴AO＝CO，

∴四边形CEAF是平行四边形，

∵EO＝FO＝CO，

∴EO＝FO＝AO＝CO，

∴EF＝AC，

∴四边形CEAF是矩形；

（3）解：由（2）得：四边形CEAF是矩形，

∴∠AEC＝90°，

∴AC＝ ＝ ＝5，

△ACE的面积＝ AE×EC＝ ×3×4＝6，

∵12²+5²＝13²，

即AB²+AC²＝BC²，

∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，

∴△ABC的面积＝ AB•AC＝ ×12×5＝30，

∴凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积＝30﹣6＝24；

故答案为：24．

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线、等腰三角形的判定、勾股定理以及面积的计算；熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．

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日期：2019/10/8 17:40:54；用户：15527082918；邮箱：15527082918；学号：27022530