19.2特殊的平行四边形课时练
课时一矩形
1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A.对边相等 B.对角相等 C.对角互补 D.对角线平分
2.直角三角形中,两直角边长分别为12和5,则斜边中线长是( )
A.26 B.13 C.8.5 D.6.5
3
.矩形ABCD对角线AC、BD交于点O,AB=5
则△ABO的周长为等于
.
4. 如图所示,四边形ABCD为矩形纸片.把纸片ABCD折叠,
使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF.若CD=6,
则AF等于 ( )
A
.
B.
C.
D.8
5.
如图所示,矩形
的对角线
和
相交于点
,
过点
的直线分别交
和
于点E、F,
,
则图中阴影部分的面积为 .
6.已知矩形的周长为40
,被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长
的差为8
,则较大的边长为
.
7.
如图,矩形ABCD中,AC与BD交于O点,
于E,
于F。
求证BE=CF。
8
.
如图所示,E为□ABCD外,AE⊥CE,BE⊥DE,
求证:□ABCD为矩形
9.已知矩形ABCD和点P,当点P在图1中的位置时,则有结论:S△PBC=S△PAC+S△PCD理由:过点P作EF垂直BC,分别交AD、BC于E、F两点.
图l
∵ S△PBC+S△PAD=BC·PF+AD·PE=BC(PF+PE)=BC·EF=S矩形ABCD
又∵ S△PAC+S△PCD+S△PAD=S矩形ABCD
∴ S△PBC+S△PAD= S△PAC+S△PCD+S△PAD.
∴ S△PBC=S△PAC+S△PCD.
请你参考上述信息,当点P分别在图2、图3中的位置时,S△PBC、S△PAC、SPCD又有怎样的数量关系?请写出你对上述两种情况的猜想,并选择其中一种情况的猜想给予证明.
图2 图3
1
0.
如图所示,△ABC中,点O是AC边上一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证:EO=FO
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.
第10题图
课时一答案:
1.C;2.D,提示:由勾股定理求得斜边为:
,斜边的中线长为
;3.18,提示:AB=5,BC=12,AC=13,
;4.
A,提示:DE=3,AB=AE=6,在直角三角形ADE中,∠DAE=30
,由折叠的性质得∠BAF=∠EAF=30,设BF=
,则AF=2
,
;5.3;6.14;
7证明:∵四边形ABCD为矩形,∴AC=BD,BO=CO,
∵
,
,∴∠BEO=∠CFO=90
,又∵∠BOE=∠COF
∴BE=CF
8
.连接AC、BD,AC与BD相交于点O,连接OE
在□ABCD中,AO=OC,BO=DO.
在
中,OE=
,
在
中,OE=
,∴BD=AC,
∴□ABCD为矩形.
9. 猜想结果:图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD; 图3结论S△PBC=S△PAC-S△PCD
证明:如图2,过点P作EF垂直AD,分别交AD、BC于E、F两点.
∵ S△PBC=BC·PF=BC·PE+BC·EF
=AD·PE+BC·EF=S△PAD+S矩形ABCD
S△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+S矩形ABCD
∴ S△PBC=S△PAC+S△PCD
10. (1)证明:∵MN∥BC,∴∠BCE=∠CEO又∵∠BCE=∠ECO
∴∠OEC=∠OCE,∴OE=OC,同理OC=OF,∴OE=OF
(2)当O为AC中点时,AECF为矩形,∵EO=OF(已证),OA=OC
∴AECF为平行四边形,又∵CE、CF为△ABC内外角的平分线
∴∠EOF=90°,∴四边形AECF为矩形
课
时二菱形
1. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E为BC的
中点,则下列式子中一定成立的是( )
A
.AC=2OE
B.BC=2OE
C.AD=OE D.OB=OE
2
.
如图,在菱形ABCD中,不一定成立的( )
A.四边形ABCD是平行四边形
B.AC⊥BD
C.△ABD是等边三角形
D.∠CAB=∠CAD
3.
如图,如果要使
成为一个菱形,
需要添加一个条件,那么你添加的条件是 .
4. 菱形的两条对角线长分别是6和8,则菱形的边长为 。
5.□ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①AC⊥BD;②AB=BC;③AC平分∠BAD;④AO=DO,使得□ABCD是菱形的条件有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.菱形的周长为20
,一条对角线长为8
,则菱形的面积为
.
7.
在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,从(1)AB=CD;(2)AB∥CD;(3)OA=OC;(4)OB=OD;(5)AC⊥BD;(6)AC平分∠BAD这六个条件中,选取三个推出四边形ABCD是菱形。如(1)(2)(5)
ABCD是菱形,再写出符合要求的两个:________
ABCD是菱形;________
ABCD是菱形。
8
.
如图所示,AD是△ABC的角平分线.DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.四边形AEDF是菱形吗?说明你的理由.
9..□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F,四边形AFCE是否是菱形?为什么?
10.. 已知:如图,在□ABCD 中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,AG∥DB交CB的延长线于G.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若四边形 BEDF是菱形,则四边形AGBD是什么特殊四边形?并证明你的结论.
课时二答案:
1.
B;2. C;
3.答案不唯一:
等;4.5;5.C;6.24,提示:由已知得菱形一边长为5
,由菱形的对角线互相平分且垂直,所以另一条对角线的长为
,∴S菱=
;7.①②⑥或③④⑤或③④⑥;
8.四边形AEDF是菱形,∵DE∥AC,∴∠ADE=∠DAF,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠DAE=∠DAF,∴∠ADE=∠DAE,∴AE=ED.
又∵DE∥AC,DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形,∴平行四边形AEDF是菱形.
9. □AFCE是菱形,△AOE≌△COF,四边形AFCE是平行四边形,EF⊥AC
10.. 解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠1=∠C,AD=CB,AB=CD .
∵点E
、F分别是AB、CD的中点,∴AE=
AB
,CF=
CD
.
∴AE=CF .∴△ADE≌△CBF .
(2)当四边形BEDF是菱形时,四边形 AGBD是矩形.
∵AG∥BD ,∴四边形 AGBD 是平行四边形.
∵四边形 BEDF 是菱形,
∴DE=BE .∵AE=BE ,
∴AE=BE=DE .
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∴2∠2+2∠3=180°.
∴∠2+∠3=90°.
即∠ADB=90°.
∴四边形AGBD是矩形.
课时三正方形
1. 四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,能判别这个四边形是正方形的条件是( )
A.OA=OB=OC=OD,AC⊥BD B.AB∥CD,AC=BD
C.AD∥BC,∠A=∠C D.OA=OC,OB=OD,AB=BC
2. 在正方形ABCD中,AB=12 cm,对角线AC、BD相交于O,则△ABO的周长是( )
A.12+12
B.12+6
C.12+
D.24+6
3. 已知四边形ABCD是菱形,当满足条件_________时,它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可).
4. 下列命题中的假命题是( ).
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.一组邻边相等的矩形是正方形
c 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
5. 正方形的一条边长是3,那么它的对角线长是_______.
6. 如图,依次连结一个边长为1的正方形各边的中点,得到第二个正方形,再依次连结第二个正方形各边的中点,得到第三个正方形,按此方法继续下去, 则第六个正方形的面积是 .
7
.
如图,四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,AC为正方形ABCD的对角线,则∠EAC=___度.
8. 已知如下图,正方形ABCD中,E是CD边上的一点,
F为BC延长线上一点,CE=CF.
(1)求证:△BEC≌△DFC;
(2)若∠BEC=60°,求∠EFD的度数.
9
如图所示,.四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG.
(1)求证:AE=CG;
(2)观察图形,猜想AE与CG之间的位置关系,
并证明你的猜想.
1
0.
把正方形
绕着点
,按顺时针方向旋转得到正方形
,边
与
交于点
(如图).试问线段
与线段
相等吗?
请先观察猜想,然后再证明你的猜想.
11.如图,点E在正方形ABCD的边CD上运动,AC与BE交于点F.
(1)如图1,当点E运动到DC的中点时,求△ABF与四边形ADEF的面积之比;
(2)如图2,当点E运动到CE:ED=2:1时,求△ABF与四边形ADEF的面积之比.
(3)当点E运动到CE:ED=3:1时,写出△ABF与四边形ADEF的面积之比;当点E运动到CE:ED=n:1(n是正整数)时,猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比(只写结果,不要求写出计算过程);
(4)请你利用上述图形,提出一个类似的问题(根据提出的问题给附加分,最多4分,计入总分,但总分不超过120分).
课时三答案:
1.A;2.A;
3.∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°中的任一条件即可;4.
D;5. 3
;
6.
;7.105;
8.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCD=90°
在Rt△BCE和Rt△DCF中,BC=DC,CE=CF,∴Rt△BCE≌Rt△DCF
(2)∵CE=CF,∴∠CEF=∠CFE,∴∠CFE=
(180°-90°)=45°
∵Rt△BCE≌Rt△DCF,∴∠CFD=∠BEC=60°
∴∠EFD=∠DFC-∠EFC=15°
9. (1) 证明: 如图,∵ AD=CD,DE=DG,∠ADC=∠GDE=90o,
又
∠CDG=90o +∠ADG=∠ADE,
∴ △ADE≌△CDG. ∴ AE=CG.
(2)猜想: AE⊥CG.
证明: 如图,
设AE与CG交点为M,AD与CG交点为N.
∵ △ADE≌△CDG, ∴ ∠DAE=∠DCG.
又∵ ∠ANM=∠CND, ∴ △AMN∽△CDN.
∴ ∠AMN=∠ADC=90o.∴ AE⊥CG.
10.
解
:
.
证法1:连结
,
四边形
,
都是正方形.
.
由题意知
,又
.
,
.
证法2:连结
.
四边形
都是正方形,
.
由题意知
.
.
.
.
11. 解:(1)如图1,连结DF.
因为点E为CD的中点,所以
.
据题意可证△FEC∽△FBA,所以
.
(2分)
因为S△DEF=S△CEF,S△=S. (2分)
所以
.
(2)如图2,连结DF.
与(1)同理可知,
=
,S△DEF=
S△CEF,
,
所以
=
.
(3)当CE:ED=3:1时,=
.
当CE:ED=n:1时,
=
(=
).
(4)提问举例:①当点E运动到CE:ED=5:1时,△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少?
②当点E运动到CE:ED=2:3时,△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少?
③当点E运动到CE:ED=m:n(m,n是正整数)时,△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少?