19.2特殊的平行四边形课时练
课时一矩形
1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对边相等 B.对角相等 C.对角互补 D.对角线平分
2.直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是（ ）
A.26 B.13 C.8.5 D.6.5
3
.矩形ABCD对角线AC、BD交于点O，AB=5
则△ABO的周长为等于
.
4. 如图所示，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，
使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，
则AF等于 （ ）
A
.
B.
C.
D.８
5.
如图所示，矩形
的对角线
和
相交于点
，
过点
的直线分别交
和
于点E、F，
，
则图中阴影部分的面积为 ．
6.已知矩形的周长为40
，被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长
的差为8
，则较大的边长为
.
7.
如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，
于E，
于F。
求证BE=CF。
8
.
如图所示，E为□ABCD外，AE⊥CE,BE⊥DE，
求证：□ABCD为矩形
9.已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点．
图l
∵ S△PBC+S△PAD=BC·PF+AD·PE=BC（PF+PE）=BC·EF=S矩形ABCD
又∵ S△PAC+S△PCD+S△PAD=S矩形ABCD
∴ S△PBC+S△PAD= S△PAC+S△PCD+S△PAD．
∴ S△PBC=S△PAC+S△PCD．
请你参考上述信息，当点P分别在图2、图3中的位置时，S△PBC、S△PAC、SPCD又有怎样的数量关系?请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．
图2 图3
1
0.
如图所示，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：EO=FO
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.
第10题图
课时一答案：
1.C；2.D，提示：由勾股定理求得斜边为：
，斜边的中线长为
；3.18，提示：AB=5,BC=12,AC=13,
；4.
A，提示：DE=3,AB=AE=6,在直角三角形ADE中，∠DAE=30
，由折叠的性质得∠BAF=∠EAF=30,设BF=
，则AF=2
，
；5.3；6.14；
7证明：∵四边形ABCD为矩形,∴AC=BD,BO=CO,
∵
,
,∴∠BEO=∠CFO=90
,又∵∠BOE=∠COF
∴BE=CF
8
.连接AC、BD，AC与BD相交于点O，连接OE
在□ABCD中，AO=OC,BO=DO.
在
中，OE=
,
在
中，OE=
,∴BD=AC,
∴□ABCD为矩形.
9. 猜想结果：图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD； 图3结论S△PBC=S△PAC-S△PCD
证明：如图2，过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点．
∵ S△PBC=BC·PF=BC·PE+BC·EF
=AD·PE+BC·EF=S△PAD+S矩形ABCD
S△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+S矩形ABCD
∴ S△PBC=S△PAC+S△PCD
10. (1)证明：∵MN∥BC，∴∠BCE=∠CEO又∵∠BCE=∠ECO
∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC,同理OC=OF，∴OE=OF
(2)当O为AC中点时，AECF为矩形，∵EO=OF(已证)，OA=OC
∴AECF为平行四边形，又∵CE、CF为△ABC内外角的平分线
∴∠EOF=90°，∴四边形AECF为矩形
课
时二菱形
1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BC的
中点，则下列式子中一定成立的是（ ）
A
．AC=2OE
B．BC=2OE
C．AD=OE D．OB=OE
2
.
如图，在菱形ABCD中，不一定成立的（ ）
A.四边形ABCD是平行四边形
B.AC⊥BD
C.△ABD是等边三角形
D.∠CAB＝∠CAD
3.
如图，如果要使
成为一个菱形，
需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．
4. 菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为 。
5.□ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①AC⊥BD；②AB=BC;③AC平分∠BAD；④AO=DO，使得□ABCD是菱形的条件有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.菱形的周长为20
，一条对角线长为8
，则菱形的面积为
.
7.
在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从(1)AB=CD；(2)AB∥CD；(3)OA=OC；(4)OB=OD；(5)AC⊥BD；(6)AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形。如(1)(2)(5)
ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：________
ABCD是菱形；________
ABCD是菱形。
8
.
如图所示，AD是△ABC的角平分线.DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由.
9..□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE是否是菱形？为什么？
10.. 已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
课时二答案：
1.
B；2. C;
3.答案不唯一：
等；4.5；5.C；6.24，提示：由已知得菱形一边长为5
，由菱形的对角线互相平分且垂直，所以另一条对角线的长为
，∴S菱=
；7.①②⑥或③④⑤或③④⑥；
8.四边形AEDF是菱形，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE＝∠DAF，∴∠ADE=∠DAE，∴AE=ED.
又∵DE∥AC，DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形，∴平行四边形AEDF是菱形.
9. □AFCE是菱形，△AOE≌△COF，四边形AFCE是平行四边形，EF⊥AC
10.. 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．
∵点E
、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝
AB
，CF＝
CD
．
∴AE＝CF ．∴△ADE≌△CBF ．
（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形 AGBD是矩形．
∵
四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC
．
∵AG∥BD ，∴四边形 AGBD 是平行四边形．
∵四边形 BEDF 是菱形，
∴DE＝BE ．∵AE＝BE ，
∴AE＝BE＝DE ．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．
∴∠2＋∠3＝90°．
即∠ADB＝90°．
∴四边形AGBD是矩形．
课时三正方形
1. 四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）
A.OA=OB=OC=OD，AC⊥BD B.AB∥CD，AC=BD
C.AD∥BC，∠A=∠C D.OA=OC，OB=OD，AB=BC
2. 在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（ ）
A.12+12
B.12+6
C.12+
D.24+6
3. 已知四边形ABCD是菱形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可).
4. 下列命题中的假命题是( )．
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．一组邻边相等的矩形是正方形
c 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
5. 正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______.
6. 如图，依次连结一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去， 则第六个正方形的面积是 ．
7
.
如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，AC为正方形ABCD的对角线，则∠EAC＝___度．
8. 已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，
F为BC延长线上一点，CE=CF.
(1)求证：△BEC≌△DFC；
(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.
9
如图所示，.四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．
（1）求证：AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，
并证明你的猜想．
1
0.
把正方形
绕着点
，按顺时针方向旋转得到正方形
，边
与
交于点
（如图）．试问线段
与线段
相等吗？
请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
11.如图，点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC与BE交于点F．
（1）如图1，当点E运动到DC的中点时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；
（2）如图2，当点E运动到CE：ED=2：1时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比．
（3）当点E运动到CE：ED=3：1时，写出△ABF与四边形ADEF的面积之比；当点E运动到CE：ED=n：1（n是正整数）时，猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比（只写结果，不要求写出计算过程）；
（4）请你利用上述图形，提出一个类似的问题（根据提出的问题给附加分，最多4分，计入总分，但总分不超过120分）．
课时三答案：
1.A；2.A;
3.∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°中的任一条件即可;4.
D；5. 3
；
6.
;7.105;
8.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC，∠BCD=90°
在Rt△BCE和Rt△DCF中，BC=DC，CE=CF,∴Rt△BCE≌Rt△DCF
(2)∵CE=CF，∴∠CEF=∠CFE,∴∠CFE=
(180°－90°)=45°
∵Rt△BCE≌Rt△DCF,∴∠CFD=∠BEC=60°
∴∠EFD=∠DFC－∠EFC=15°
9. (1) 证明： 如图，∵ AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90o，
又
∠CDG=90o +∠ADG=∠ADE，
∴ △ADE≌△CDG． ∴ AE=CG．
（2）猜想： AE⊥CG．
证明： 如图，
设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N．
∵ △ADE≌△CDG， ∴ ∠DAE=∠DCG．
又∵ ∠ANM=∠CND， ∴ △AMN∽△CDN．
∴ ∠AMN=∠ADC=90o．∴ AE⊥CG．
10.
解
：
．
证法1：连结
，
四边形
，
都是正方形．
．
由题意知
，又
．
，
．
证法2：连结
．
四边形
都是正方形，
．
由题意知
．
．
．
．
11. 解：（1）如图1，连结DF．
因为点E为CD的中点，所以
．
据题意可证△FEC∽△FBA，所以
．
（2分）
因为S△DEF=S△CEF，S△=S． （2分）
所以
．
（2）如图2，连结DF．
与（1）同理可知，
=
，S△DEF=
S△CEF，
，
所以
=
．
（3）当CE：ED=3：1时，=
．
当CE：ED=n：1时，
=
（=
）．
（4）提问举例：①当点E运动到CE：ED=5：1时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少？
②当点E运动到CE：ED=2：3时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少？
③当点E运动到CE：ED=m：n（m，n是正整数）时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少？