18.2.2 菱形
第2课时 菱形的判定
一、选择题（共10小题）
1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2
，0），C（0，﹣2），D（2
，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（ ）
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、梯形
2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ）
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、等腰梯形
3、如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）
①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
A、①③ B、②③
C、③④ D、①②③
4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A、正方形 B、等腰梯形
C、菱形 D、矩形
5、（在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（ ）
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、梯形
6、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A、等腰梯形 B、正方形
C、矩形 D、菱形
7、汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A、正方形 B、等腰梯形
C、菱形 D、矩形
8、能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A、对角线相等且互相垂直 B、对角线相等且互相平分
C、对角线互相垂直 D、对角线互相垂直平分
9、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（ ）
A、平行四边形 B、矩形
C、菱形 D、正方形
二、填空题（共8小题）
11、（如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 _________ （只填一个你认为正确的即可）．
12、如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 _________ ．
13、（如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是 _________ ．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）
14、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）=＞ABCD是菱形，再写出符合要求的两个： _________ =＞ABCD是菱形； _________ =＞ABCD是菱形．
15、若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件 _________ （写一个即可），使四边形ABCD是菱形．
16、在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是 _________ ．（写四个条件的不给分，只填序号）
17、要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是 _________ 形，再说明 _________ （只需填写一种方法）
18、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，不添加任何字母和辅助线，要使四边形ABCD是菱形，则还需添加一个条件是 _________ （只需填写一个条件即可）．
三、解答题（共11小题）
19、（如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE， CE．
（1）求证：△ABE≌△ACE；
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．
20、如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
21、如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
22、已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．
23、如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．
24、如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连接AE、CD．
（1）求证：AD=CE；
（2）填空：四边形ADCE的形状是 _________ ．
25、如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB
（1）求证：四边形EFCD是菱形；
（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．
26、如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连接C′E．
求证：四边形CDC′E是菱形．
27、已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
28、如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP．
（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）
（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．
29、如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．
（1）求△ABC所扫过的图形的面积；
（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
（3）若∠BEC=15°，求AC的长．
答案与评分标准
一、选择题（共10小题）
1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2
，0），C（0，﹣2），D（2
，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（ ）
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、梯形
考点：坐标与图形性质；菱形的判定。
分析：画出草图，求得各边的长，再根据特殊四边形的判定方法判断．
解答：解：在平面直角坐标系中画出图后，可发现这个四边形的对角线互相平分，先判断为平行四边形，对角线还垂直，那么这样的平行四边形应是菱形．
故选B．
点评：动手画出各点后可很快得到四边形对角线的特点．
2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ）
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、等腰梯形
考点：等边三角形的性质；菱形的判定。
专题：操作型。
分析：由题可知，得到的四边形的四条边也相等，得到的图形是菱形．
解答：解：由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，
即是菱形．
故选B．
点评：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．
3、（如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）
①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
A、①③ B、②③
C、③④ D、①②③
考点：菱形的判定；平行四边形的性质。
专题：计算题。
分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
解答：解：根据菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形可知：①，③正确．
故选A．
点评：本题考查菱形的判定，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A、正方形 B、等腰梯形
C、菱形 D、矩形
考点：菱形的判定。
专题：应用题。
分析：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条彩带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
解答：解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选C．
点评：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．
5、在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（ ）
A、矩形 B、菱形
C、正方形 D、梯形
考点：菱形的判定；等边三角形的性质。
专题：操作型。
分析：用两个边长为a的等边三角形拼成的四边形，它的四条边长都为a，根据菱形的定义四边相等的四边形是菱形．
解答：解：根据题意得，拼成的四边形四边相等，
则是菱形．
故选B．
点评：此题主要考查了等边三角形的性质，菱形的定义．
6、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A、等腰梯形 B、正方形
C、矩形 D、菱形
考点：菱形的判定；等边三角形的性质。
分析：由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．
解答：解：由题意可得：得到的四边形的四条边相等，即是菱形．
故选D．
点评：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．
7、汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A、正方形 B、等腰梯形
C、菱形 D、矩形
考点：菱形的判定。
专题：应用题。
分析：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
解答：解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选C．
点评：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．
8、能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A、对角线相等且互相垂直 B、对角线相等且互相平分
C、对角线互相垂直 D、对角线互相垂直平分
考点：菱形的判定。
分析：根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可．
解答：解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有D能判定为是菱形，
故选D．
点评：本题考查菱形对角线互相垂直平分的判定．
9、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（ ）
A、平行四边形 B、矩形
C、菱形 D、正方形
考点：菱形的判定；非负数的性质：偶次方。
分析：本题可通过整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad得到（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，从而得出a=b=c=d，∴四边形一定是菱形．
解答：解：整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，
2（a2+b2+c2+d2）=2（ab+bc+cd+ad），）
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，
由非负数的性质可知：（a﹣b）=0，（b﹣c）=0，（c﹣d）=0，（a﹣d）=0，
∴a=b=c=d，
∴四边形一定是菱形，
故选C．
点评：此题主要考查了菱形的判定，关键是整理配方式子，还利用了非负数的性质．
二、填空题（共8小题）
11、四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD （只填一个你认为正确的即可）．
考点：菱形的判定。
专题：开放型。
分析：根据平行四边形的性质和菱形的性质，可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD．
解答：解：四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD为平行四边形，
再依据：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD（答案不唯一）
点评：本题考查平行四边形及菱形的判定．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
12、如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 AB=AD或AC⊥BD ．
考点：菱形的判定；平行四边形的性质。
专题：开放型。
分析：菱形的判定方法有三种：
①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
∴可添加：AB=AD或AC⊥BD．
解答：解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB=AD或AC⊥BD．
点评：本题考查菱形的判定，答案不唯一．
13、如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是 AC⊥EF或AF=CF等 ．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）
考点：菱形的判定；平行四边形的性质。
专题：开放型。
分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形，由平行四边形的性质知，对角线互相平分，又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，可得：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形．
解答：解：则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．
证明：∵AD∥BC，
∴∠FAD=∠AFB，
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠BAF=FAD，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
同理ED=CD，
∵AD=BC，AB=CD，
∴AE=CF，
又∵AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形，
∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，
则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．
点评：本题考查了菱形的判定，利用角的平分线的性质和平行四边形的性质求解，答案不唯一．
14、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）=＞ABCD是菱形，再写出符合要求的两个： （1）（2）（6） =＞ABCD是菱形； （3）（4）（5）@（3）（4）（6） =＞ABCD是菱形．
考点：菱形的判定。
专题：开放型。
分析：菱形的判定方法有三种：
①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
解答：解：（1）（2）（6）⇒ABCD是菱形．
先由（1）（2）得出四边形是平行四边形，
再由（6）和（2）得出∠DAC=∠DCA，
由等角对等边得AD=CD，
所以平行四边形是菱形．
（3）（4）（5）=＞ABCD是菱形．
由对角线互相平分且垂直的四边形是菱形．
（3）（4）（6）=＞ABCD是菱形．
由（3）（4）得出四边形是平行四边形，
再由（6）得出∠DAC=∠DCA，
由等角对等边得AD=CD，
所以平行四边形是菱形．
点评：本题考查菱形的判定．
15、若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件 AB=BC@AC⊥BD （写一个即可），使四边形ABCD是菱形．
考点：菱形的判定；平行四边形的性质。
专题：开放型。
分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．
解答：解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．可补充条件：AB=BC或AC⊥BD．
点评：主要考查了菱形的特性．菱形的特性：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角．
16、在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是 ①③④或②③④ ．（写四个条件的不给分，只填序号）
考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质。
分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．
解答：解：设AC与BD交于点E，由③AC⊥BD，④AC平分∠BAD可证得，Rt△AEB≌Rt△AED，
∴AB=AD，BE=DE，
再由∠BEC=∠DEC=90°，CE=CE，证得Rt△BCE≌Rt△DCE，
∴BC=CD，
再由①AB=CD，可根据四边相等的四边形是菱形而得证为菱形；
或者再由②AD∥BC，证得：Rt△AED≌Rt△BCE，
∴AE=EC，
由对角线互相垂直平分的四边形是菱形而得证为菱形．
故填写①③④或②③④．
点评：本题考查了菱形的判定，利用全等三角形的判定和性质来证明．
17、要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是 平行四边 形，再说明 有一组邻边相等 （只需填写一种方法）
考点：菱形的判定。
专题：开放型。
分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．所以，要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是平行四边形，再说明有一组邻边相等．
解答：解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以，要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是平行四边形，再说明有一组邻边相等．
点评：本题考查菱形的判定，答案不唯一．
18、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，不添加任何字母和辅助线，要使四边形ABCD是菱形，则还需添加一个条件是 AB=BC（答案不唯一） （只需填写一个条件即可）．
考点：菱形的判定；平行四边形的性质。
专题：开放型。
分析：菱形的判定方法有三种：
①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
所以可添加AB=BC．
解答：解：AB=BC或AC⊥BD等．
点评：本题考查了菱形的判定，答案不唯一．
三、解答题（共11小题）
19、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE， CE．
（1）求证：△ABE≌△ACE；
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．
考点：全等三角形的判定；菱形的判定。
专题：证明题。
分析：由题意可知三角形三线合一，结合SAS可得△ABE≌△ACE．四边形ABEC相邻两边AB=AC，只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件，当AE=2AD（或AD=DE或DE=
AE）时，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形．
解答：（1）证明：∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠BAE=∠CAE，
∵AE=AE
∴△ABE≌△ACE（SAS）．
（2）解：当AE=2AD（或AD=DE或DE=
AE）时，四边形ABEC是菱形
理由如下：
∵AE=2AD，∴AD=DE，
又∵点D为BC中点，
∴BD=CD，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∵AB=AC，
∴四边形ABEC为菱形．
点评：本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质和菱形的判定定理，比较容易．
20、如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定。
专题：证明题；探究型。
分析：（1）根据题中已知条件不难得出，AD=BC，∠A=∠C，E、F分别为边AB、CD的中点，那么AE=CF，这样就具备了全等三角形判定中的SAS，由此可得出△AED≌△CFB．
（2）直角三角形ADB中，DE是斜边上的中线，因此DE=BE，又由DE=BF，FD∥BE那么可得出四边形BFDE是个菱形．
解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE=CF．
在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB（SAS）；
（2）解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．
证明：∵AD⊥BD，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．
∵E是AB的中点，
∴DE=
AB=BE．
由题意可知EB∥DF且EB=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∴四边形BFDE是菱形．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质和菱形的判定等知识点．
21、如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质；菱形的判定。
专题：证明题。
分析：（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；
（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是▱，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AF=DF，从而可证▱AEDF实菱形．
解答：证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，
同理∠DAE=∠FDA，
∵AD=DA，
∴△ADE≌△DAF，
∴AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴∠DAF=∠FDA．
∴AF=DF．
∴平行四边形AEDF为菱形．
点评：考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况．
22、已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．
考点：菱形的判定。
专题：证明题。
分析：由题意易得DE=BE，再证四边形BCDE是平行四边形，即证四边形BCDE是菱形．
解答：证明：∵AD⊥BD，
∴△ABD是Rt△
∵E是AB的中点，
∴BE=
AB，DE=
AB
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴BE=DE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠EBD=∠CDB，
∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，
∵BD=BD，
∴△EBD≌△CBD （ASA ），
∴BE=BC，
∴CB=CD=BE=DE，
∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）
点评：此题主要考查菱形的判定，综合利用了直角三角形的性质和平行线的性质．
23、如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．
考点：菱形的判定；全等三角形的判定。
专题：证明题；探究型。
分析：（1）由SSS可证△ABC≌△DCB；
（2）BN=CN，可先证明四边形BMCN是平行四边形，由（1）知，∠MBC=∠MCB，可得BM=CM，于是就有四边形BMCN是菱形，则BN=CN．
解答：（1）证明：如图，在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，AC=DB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB；（4分）
（2）解：据已知有BN=CN．证明如下：
∵CN∥BD，BN∥AC，
∴四边形BMCN是平行四边形，（6分）
由（1）知，∠MBC=∠MCB，
∴BM=CM（等角对等边），
∴四边形BMCN是菱形，
∴BN=CN．（9分）
点评：此题主要考查全等三角形和菱形的判定．
24、如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连接AE、CD．
（1）求证：AD=CE；
（2）填空：四边形ADCE的形状是 ．
考点：菱形的判定；线段垂直平分线的性质。
专题：证明题。
分析：根据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的距离相等，∴AE=CE，AD=CD，OA=OC∠AOD=∠EOC=90°，
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，∴△ADO≌△CEO，∴AD=CE，OD=OE，
由一组对边平行且相等知，四边形ADCE是平行四边形，
∵OD=OE，OA=OC∠AOD=90°根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得．平行四边形ADCE是菱形．
解答：（1）证明：∵MN是AC的垂直平分线，（1分）
∴OA=OC∠AOD=∠EOC=90°．（3分）
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO．（4分）
∴△ADO≌△CEO．（5分）
∴AD=CE．（6分）
（2）解：四边形ADCE是菱形．（8分）
（填写平行四边形给1分）
点评：本题利用了：1、中垂线的性质，2、全等三角形的判定和性质，平行四边形和菱形的判定．
25、如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB
（1）求证：四边形EFCD是菱形；
（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．
考点：菱形的判定；等边三角形的性质；勾股定理。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，由△ABC与△CDE都是等边三角形，可得出角之间的等量关系，从而证明四边形EFCD是菱形；
（2）连接DF，与CE相交于点G，由（1）知DF就是菱形EFCD的一条对角线，根据菱形的性质及30°特殊角的值可计算出结果．
解答：（1）证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴ED=CD．
∴∠A=∠DCE=∠BCA=∠DEC=60°．（1分）
∴AB∥CD，DE∥CF．（2分）
又∵EF∥AB，
∴EF∥CD，（3分）
∴四边形EFCD是菱形．（4分）
（2）解：连接DF，与CE相交于点G，（5分）
由CD=4，可知CG=2，（6分）
∴
，（7分）
∴
．（8分）
点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．
26、如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连接C′E．
求证：四边形CDC′E是菱形．
考点：菱形的判定。
专题：证明题。
分析：根据题意可知△CDE≌△C′DE，则CD=C′D，CE=C′E，要证四边形CDC′E为菱形，证明CD=CE即可．
解答：证明：根据题意可知△CDE≌△C′DE，
则CD=C′D，∠C′DE=∠CDE，CE=C′E，
∵AD∥BC，∴∠C′DE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，∴CD=CE，
∴CD=C′D=C′E=CE，
∴四边形CDC′E为菱形．
点评：本题利用了：1、全等三角形的性质；2、两直线平行，内错角相等；3、等边对等角；4、菱形的判定．
27、已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
考点：菱形的判定。
专题：证明题。
分析：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．
解答：证明：方法一：∵AE∥FC．
∴∠EAC=∠FCA．（2分）
又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴△AOE≌△COF．（5分）
∴EO=FO．
又EF⊥AC，
∴AC是EF的垂直平分线．（8分）
∴AF=AE，CF=CE，
又∵EA=EC，
∴AF=AE=CE=CF．
∴四边形AFCE为菱形；（10分）
方法二：同方法一，证得△AOE≌△COF．（5分）
∴AE=CF．
∴四边形AFCE是平行四边形．（8分）
又∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴四边形AFCE是菱形；（10分）
方法三：同方法二，证得四边形AFCE是平行四边形．（8分）
又EF⊥AC，（9分）
∴四边形AFCE为菱形．
点评：本题利用了中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
28、如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP．
（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）
（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．
考点：点与圆的位置关系；等边三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定。
专题：探究型。
分析：（1）由平行易得△BFE是等边三角形，那么各边是相等的；
（2）当点E是BC的中点时，△PEC为等边三角形，可得到PC=EC=BE=EF，也就得到了四边形EFPC是平行四边形，再有EF=EC可证为菱形；
（3）根据各点到圆心的距离作答即可．
解答：解：（1）易得△BFE是等边三角形，PE=EB，
∴EF=BE=PE=BF；
（2）当点E是BC的中点时，四边形是菱形；
∵E是BC的中点，
∴EC=BE，
∵PE=BE，
∴PE=EC，
∵∠C=60°，
∴△PEC是等边三角形，
∴PC=EC=PE，
∵EF=BE，
∴EF=PC，
又∵EF∥CP，
∴四边形EFPC是平行四边形，
∵EC=PC=EF，
∴平行四边形EFPC是菱形；
（3）当0＜r＜
时，有两个交点；
当r=
时，有四个交点；
当
＜r＜1时，有六个交点；
当r=1时，有三个交点；
当r＞1时，有0个交点．
点评：本题综合考查了等边三角形的性质和判定，菱形的判定及点和圆的位置关系等知识点．注意圆和线段有交点，应根据半径作答．
29、如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．
（1）求△ABC所扫过的图形的面积；
（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
（3）若∠BEC=15°，求AC的长．
考点：平移的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定。
专题：计算题；探究型。
分析：（1）根据题意：易得△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF，进而得出S平行四边形ABFE=2S△EAF，故可求出△ABC扫过图形的面积为S△ABC+S平行四边形ABFE；
（2）根据平移的性质，可得四边形ABFE为菱形，故AF与BE互相垂直且平分；
（3）根据题意易得：所以∠AEB=∠ABE=15°，
BD•AC=3，
AC•AC=3，进而可得AC的长度．
解答：解：（1）连接BF，由题意知△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴S平行四边形ABFE=2S△EAF∴△ABC扫过图形的面积为S△ABC+S平行四边形ABFE=3+6=9；
（2）由（1）知四边形ABFE为平行四边形，且AB=AE，
∴四边形ABFE为菱形，
∴AF与BE互相垂直且平分．
（3）过点B作BD⊥CA于点D，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABE=15°．
∴∠BAD=30°BD=
AB=
AC．
∴
BD•AC=3，
AC•AC=3．
∴AC2=12．
∴AC=2
．
点评：本题考查利用全等三角形的判定、菱形的判定和平移的知识结合求解．考查了学生综合运用数学的能力．