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【330117】18.2.2 第2课时 菱形的判定3

时间:2025-02-08 16:46:39 作者: 字数:32488字

18.2.2 菱形

2课时 菱形的判定

一、选择题(共10小题)

1、在平面直角坐标系中,已知点A02),B(﹣2 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a> 0),C0,﹣2),D2 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a> 0),则以这四个点为顶点的四边形ABCD是(  )

A、矩形 B、菱形

C、正方形 D、梯形

2、用两个全等的等边三角形,可以拼成下列哪种图形(  )

A、矩形 B、菱形

C、正方形 D、等腰梯形

3、如图,下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为(  )

①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

A、①③ B、②③

C、③④ D、①②③

4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志,人们将红丝带剪成小段,并用别针将折叠好的红丝带别在胸前,如图所示.红丝带重叠部分形成的图形是(  )

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

A、正方形 B、等腰梯形

C、菱形 D、矩形

5、(在同一平面内,用两个边长为a的等边三角形纸片(纸片不能裁剪)可以拼成的四边形是(  )

A、矩形 B、菱形

C、正方形 D、梯形

6、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是(  )

A、等腰梯形 B、正方形

C、矩形 D、菱形

7、汶川地震后,吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”,号召市民为四川受灾的人们祈福.人们将绿丝带剪成小段,并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前,如图所示,绿丝带重叠部分形成的图形是(  )

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

A、正方形 B、等腰梯形

C、菱形 D、矩形

8、能判定一个四边形是菱形的条件是(  )

A、对角线相等且互相垂直 B、对角线相等且互相平分

C、对角线互相垂直 D、对角线互相垂直平分

9、四边形的四边长顺次为abcd,且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad,则此四边形一定是(  )

A、平行四边形 B、矩形

C、菱形 D、正方形

二、填空题(共8小题)

11、(如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为菱形,需要添加的条件是 _________ (只填一个你认为正确的即可).

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

12、如图,如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件是 _________ 

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

13、(如图,平行四边形ABCD中,AFCE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线,根据现有的图形,请添加一个条件,使四边形AECF为菱形,则添加的一个条件可以是 _________ .(只需写出一个即可,图中不能再添加别的“点”和“线”)

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>



14、在四边形ABCD中,对角线ACBD交于点O,从(1AB=CD;(2AB∥CD;(3OA=OC;(4OB=OD;(5AC⊥BD;(6AC平分∠BAD这六个条件中,选取三个推出四边形ABCD是菱形.如(1)(2)(5=ABCD是菱形,再写出符合要求的两个: _________ =ABCD是菱形; _________ =ABCD是菱形.

15、若四边形ABCD是平行四边形,请补充条件 _________ (写一个即可),使四边形ABCD是菱形.

16、在四边形ABCD中,给出四个条件:①AB=CD,②AD∥BC,③AC⊥BD,④AC平分∠BAD,由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形,你认为这三个条件是 _________ .(写四个条件的不给分,只填序号)

17、要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是 _________ 形,再说明 _________ (只需填写一种方法)

18、如图,四边形ABCD是平行四边形,ACBD相交于点O,不添加任何字母和辅助线,要使四边形ABCD是菱形,则还需添加一个条件是 _________ (只需填写一个条件即可).

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三、解答题(共11小题)

19、(如图,在△ABC中,AB=ACDBC的中点,连接AD,在AD的延长线上取一点E,连接BE CE

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

1)求证:△ABE≌△ACE

2)当AEAD满足什么数量关系时,四边形ABEC是菱形?并说明理由.

20、如图,在▱ABCD中,EF分别为边ABCD的中点,连接DEBFBD

1)求证:△ADE≌△CBF

2)若AD⊥BD,则四边形BFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

21、如图,已知点D在△ABCBC边上,DE∥ACABEDF∥ABACF

1)求证:AE=DF

2)若AD平分∠BAC,试判断四边形AEDF的形状,并说明理由.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

22、已知:如图,在梯形ABCD中,AB∥CDBC=CDAD⊥BDEAB中点,求证:四边形BCDE是菱形.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

23、如图,在△ABC和△DCB中,AB=DCAC=DBACDB交于点M

1)求证:△ABC≌△DCB

2)过点CCN∥BD,过点BBN∥ACCNBN交于点N,试判断线段BNCN的数量关系,并证明你的结论.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

24、如图,△ABC中,AC的垂直平分线MNAB于点D,交AC于点OCE∥ABMNE,连接AECD

1)求证:AD=CE

2)填空:四边形ADCE的形状是 _________ 

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

25、如图△ABC与△CDE都是等边三角形,点EF分别在ACBC上,且EF∥AB

1)求证:四边形EFCD是菱形;

2)设CD=4,求DF两点间的距离.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

26、如图,在梯形纸片ABCD中,AD∥BCADCD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点C落在AD上的点C处,折痕DEBC于点E,连接C′E

求证:四边形CDC′E是菱形.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

27、已知:如图,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边ADBC分别相交于点EF

求证:四边形AFCE是菱形.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

28、如图,等边△ABC的边长为2E是边BC上的动点,EF∥AC交边AB于点F,在边AC上取一点P,使PE=EB,连接FP

1)请直接写出图中与线段EF相等的两条线段;(不再另外添加辅助线)

2)探究:当点E在什么位置时,四边形EFPC是平行四边形?并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形,请说明理由;

3)在(2)的条件下,以点E为圆心,r为半径作圆,根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数,求相应的r的取值范围.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

29、如图,已知△ABC的面积为3,且AB=AC,现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

1)求△ABC所扫过的图形的面积;

2)试判断AFBE的位置关系,并说明理由;

3)若∠BEC=15°,求AC的长.


答案与评分标准

一、选择题(共10小题)

1、在平面直角坐标系中,已知点A02),B(﹣2 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a> 0),C0,﹣2),D2 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a> 0),则以这四个点为顶点的四边形ABCD是(  )

A、矩形 B、菱形

C、正方形 D、梯形

考点:坐标与图形性质;菱形的判定。

分析:画出草图,求得各边的长,再根据特殊四边形的判定方法判断.

解答:解:在平面直角坐标系中画出图后,可发现这个四边形的对角线互相平分,先判断为平行四边形,对角线还垂直,那么这样的平行四边形应是菱形.

故选B

点评:动手画出各点后可很快得到四边形对角线的特点.

2、用两个全等的等边三角形,可以拼成下列哪种图形(  )

A、矩形 B、菱形

C、正方形 D、等腰梯形

考点:等边三角形的性质;菱形的判定。

专题:操作型。

分析:由题可知,得到的四边形的四条边也相等,得到的图形是菱形.

解答:解:由于两个等边三角形的边长都相等,则得到的四边形的四条边也相等,

即是菱形.

故选B

点评:本题利用了菱形的概念:四边相等的四边形是菱形.

3、(如图,下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为(  )

①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

A、①③ B、②③

C、③④ D、①②③

考点:菱形的判定;平行四边形的性质。

专题:计算题。

分析:菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.

解答:解:根据菱形的判定:对角线互相垂直的平行四边形是菱形,有一组邻边相等的平行四边形是菱形可知:①,③正确.

故选A

点评:本题考查菱形的判定,即对角线互相垂直的平行四边形是菱形,有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志,人们将红丝带剪成小段,并用别针将折叠好的红丝带别在胸前,如图所示.红丝带重叠部分形成的图形是(  )

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

A、正方形 B、等腰梯形

C、菱形 D、矩形

考点:菱形的判定。

专题:应用题。

分析:首先可判断重叠部分为平行四边形,且两条彩带宽度相同;再由平行四边形的面积可得邻边相等,则重叠部分为菱形.

解答:解:过点AAE⊥BCEAF⊥CDF,因为两条彩带宽度相同,

所以AB∥CDAD∥BCAE=AF

四边形ABCD是平行四边形.

∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF.又AE=AF

∴BC=CD

四边形ABCD是菱形.

故选C

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

点评:本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形.

5、在同一平面内,用两个边长为a的等边三角形纸片(纸片不能裁剪)可以拼成的四边形是(  )

A、矩形 B、菱形

C、正方形 D、梯形

考点:菱形的判定;等边三角形的性质。

专题:操作型。

分析:用两个边长为a的等边三角形拼成的四边形,它的四条边长都为a,根据菱形的定义四边相等的四边形是菱形.

解答:解:根据题意得,拼成的四边形四边相等,

则是菱形.

故选B

点评:此题主要考查了等边三角形的性质,菱形的定义.

6、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是(  )

A、等腰梯形 B、正方形

C、矩形 D、菱形

考点:菱形的判定;等边三角形的性质。

分析:由于两个等边三角形的边长都相等,则得到的四边形的四条边也相等,即是菱形.

解答:解:由题意可得:得到的四边形的四条边相等,即是菱形.

故选D

点评:本题利用了菱形的概念:四边相等的四边形是菱形.

7、汶川地震后,吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”,号召市民为四川受灾的人们祈福.人们将绿丝带剪成小段,并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前,如图所示,绿丝带重叠部分形成的图形是(  )

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

A、正方形 B、等腰梯形

C、菱形 D、矩形

考点:菱形的判定。

专题:应用题。

分析:首先可判断重叠部分为平行四边形,且两条丝带宽度相同;再由平行四边形的面积可得邻边相等,则重叠部分为菱形.

解答:解:过点AAE⊥BCEAF⊥CDF,因为两条彩带宽度相同,

所以AB∥CDAD∥BCAE=AF

四边形ABCD是平行四边形.

∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF.又AE=AF

∴BC=CD

四边形ABCD是菱形.

故选C

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

点评:本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形.

8、能判定一个四边形是菱形的条件是(  )

A、对角线相等且互相垂直 B、对角线相等且互相平分

C、对角线互相垂直 D、对角线互相垂直平分

考点:菱形的判定。

分析:根据菱形的判定方法:对角线互相垂直平分来判断即可.

解答:解:菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;

四边相等;

对角线互相垂直平分的四边形是菱形.只有D能判定为是菱形,

故选D

点评:本题考查菱形对角线互相垂直平分的判定.

9、四边形的四边长顺次为abcd,且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad,则此四边形一定是(  )

A、平行四边形 B、矩形

C、菱形 D、正方形

考点:菱形的判定;非负数的性质:偶次方。

分析:本题可通过整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad得到(a﹣b2+b﹣c2+c﹣d2+a﹣d2=0,从而得出a=b=c=d,∴四边形一定是菱形.

解答:解:整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad

2a2+b2+c2+d2=2ab+bc+cd+ad),)

a﹣b2+b﹣c2+c﹣d2+a﹣d2=0

由非负数的性质可知:(a﹣b=0,(b﹣c=0,(c﹣d=0,(a﹣d=0

∴a=b=c=d

四边形一定是菱形,

故选C

点评:此题主要考查了菱形的判定,关键是整理配方式子,还利用了非负数的性质.

二、填空题(共8小题)

11、四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为菱形,需要添加的条件是 AC⊥BDAB=BCBC=CDAB=AD (只填一个你认为正确的即可).

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

考点:菱形的判定。

专题:开放型。

分析:根据平行四边形的性质和菱形的性质,可添加:AC⊥BDAB=BC,或BC=CD,或CD=DA,或AB=AD

解答:解:四边形ABCD的对角线互相平分,则四边形ABCD为平行四边形,

再依据:一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形,

可添加:AC⊥BDAB=BC,或BC=CD,或CD=DA,或AB=AD(答案不唯一)

点评:本题考查平行四边形及菱形的判定.菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.

12、如图,如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件是 AB=ADAC⊥BD 

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

考点:菱形的判定;平行四边形的性质。

专题:开放型。

分析:菱形的判定方法有三种:

定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;

四边相等;

对角线互相垂直平分的四边形是菱形.

可添加:AB=ADAC⊥BD

解答:解:因为一组邻边相等的平行四边形是菱形,对角线互相垂直平分的四边形是菱形,那么可添加的条件是:AB=ADAC⊥BD

点评:本题考查菱形的判定,答案不唯一.

13、如图,平行四边形ABCD中,AFCE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线,根据现有的图形,请添加一个条件,使四边形AECF为菱形,则添加的一个条件可以是 AC⊥EFAF=CF等 .(只需写出一个即可,图中不能再添加别的“点”和“线”)

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

考点:菱形的判定;平行四边形的性质。

专题:开放型。

分析:菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形,由平行四边形的性质知,对角线互相平分,又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,可得:当AC⊥EF时,四边形AECF是菱形.

解答:解:则添加的一个条件可以是:AC⊥EF

证明:∵AD∥BC

∴∠FAD=∠AFB

∵AF是∠BAD的平分线,

∴∠BAF=FAD

∴∠BAF=∠AFB

∴AB=BF

同理ED=CD

∵AD=BCAB=CD

∴AE=CF

又∵AE∥CF

四边形AECF是平行四边形,

对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,

则添加的一个条件可以是:AC⊥EF

点评:本题考查了菱形的判定,利用角的平分线的性质和平行四边形的性质求解,答案不唯一.

14、在四边形ABCD中,对角线ACBD交于点O,从(1AB=CD;(2AB∥CD;(3OA=OC;(4OB=OD;(5AC⊥BD;(6AC平分∠BAD这六个条件中,选取三个推出四边形ABCD是菱形.如(1)(2)(5=ABCD是菱形,再写出符合要求的两个: (1)(2)(6) =ABCD是菱形; (3)(4)(5@3)(4)(6) =ABCD是菱形.

考点:菱形的判定。

专题:开放型。

分析:菱形的判定方法有三种:

定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;

四边相等;

对角线互相垂直平分的四边形是菱形.

解答:解:(1)(2)(6)⇒ABCD是菱形.

先由(1)(2)得出四边形是平行四边形,

再由(6)和(2)得出∠DAC=∠DCA

由等角对等边得AD=CD

所以平行四边形是菱形.


3)(4)(5=ABCD是菱形.

由对角线互相平分且垂直的四边形是菱形.


3)(4)(6=ABCD是菱形.

由(3)(4)得出四边形是平行四边形,

再由(6)得出∠DAC=∠DCA

由等角对等边得AD=CD

所以平行四边形是菱形.

点评:本题考查菱形的判定.

15、若四边形ABCD是平行四边形,请补充条件 AB=BC@AC⊥BD (写一个即可),使四边形ABCD是菱形.

考点:菱形的判定;平行四边形的性质。

专题:开放型。

分析:菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.据此判断即可.

解答:解:因为一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直平分的四边形是菱形.可补充条件:AB=BCAC⊥BD

点评:主要考查了菱形的特性.菱形的特性:菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直平分,且每一条对角线平分一组对角.

16、在四边形ABCD中,给出四个条件:①AB=CD,②AD∥BC,③AC⊥BD,④AC平分∠BAD,由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形,你认为这三个条件是 ①③④或②③④ .(写四个条件的不给分,只填序号)

考点:菱形的判定;全等三角形的判定与性质。

分析:菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.据此判断即可.

解答:解:设ACBD交于点E,由③AC⊥BD,④AC平分∠BAD可证得,Rt△AEB≌Rt△AED

∴AB=ADBE=DE

再由∠BEC=∠DEC=90°CE=CE,证得Rt△BCE≌Rt△DCE

∴BC=CD

再由①AB=CD,可根据四边相等的四边形是菱形而得证为菱形;

或者再由②AD∥BC,证得:Rt△AED≌Rt△BCE

∴AE=EC

由对角线互相垂直平分的四边形是菱形而得证为菱形.

故填写①③④或②③④.

点评:本题考查了菱形的判定,利用全等三角形的判定和性质来证明.

17、要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是 平行四边 形,再说明 有一组邻边相等 (只需填写一种方法)

考点:菱形的判定。

专题:开放型。

分析:菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.所以,要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是平行四边形,再说明有一组邻边相等.

解答:解:因为一组邻边相等的平行四边形是菱形,所以,要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是平行四边形,再说明有一组邻边相等.

点评:本题考查菱形的判定,答案不唯一.

18、如图,四边形ABCD是平行四边形,ACBD相交于点O,不添加任何字母和辅助线,要使四边形ABCD是菱形,则还需添加一个条件是 AB=BC(答案不唯一) (只需填写一个条件即可).

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

考点:菱形的判定;平行四边形的性质。

专题:开放型。

分析:菱形的判定方法有三种:

定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;

四边相等;

对角线互相垂直平分的四边形是菱形.

所以可添加AB=BC

解答:解:AB=BCAC⊥BD等.

点评:本题考查了菱形的判定,答案不唯一.

三、解答题(共11小题)

19、如图,在△ABC中,AB=ACDBC的中点,连接AD,在AD的延长线上取一点E,连接BE CE

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

1)求证:△ABE≌△ACE

2)当AEAD满足什么数量关系时,四边形ABEC是菱形?并说明理由.

考点:全等三角形的判定;菱形的判定。

专题:证明题。

分析:由题意可知三角形三线合一,结合SAS可得△ABE≌△ACE.四边形ABEC相邻两边AB=AC,只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件,当AE=2AD(或AD=DEDE= <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a> AE)时,根据对角线互相平分,可得四边形是平行四边形.

解答:1)证明:∵AB=AC,点DBC的中点,

∴∠BAE=∠CAE

∵AE=AE

∴△ABE≌△ACESAS).


2)解:当AE=2AD(或AD=DEDE= <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a> AE)时,四边形ABEC是菱形

理由如下:

∵AE=2AD,∴AD=DE

又∵点DBC中点,

∴BD=CD

四边形ABEC为平行四边形,

∵AB=AC

四边形ABEC为菱形.

点评:本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质和菱形的判定定理,比较容易.

20、如图,在▱ABCD中,EF分别为边ABCD的中点,连接DEBFBD

1)求证:△ADE≌△CBF

2)若AD⊥BD,则四边形BFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

考点:全等三角形的判定;平行四边形的性质;菱形的判定。

专题:证明题;探究型。

分析:1)根据题中已知条件不难得出,AD=BC,∠A=∠CEF分别为边ABCD的中点,那么AE=CF,这样就具备了全等三角形判定中的SAS,由此可得出△AED≌△CFB

2)直角三角形ADB中,DE是斜边上的中线,因此DE=BE,又由DE=BFFD∥BE那么可得出四边形BFDE是个菱形.

解答:1)证明:在平行四边形ABCD中,∠A=∠CAD=BC

∵EF分别为ABCD的中点,

∴AE=CF

在△AED和△CFB中, <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

∴△AED≌△CFBSAS);


2)解:若AD⊥BD,则四边形BFDE是菱形.

证明:∵AD⊥BD

∴△ABD是直角三角形,且∠ADB=90°

∵EAB的中点,

∴DE= <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a> AB=BE

由题意可知EB∥DFEB=DF

四边形BFDE是平行四边形.

四边形BFDE是菱形.

点评:本题主要考查了全等三角形的判定,平行四边形的性质和菱形的判定等知识点.

21、如图,已知点D在△ABCBC边上,DE∥ACABEDF∥ABACF

1)求证:AE=DF

2)若AD平分∠BAC,试判断四边形AEDF的形状,并说明理由.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

考点:全等三角形的判定与性质;菱形的判定。

专题:证明题。

分析:1)利用AAS推出△ADE≌△DAF,再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF

2)先根据已知中的两组平行线,可证四边形DEFA是▱,再利用AD是角平分线,结合AE∥DF,易证∠DAF=∠FDA,利用等角对等边,可得AF=DF,从而可证▱AEDF实菱形.

解答:证明:(1)∵DE∥AC,∠ADE=∠DAF

同理∠DAE=∠FDA

∵AD=DA

∴△ADE≌△DAF

∴AE=DF


2)若AD平分∠BAC,四边形AEDF是菱形,

∵DE∥ACDF∥AB

四边形AEDF是平行四边形,

∴∠DAF=∠FDA

∴AF=DF

平行四边形AEDF为菱形.

点评:考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况.

22、已知:如图,在梯形ABCD中,AB∥CDBC=CDAD⊥BDEAB中点,求证:四边形BCDE是菱形.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

考点:菱形的判定。

专题:证明题。

分析:由题意易得DE=BE,再证四边形BCDE是平行四边形,即证四边形BCDE是菱形.

解答:证明:∵AD⊥BD

∴△ABDRt△

∵EAB的中点,

∴BE= <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a> ABDE= <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a> AB (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),

∴BE=DE

∴∠EDB=∠EBD

∵CB=CD

∴∠CDB=∠CBD

∵AB∥CD

∴∠EBD=∠CDB

∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD

∵BD=BD

∴△EBD≌△CBD ASA ),

∴BE=BC

∴CB=CD=BE=DE

菱形BCDE.(四边相等的四边形是菱形)

点评:此题主要考查菱形的判定,综合利用了直角三角形的性质和平行线的性质.

23、如图,在△ABC和△DCB中,AB=DCAC=DBACDB交于点M

1)求证:△ABC≌△DCB

2)过点CCN∥BD,过点BBN∥ACCNBN交于点N,试判断线段BNCN的数量关系,并证明你的结论.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

考点:菱形的判定;全等三角形的判定。

专题:证明题;探究型。

分析:1)由SSS可证△ABC≌△DCB

2BN=CN,可先证明四边形BMCN是平行四边形,由(1)知,∠MBC=∠MCB,可得BM=CM,于是就有四边形BMCN是菱形,则BN=CN

解答:1)证明:如图,在△ABC和△DCB中,

∵AB=DCAC=DBBC=CB

∴△ABC≌△DCB;(4分)


2)解:据已知有BN=CN.证明如下:

∵CN∥BDBN∥AC

四边形BMCN是平行四边形,(6分)

由(1)知,∠MBC=∠MCB

∴BM=CM(等角对等边),

四边形BMCN是菱形,

∴BN=CN.(9分)

点评:此题主要考查全等三角形和菱形的判定.

24、如图,△ABC中,AC的垂直平分线MNAB于点D,交AC于点OCE∥ABMNE,连接AECD

1)求证:AD=CE

2)填空:四边形ADCE的形状是  

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

考点:菱形的判定;线段垂直平分线的性质。

专题:证明题。

分析:根据中垂线的性质:中垂线上的点线段两个端点的距离相等,∴AE=CEAD=CDOA=OC∠AOD=∠EOC=90°

∵CE∥AB

∴∠DAO=∠ECO,∴△ADO≌△CEO,∴AD=CEOD=OE

由一组对边平行且相等知,四边形ADCE是平行四边形,

∵OD=OEOA=OC∠AOD=90°根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得.平行四边形ADCE是菱形.

解答:1)证明:∵MNAC的垂直平分线,(1分)

∴OA=OC∠AOD=∠EOC=90°.(3分)

∵CE∥AB

∴∠DAO=∠ECO.(4分)

∴△ADO≌△CEO.(5分)

∴AD=CE.(6分)


2)解:四边形ADCE是菱形.(8分)

(填写平行四边形给1分)

点评:本题利用了:1、中垂线的性质,2、全等三角形的判定和性质,平行四边形和菱形的判定.

25、如图△ABC与△CDE都是等边三角形,点EF分别在ACBC上,且EF∥AB

1)求证:四边形EFCD是菱形;

2)设CD=4,求DF两点间的距离.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

考点:菱形的判定;等边三角形的性质;勾股定理。

专题:计算题;证明题。

分析:1)根据菱形的判定定理,一组邻边相等的平行四边形是菱形,由△ABC与△CDE都是等边三角形,可得出角之间的等量关系,从而证明四边形EFCD是菱形;

2)连接DF,与CE相交于点G,由(1)知DF就是菱形EFCD的一条对角线,根据菱形的性质及30°特殊角的值可计算出结果.

解答:1)证明:∵△ABC与△CDE都是等边三角形,

∴ED=CD

∴∠A=∠DCE=∠BCA=∠DEC=60°.(1分)

∴AB∥CDDE∥CF.(2分)

又∵EF∥AB

∴EF∥CD,(3分)

四边形EFCD是菱形.(4分)


2)解:连接DF,与CE相交于点G,(5分)

CD=4,可知CG=2,(6分)

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a> ,(7分)

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a> .(8分)

点评:菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据,常用三种方法:①定义,②四边相等,③对角线互相垂直平分.

26、如图,在梯形纸片ABCD中,AD∥BCADCD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点C落在AD上的点C处,折痕DEBC于点E,连接C′E

求证:四边形CDC′E是菱形.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

考点:菱形的判定。

专题:证明题。

分析:根据题意可知△CDE≌△C′DE,则CD=C′DCE=C′E,要证四边形CDC′E为菱形,证明CD=CE即可.

解答:证明:根据题意可知△CDE≌△C′DE

CD=C′D,∠C′DE=∠CDECE=C′E

∵AD∥BC,∴∠C′DE=∠CED

∴∠CDE=∠CED,∴CD=CE

∴CD=C′D=C′E=CE

四边形CDC′E为菱形.

点评:本题利用了:1、全等三角形的性质;2、两直线平行,内错角相等;3、等边对等角;4、菱形的判定.

27、已知:如图,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边ADBC分别相交于点EF

求证:四边形AFCE是菱形.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

考点:菱形的判定。

专题:证明题。

分析:菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据,常用三种方法:

定义;

四边相等;

对角线互相垂直平分.具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定.

解答:证明:方法一:∵AE∥FC

∴∠EAC=∠FCA.(2分)

又∵∠AOE=∠COFAO=CO

∴△AOE≌△COF.(5分)

∴EO=FO

EF⊥AC

∴ACEF的垂直平分线.(8分)

∴AF=AECF=CE

又∵EA=EC

∴AF=AE=CE=CF

四边形AFCE为菱形;(10分)


方法二:同方法一,证得△AOE≌△COF.(5分)

∴AE=CF

四边形AFCE是平行四边形.(8分)

又∵EFAC的垂直平分线,

∴EA=EC

四边形AFCE是菱形;(10分)


方法三:同方法二,证得四边形AFCE是平行四边形.(8分)

EF⊥AC,(9分)

四边形AFCE为菱形.

点评:本题利用了中垂线的性质,全等三角形的判定和性质,有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

28、如图,等边△ABC的边长为2E是边BC上的动点,EF∥AC交边AB于点F,在边AC上取一点P,使PE=EB,连接FP

1)请直接写出图中与线段EF相等的两条线段;(不再另外添加辅助线)

2)探究:当点E在什么位置时,四边形EFPC是平行四边形?并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形,请说明理由;

3)在(2)的条件下,以点E为圆心,r为半径作圆,根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数,求相应的r的取值范围.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

考点:点与圆的位置关系;等边三角形的性质;平行四边形的判定;菱形的判定。

专题:探究型。

分析:1)由平行易得△BFE是等边三角形,那么各边是相等的;

2)当点EBC的中点时,△PEC为等边三角形,可得到PC=EC=BE=EF,也就得到了四边形EFPC是平行四边形,再有EF=EC可证为菱形;

3)根据各点到圆心的距离作答即可.

解答:解:(1)易得△BFE是等边三角形,PE=EB

∴EF=BE=PE=BF


2)当点EBC的中点时,四边形是菱形;

∵EBC的中点,

∴EC=BE

∵PE=BE

∴PE=EC

∵∠C=60°

∴△PEC是等边三角形,

∴PC=EC=PE

∵EF=BE

∴EF=PC

又∵EF∥CP

四边形EFPC是平行四边形,

∵EC=PC=EF

平行四边形EFPC是菱形;


3)当0r <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a> 时,有两个交点;

r= <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a> 时,有四个交点;

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>r1时,有六个交点;

r=1时,有三个交点;

r1时,有0个交点.

点评:本题综合考查了等边三角形的性质和判定,菱形的判定及点和圆的位置关系等知识点.注意圆和线段有交点,应根据半径作答.

29、如图,已知△ABC的面积为3,且AB=AC,现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

1)求△ABC所扫过的图形的面积;

2)试判断AFBE的位置关系,并说明理由;

3)若∠BEC=15°,求AC的长.

考点:平移的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的判定。

专题:计算题;探究型。

分析:1)根据题意:易得△ABC≌△EFABA∥EF,且BA=EF,进而得出S平行四边形ABFE=2S△EAF,故可求出△ABC扫过图形的面积为S△ABC+S平行四边形ABFE

2)根据平移的性质,可得四边形ABFE为菱形,故AFBE互相垂直且平分;

3)根据题意易得:所以∠AEB=∠ABE=15° <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a> BD•AC=3 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a> AC•AC=3,进而可得AC的长度.

解答:解:(1)连接BF,由题意知△ABC≌△EFABA∥EF,且BA=EF

四边形ABFE为平行四边形,

∴S平行四边形ABFE=2S△EAF∴△ABC扫过图形的面积为S△ABC+S平行四边形ABFE=3+6=9


2)由(1)知四边形ABFE为平行四边形,且AB=AE

四边形ABFE为菱形,

∴AFBE互相垂直且平分.


3)过点BBD⊥CA于点D

∵AB=AE

∴∠AEB=∠ABE=15°

∴∠BAD=30°BD= <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a> AB= <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a> AC

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a> BD•AC=3 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a> AC•AC=3

∴AC2=12

∴AC=2 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/899/" title="菱形" class="c1" target="_blank">菱形</a>

点评:本题考查利用全等三角形的判定、菱形的判定和平移的知识结合求解.考查了学生综合运用数学的能力.