【330083】18.1 第1课时 勾股定理

18.1勾股定理

第1课时 勾股定理

教学目标

1．经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)

2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题．(重点)

教学过程

一、情境导入

如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？

二、合作探究

探究点一：勾股定理的证明

作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．求证：a²＋b²＝c².

解析：从整体上看，这两个正方形的边长都是a＋b，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．

证明：由图易知，这两个正方形的边长都是a＋b，∴它们的面积相等．左边的正方形面积可表示为a²＋b²＋ab×4，右边的正方形面积可表示为c²＋ab×4.∵a²＋b²＋ab×4＝c²＋ab×4，∴a²＋b²＝c².

方法总结：根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．

探究点二：勾股定理

【类型一】 直接利用勾股定理求长度

如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB交AB于点D，求CD的长．

解析：先运用勾股定理求出AC的长，再根据S_△ABC＝AB·CD＝AC·BC，求出CD的长．

解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴由勾股定理得AC²＝AB²－BC²＝5²－3²＝4²，∴AC＝4cm.又∵S_△ABC＝AB·CD＝AC·BC，∴CD＝＝＝(cm)，故CD的长是cm.

方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．

【类型二】 利用勾股定理求面积

如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中△ABE的面积为________，阴影部分的面积为________．

解析：因为AE＝BE，∠E＝90°，所以S_△ABE＝AE·BE＝AE².又因为AE²＋BE²＝AB²，所以2AE²＝AB²，所以S_△ABE＝AB²＝×3²＝；同理可得S_△AHC＋S_△BCF＝AC²＋BC².又因为AC²＋BC²＝AB²，所以阴影部分的面积为AB²＋AB²＝AB²＝×3²＝.故分别填，.

方法总结：求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．

【类型三】 勾股定理与数轴

如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是(　　)

1. ＋1　B．－＋1　

C.－1　 D.

解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为＝，∴－1到A的距离是.那么点A所表示的数为－1.故选C.

方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．

【类型四】 利用勾股定理证明等式

如图，已知AD是△ABC的中线．求证：AB²＋AC²＝2(AD²＋CD²)．

解析：结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AE⊥BC交BC于点E.在△ABC中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明．

证明：如图，过点A作AE⊥BC交BC于点E.在Rt△ABE、Rt△ACE和Rt△ADE中，AB²＝AE²＋BE²，AC²＝AE²＋CE²，AE²＝AD²－ED²，∴AB²＋AC²＝(AE²＋BE²)＋(AE²＋CE²)＝2(AD²－ED²)＋(DB－DE)²＋(DC＋DE)²＝2AD²－2ED²＋DB²－2DB·DE＋DE²＋DC²＋2DC·DE＋DE²＝2AD²＋DB²＋DC²＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴AB²＋AC²＝2AD²＋2DC²＝2(AD²＋CD²)．

方法总结：构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题．

【类型五】 运用勾股定理解决折叠中的有关计算

如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是(　　)

A．1.5　　　B．2　　　C．2.25　　　D．2.5

解析：连接BM，MB′.设AM＝x，在Rt△ABM中，AB²＋AM²＝BM².在Rt△MDB′中，B′M²＝MD²＋DB′².∵MB＝MB′，∴AB²＋AM²＝BM²＝B′M²＝MD²＋DB′²，即9²＋x²＝(9－x)²＋(9－3)²，解得x＝2，即AM＝2.故选B.

方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．

【类型六】 分类讨论思想在勾股定理中的应用

在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．

解析：应考虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情形．

解：当高AD在△ABC内部时，如图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD²＝AB²－AD²＝20²－12²＝16²，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD²＝AC²－AD²＝15²－12²＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60；

当高AD在△ABC外部时，如图②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.

方法总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉原三角形为钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．

三、板书设计

教学反思

让学生体会数形结合和由特殊到一般的思想方法，进一步提升学生的说理和简单推理的能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激励学生发奋学习.