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【329952】12.3角的平分线的性质

时间:2025-02-07 09:26:31 作者: 字数:5251字

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12.3角的平分线的性质

基础巩固

1.作∠AOB的平分线OC,合理的顺序是(  )

作射线OC;②以O为圆心,适当长为半径画弧,交OAD,交OBE;③分别以DE为圆心,大于 <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/904/" title="平分" class="c1" target="_blank">平分</a> 的长为半径画弧,两弧在∠AOB内交于点C.

A.①②③ B.②①③

C.②③① D.③②①

2.三角形中到三边距离相等的点是(  )

A.三条边的垂直平分线的交点

B.三条高的交点

C.三条中线的交点

D.三条内角平分线的交点

3.如图,∠1=∠2PDOAPEOB,垂足分别为DE,下列结论错误的是(  )

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APDPE

BODOE

C.∠DPO=∠EPO

DPDOD

4.如图,在△ABC中,∠ACB90°BE平分∠ABCDEAB于点D,如果AC3 cm,那么AEDE等于(  )

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A2 cm B3 cm C4 cm D5 cm

5.△ABC中,∠C90°,点O为△ABC三条角平分线的交点,ODBCDOEACEOFABF,且AB10 cmBC8 cmAC6 cm,则点O到三边ABACBC的距离为(  )

A2 cm,2 cm,2 cm

B3 cm,3 cm,3 cm

C4 cm,4 cm,4 cm

D2 cm,3 cm,5 cm

6.如图所示,∠AOB60°CDOA于点DCEOB于点E,且CDCE,则∠DCO__________.

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7.在△ABC中,∠C90°AD平分∠BACBCD,若BC32,且BDCD9∶7,则DAB的距离为__________

8.点O是△ABC内一点,且点O到三边的距离相等,∠A60°,则∠BOC的度数为__________

能力提升

9.如图,BN是∠ABC的平分线,PBN上,DE分别在ABBC上,∠BDP+∠BEP180°,且∠BDP,∠BEP都不是直角.求证:PDPE.

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10.如图,在△ABC中,∠C90°AD平分∠BACDEAB于点E,点FAC上,BDDF.

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(1)求证:CFEB

(2)请你判断AEAFBE的大小关系,并说明理由.

11.八(1)班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图).设计了如下方案:

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①∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OAOB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与MN重合,即PMPN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.

②∠AOB是一个任意角,在边OAOB上分别取OMON,将角尺的直角顶点P介于射线OAOB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与MN重合,即PMPN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.

(1)方案①、方案②是否可行?若可行,请证明;若不可行,请说明理由.

(2)在方案①PMPN的情况下,继续移动角尺,同时使PMOAPNOB.此方案是否可行?请说明理由.
























参考答案

2D 点拨:由角的平分线的性质知,到角两边距离相等的点在角的平分线上,所以到三角形三边距离相等的是三条内角平分线的交点.

3D 点拨:由角平分线的性质得,PEPD,进而可证△PEO≌△PDO,得OEOD,∠DPO=∠EPO,但PDOD是错误的.

4B 点拨: 因为BE平分∠ABC,∠ACB90°DEAB于点D,所以DEEC,那么AEDEAEECAC3 cm.

5B 点拨:因为点O为△ABC三条角平分线的交点,ODBCDOEACEOFABF,所以设点O到三边ABACBC的距离为x cm,由三角形的面积公式得, <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/904/" title="平分" class="c1" target="_blank">平分</a> ,解得x2(cm)

660° 点拨:因为CDOA于点DCEOB于点E,且CDCE,所以OC为∠AOB的平分线,所以∠AOC30°,所以∠DCO60°.

714 点拨:BD9xCD7x,所以9x7x32,解得x2,所以BD18CD14.AD平分∠BACBCD,则DAB的距离等于CD14.

8120° 点拨:O到三边的距离相等,所以点O是三个内角的平分线的交点,又因为∠A60°,所以∠ABC+∠ACB120° <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/904/" title="平分" class="c1" target="_blank">平分</a>

所以∠BOC180°60°120°.

9.证明:过点P分别作PFABFPGBCG,因为BN是∠ABC的平分线,所以PFPG.

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又因为∠BDP+∠BEP180°,∠PEG+∠BEP180°

所以∠BDP=∠PEG.在△PFD和△PGE中,

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∴△PFD≌△PGE(AAS)

PDPE.

10(1)证明:∵∠C90°,∴DCAC,∵AD平分∠BACDEAB,∴DCDE,∠DEB=∠C90°

Rt△DCFRt△DEB中,

 <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/904/" title="平分" class="c1" target="_blank">平分</a>Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)

CFEB.

(2)解:AEAFBE.

理由如下:∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠EAD

又∵∠C=∠DEA90°

∴△ACD≌△AED(AAS),∴ACAE

(1)BECF

ACAFCFAFBE,即AEAFBE.

11(1)方案①不可行.缺少证明三角形全等的条件.

方案②可行.

证明:在△OPM和△OPN中,

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∴△OPM≌△OPN(SSS)

∴∠AOP=∠BOP(全等三角形对应角相等)

(2)解:当∠AOB是直角时,此方案可行.

四边形内角和为360°,又若PMOAPNOB

OMP=∠ONP90°,∠MPN90°

∴∠AOB90°

PMOAPNOB,且PMPN

OP为∠AOB的平分线.(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上),当∠AOB不为直角时,此方案不可行.