12.3角的平分线的性质
基础巩固
1．作∠AOB的平分线OC，合理的顺序是( )
①作射线OC；②以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E；③分别以D，E为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C.
A．①②③ B．②①③
C．②③① D．③②①
2．三角形中到三边距离相等的点是( )
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条高的交点
C．三条中线的交点
D．三条内角平分线的交点
3．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是( )
A．PD＝PE
B．OD＝OE
C．∠DPO＝∠EPO
D．PD＝OD
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3 cm，那么AE＋DE等于( )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
5．△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB，AC，BC的距离为( )
A．2 cm,2 cm,2 cm
B．3 cm,3 cm,3 cm
C．4 cm,4 cm,4 cm
D．2 cm,3 cm,5 cm
6．如图所示，∠AOB＝60°，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，且CD＝CE，则∠DCO＝__________.
7．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD∶CD＝9∶7，则D到AB的距离为__________．
8．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝60°，则∠BOC的度数为__________．
能力提升
9．如图，BN是∠ABC的平分线，P在BN上，D，E分别在AB，BC上，∠BDP＋∠BEP＝180°，且∠BDP，∠BEP都不是直角．求证：PD＝PE.
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF.
(1)求证：CF＝EB；
(2)请你判断AE，AF与BE的大小关系，并说明理由．
11．八(1)班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角(如图)．设计了如下方案：
①∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M，N重合，即PM＝PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
②∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM＝PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
(1)方案①、方案②是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由．
(2)在方案①PM＝PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由．
参考答案
2．D 点拨：由角的平分线的性质知，到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以到三角形三边距离相等的是三条内角平分线的交点．
3．D 点拨：由角平分线的性质得，PE＝PD，进而可证△PEO≌△PDO，得OE＝OD，∠DPO＝∠EPO，但PD＝OD是错误的．
4．B 点拨： 因为BE平分∠ABC，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点D，所以DE＝EC，那么AE＋DE＝AE＋EC＝AC＝3 cm.
5．B 点拨：因为点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，所以设点O到三边AB，AC，BC的距离为x
cm，由三角形的面积公式得，
，解得x＝2(cm)．
6．60° 点拨：因为CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，且CD＝CE，所以OC为∠AOB的平分线，所以∠AOC＝30°，所以∠DCO＝60°.
7．14 点拨：设BD＝9x，CD＝7x，所以9x＋7x＝32，解得x＝2，所以BD＝18，CD＝14.AD平分∠BAC交BC于D，则D到AB的距离等于CD＝14.
8．120° 点拨：点O到三边的距离相等，所以点O是三个内角的平分线的交点，又因为∠A＝60°，所以∠ABC＋∠ACB＝120°，
，
所以∠BOC＝180°－60°＝120°.
9．证明：过点P分别作PF⊥AB于F，PG⊥BC于G，因为BN是∠ABC的平分线，所以PF＝PG.
又因为∠BDP＋∠BEP＝180°，∠PEG＋∠BEP＝180°，
所以∠BDP＝∠PEG.在△PFD和△PGE中，
∴△PFD≌△PGE(AAS)，
∴PD＝PE.
10．(1)证明：∵∠C＝90°，∴DC⊥AC，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DC＝DE，∠DEB＝∠C＝90°，
在Rt△DCF与Rt△DEB中，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)，
∴CF＝EB.
(2)解：AE＝AF＋BE.
理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，
又∵∠C＝∠DEA＝90°，
∴△ACD≌△AED(AAS)，∴AC＝AE，
由(1)知BE＝CF，
∴AC＝AF＋CF＝AF＋BE，即AE＝AF＋BE.
11．(1)方案①不可行．缺少证明三角形全等的条件．
方案②可行．
证明：在△OPM和△OPN中，
∴△OPM≌△OPN(SSS)．
∴∠AOP＝∠BOP(全等三角形对应角相等)．
(2)解：当∠AOB是直角时，此方案可行．
∵四边形内角和为360°，又若PM⊥OA，PN⊥OB，
∠OMP＝∠ONP＝90°，∠MPN＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∵若PM⊥OA，PN⊥OB，且PM＝PN，
∴OP为∠AOB的平分线．(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上)，当∠AOB不为直角时，此方案不可行．