12.3.2 角平分线的性质(2)
学习目标
1、会叙述角平分线的性质及“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”
2、能利用两个性质解决一些实际问题
学习重点:角平分线的性质及应用
学习难点:利用两个性质解决一些实际问题
课前预习
阅读课本,完成下列的问题:角平分线的判定及几何语言表述
复习旧知——角平分线的性质定理
1、性质定理:角平分线上的点到角的 的距离 .
2、几何语言:(注意:三个已知条件缺一不可)
∵
,
,
∴
3、画出三角形三个内角的平分线
你发现了什么特点吗?
4、如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证,点P到三边AB,BC,CA的距离相等。
课内探究
1、求证:到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
(提示:先画图,并写出已知、求证,再加以证明)
小帅已经做出了一些步骤,请你帮他补充完整:
解:如图,过______作射线,
已知:
,
;并且_______=_______
求证:_____是
的平分线
证明:
结论:角平分线的判定定理:
角的内部到角的两边____的点在角的___上。
注意:(1)该定理也是证明两角相等的一种方法;
(2)三角形的三条角平分线交于一点,这点是三角形的内心,到三边的距离相等.
(3)符号语言:∵ PD⊥OA,PE⊥OB,PD= PE
∴ ______( )
(4)作用:常证明两个角相等
2、比较角平分线的性质与判定
2、如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,OB=OC,求证∠1=∠2
拓展延伸
如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=DC,BD平分∠ABC,求证:∠A+∠C=180°
当堂检测
1、如图,在四边形
中,
,
平分
交
于
,且
,求证:
平分
2、如图,在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,且DE=2cm, AB=9cm,BC=6cm,求△ABC的面积.
课后训练
基础知识
1、已知△ABC中,∠A=60°,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,则∠BOC的度数为
2、到三角形三条边的距离相等的点是( )
A、三条中线的交点 B、三条高线的交点
C、三条边的垂直平分线的交点 D、三条角平分线的交点
3、下面哪个点到三角形三边的距离相等( )
A、三条角平分线的交点 B、三条中线的交点
C、三条高的交点 D、三角形内任意一点
4、如图,
的两个外角平分线相交于点
,则下面结论正确的是(
)
A、
不平分
B、
平分
C、
平分
D、
5、在
中,
,
是
的角平分线,若
,
,则点
到
的距离为 .
6、如图,
的三边
、
、
的长分别为20、30、40,其三条角平分线的交点为
,则
.
7、
的平分线上一点
,
到
的距离为
,则
到
的距离为
.
8、如图,在直线
上求一点
,使得点
到射线
和
的距离相等.
9、如图,在
中,
,点
为三条角平分线的交点,
于
,
于
,
于
,且
,
,
,求
的长.
10、如图,
是
内一点,
在
上,
在
上,且
,
与
的面积相等.
求证:
平分