17.1一元二次方程
教学目标
1．了解一元二次方程及相关概念；(重点)
2．能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型．(难点)
教学过程
一、情境导入
一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
设苗圃的宽为xm，则长为(x＋2)m.
根据题意，得x(x＋2)＝120.
所列方程是否为一元一次方程？
(这个方程便是即将学习的一元二次方程．)
二、合作探究
探究点一：一元二次方程的概念
【类型一】 一元二次方程的识别
下列方程中，是一元二次方程的是________(填入序号即可)．
①－y＝0；②2x2－x－3＝0；③＝3；
④x2＝2＋3x；⑤x3－x＋4＝0；⑥t2＝2；
⑦x2＋3x－＝0；⑧＝2.
解析：由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是．答案为①②④⑥.
方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程．
【类型二】 根据一元二次方程的概念求字母的值
a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x＝2x2－ax－3；
(2)(a－1)x|a|＋1＋2x－7＝0.
解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a－2)x2＋(a－1)x＋3＝0，当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a|＋1＝2，且a－1≠0知，当a＝－1时，原方程是一元二次方程．
解：(1)将方程整理得(a－2)x2＋(a－1)x＋3＝0，∵a－2≠0，∴a≠2.当a≠2时，原方程为一元二次方程；
(2)∵|a|＋1＝2，∴a＝±1.当a＝1时，a－1＝0，不合题意，舍去．∴当a＝－1时，原方程为一元二次方程．
方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
【类型三】 一元二次方程的一般形式
把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)x(x－2)＝4x2－3x；
(2)－＝；
(3)关于x的方程mx2－nx＋mx＋nx2＝q－p(m＋n≠0)．
解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母”“去括号”“移项”“合并同类项”等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项．
解：(1)去括号，得x2－2x＝4x2－3x.移项、合并同类项，得3x2－x＝0.二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0；
(2)去分母，得2x2－3(x＋1)＝3(－x－1)．去括号、移项、合并同类项，得2x2＝0.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；
(3)移项、合并同类项，得(m＋n)x2＋(m－n)x＋p－q＝0.二次项系数为m＋n，一次项系数为m－n，常数项为p－q.
方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘－1，使二次项系数变为正数；
(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；
(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项c，则c＝0.
探究点二：根据实际问题建立一元二次方程模型
如图，现有一张长为19cm，宽为15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程．
解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程．
解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则纸盒底面的长方形的长为(19－2x)cm，宽为(15－2x)cm.
根据题意，得(19－2x)(15－2x)＝81.整理得x2－17x＋51＝0(0<x＜)．
方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程．在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的取值范围．
探究点三：一元二次方程的根
已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋3＝0的一个解是x＝1，求m的值．
解析：将方程的解代入原方程，可使方程的左右两边相等．本题将x＝1代入原方程，可得关于m的一元一次方程，解得m的值即可．
解：根据方程的解的定义，将x＝1代入原方程，得12＋m×1＋3＝0，解得m＝－4，即m的值为－4.
方法总结：方程的根(解)一定满足原方程，将根(解)的值代入原方程，即可得到关于未知系数的方程，通过解方程可以求出未知系数的值，这种方法叫做根的定义法．
三、板书设计
教学反思
本节课通过实例让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想．学生对一元二次方程的一般形式比较容易理解，但是很容易忽视a＝0的时候该方程不是一元二次方程，需要在教学过程中加以强调