课后训练
1．如图，点P是∠BAC的平分线AD上的一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是( )．
(第1题图)
A．3 B．4 C．5 D．6
2．下列结论正确的有( )．
①如果(x－1)(x－2)＝0，那么x＝1；
②在△ABC中，若∠B是钝角，则∠A，∠C一定是锐角；
③如果两个角相等，那么两个角互为对顶角；
④如果在一个角内的点，到这个角的两边距离相等，那么这个点在角的平分线上．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )．
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点
(第3题图) (第4题图)
4．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠BAC的两边的距离相等，且PA＝PB.下列确定P点的方法正确的是( )．
A．P为∠A，∠B两角平分线的交点
B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C．P为AC，AB两边上的高的交点
D．P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD∶CD＝9∶7，则D到AB的距离为( )．
A．18 B．16 C．14 D．12
6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的角平分线，若AD＝6，BC＝10，则△BDC的面积为( )．
(第6题图)
A．20 B．30 C．60 D．120
7．如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB＝30°，则∠AOB＝________度．
(第7题图)
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE＝3 cm，BD＝5 cm，则BC＝__________ cm.
(第8题图)
9．如图，已知点C是∠AOB的平分线上一点，点P，P′分别在边OA，OB上．如果要得到OP＝OP′，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能的序号________．
①∠OCP＝∠OCP′；②∠OPC＝∠OP′C；③PC＝P′C；④PP′⊥OC.
(第9题图)
10．如图，D，E，F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．
求证：AD平分∠BAC.
(第10题图)
11．如图，△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB于E，且AE＝EB，DE＝DC，求∠B的度数．
(第11题图)
12．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD.
(1)用尺规作图方法，作∠DAB的角平分线AF(只保留作图痕迹，不写作法和证明)；
(2)若AF交CD边于点E，判断△ADE的形状(只写结果)．
(第12题图)
13．如图，AD∥BC，∠B＝90°，E是AB的中点，且DE平分∠ADC.
求证：CE平分∠BCD.
(第13题图)
答案与解析
1．A 解析：根据角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可知点P到AB的距离等于PE的长．
2．B 解析：正确的有②④.
3．C 解析：到草坪三条边的距离相等的点是三条角平分线的交点，故选C.
4．B 解析：由点P到∠BAC的两边的距离相等知，点P在∠BAC的平分线上；由PA＝PB知，点P在AB的垂直平分线上，故选B.
5．C 解析：因为BC＝32，BD∶CD＝9∶7，所以CD＝14.因为AD是∠BAC的角平分线，D在AD上，DC⊥AC，所以点D到AB的距离等于CD的长，故选C.
6．B 解析：如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E.
(第6题答图)
∵BD是∠ABC的角平分线，AD⊥AB，DE⊥BC，
∴DE＝AD＝6.∴
.故选B.
7．60 解析：如图因为点P到∠AOB两边的距离相等，∠POB＝30°，所以由角的平分线性质定理的逆定理得，∠AOP＝∠BOP＝30°，∴∠AOB＝60°.
8．8 解析：由角平分线的性质可知DE＝CD，所以BC＝BD＋CD＝BD＋DE＝5＋3＝8 cm.
9．①②④ 解析：若分别添加条件①②，均可判定△POC≌△P′OC，从而有OP＝OP′；若添加条件④，则可判定△POQ≌△P′OQ，从而有OP＝OP′；若添加条件③，则△POC与△P′OC不一定全等，因而不能判定OP和OP′相等，故本题答案为①②④.
10．证明：如图，过D作DH⊥AB于H，DG⊥AC于G.
(第10题答图)
∵S△DCE＝S△DBF，
∴
.
∵CE＝BF，∴DG＝DH.
∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC.
11．解：∵DC⊥AC，DE⊥AB，且DE＝DC，
∴∠1＝∠2.
∵DE⊥AB于E，AE＝EB，∴DE为AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠1＝∠B.
∴∠B＝∠1＝∠2.
又∵在Rt△ABC中，∠B＋∠BAC＝90°，
∴3∠B＝90°.∴∠B＝30°.
12．解：(1)如图，射线AF即为所求．
(2)△ADE是等腰三角形．
(第12题答图)
解析：(1)①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AB于点G，H；
②分别以G，H为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧交于点F；
③画射线AF，射线AF即为所求．
(2)因为AB∥CD，所以∠BAE＝∠DEA.又∠BAE＝∠DAE，所以∠DEA＝∠DAE，所以DA＝DE.所以△ADE是等腰三角形．
13．证明：如图，作EF⊥CD，垂足为F.
(第13题答图)
∵∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠A＝90°.∴AD⊥AE.
∵EF⊥CD，DE平分∠ADC，∴AE＝FE.
又∵E为AB的中点，∴AE＝BE.∴BE＝FE.∴CE平分∠BCD.