课后训练
1.如图,点P是∠BAC的平分线AD上的一点,PE⊥AC于点E,已知PE=3,则点P到AB的距离是( ).
(第1题图)
A.3 B.4 C.5 D.6
2.下列结论正确的有( ).
①如果(x-1)(x-2)=0,那么x=1;
②在△ABC中,若∠B是钝角,则∠A,∠C一定是锐角;
③如果两个角相等,那么两个角互为对顶角;
④如果在一个角内的点,到这个角的两边距离相等,那么这个点在角的平分线上.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图所示是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在( ).
A.△ABC的三条中线的交点 B.△ABC三边的中垂线的交点
C.△ABC三条角平分线的交点 D.△ABC三条高所在直线的交点
(第3题图) (第4题图)
4.如图,已知△ABC,求作一点P,使P到∠BAC的两边的距离相等,且PA=PB.下列确定P点的方法正确的是( ).
A.P为∠A,∠B两角平分线的交点
B.P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C.P为AC,AB两边上的高的交点
D.P为AC,AB两边的垂直平分线的交点
5.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=32,且BD∶CD=9∶7,则D到AB的距离为( ).
A.18 B.16 C.14 D.12
6.如图,在△ABC中,∠A=90°,BD是∠ABC的角平分线,若AD=6,BC=10,则△BDC的面积为( ).
(第6题图)
A.20 B.30 C.60 D.120
7.如图,点P到∠AOB两边的距离相等,若∠POB=30°,则∠AOB=________度.
(第7题图)
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的角平分线,DE⊥AB于E,且DE=3 cm,BD=5 cm,则BC=__________ cm.
(第8题图)
9.如图,已知点C是∠AOB的平分线上一点,点P,P′分别在边OA,OB上.如果要得到OP=OP′,需要添加以下条件中的某一个即可,请你写出所有可能的序号________.
①∠OCP=∠OCP′;②∠OPC=∠OP′C;③PC=P′C;④PP′⊥OC.
(第9题图)
10.如图,D,E,F分别是△ABC的三边上的点,CE=BF,△DCE和△DBF的面积相等.
求证:AD平分∠BAC.
(第10题图)
11.如图,△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,DE⊥AB于E,且AE=EB,DE=DC,求∠B的度数.
(第11题图)
12.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD.
(1)用尺规作图方法,作∠DAB的角平分线AF(只保留作图痕迹,不写作法和证明);
(2)若AF交CD边于点E,判断△ADE的形状(只写结果).
(第12题图)
13.如图,AD∥BC,∠B=90°,E是AB的中点,且DE平分∠ADC.
求证:CE平分∠BCD.
(第13题图)
答案与解析
1.A 解析:根据角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等,可知点P到AB的距离等于PE的长.
2.B 解析:正确的有②④.
3.C 解析:到草坪三条边的距离相等的点是三条角平分线的交点,故选C.
4.B 解析:由点P到∠BAC的两边的距离相等知,点P在∠BAC的平分线上;由PA=PB知,点P在AB的垂直平分线上,故选B.
5.C 解析:因为BC=32,BD∶CD=9∶7,所以CD=14.因为AD是∠BAC的角平分线,D在AD上,DC⊥AC,所以点D到AB的距离等于CD的长,故选C.
6.B 解析:如图,过点D作DE⊥BC,垂足为E.
(第6题答图)
∵BD是∠ABC的角平分线,AD⊥AB,DE⊥BC,
∴DE=AD=6.∴
.故选B.
7.60 解析:如图因为点P到∠AOB两边的距离相等,∠POB=30°,所以由角的平分线性质定理的逆定理得,∠AOP=∠BOP=30°,∴∠AOB=60°.
8.8 解析:由角平分线的性质可知DE=CD,所以BC=BD+CD=BD+DE=5+3=8 cm.
9.①②④ 解析:若分别添加条件①②,均可判定△POC≌△P′OC,从而有OP=OP′;若添加条件④,则可判定△POQ≌△P′OQ,从而有OP=OP′;若添加条件③,则△POC与△P′OC不一定全等,因而不能判定OP和OP′相等,故本题答案为①②④.
10.证明:如图,过D作DH⊥AB于H,DG⊥AC于G.
(第10题答图)
∵S△DCE=S△DBF,
∴
.
∵CE=BF,∴DG=DH.
∴点D在∠BAC的平分线上,即AD平分∠BAC.
11.解:∵DC⊥AC,DE⊥AB,且DE=DC,
∴∠1=∠2.
∵DE⊥AB于E,AE=EB,∴DE为AB的垂直平分线,∴DA=DB,∴∠1=∠B.
∴∠B=∠1=∠2.
又∵在Rt△ABC中,∠B+∠BAC=90°,
∴3∠B=90°.∴∠B=30°.
12.解:(1)如图,射线AF即为所求.
(2)△ADE是等腰三角形.
(第12题答图)
解析:(1)①以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AD,AB于点G,H;
②分别以G,H为圆心,大于
的长为半径画弧,两弧交于点F;
③画射线AF,射线AF即为所求.
(2)因为AB∥CD,所以∠BAE=∠DEA.又∠BAE=∠DAE,所以∠DEA=∠DAE,所以DA=DE.所以△ADE是等腰三角形.
13.证明:如图,作EF⊥CD,垂足为F.
(第13题答图)
∵∠B=90°,AD∥BC,
∴∠A=90°.∴AD⊥AE.
∵EF⊥CD,DE平分∠ADC,∴AE=FE.
又∵E为AB的中点,∴AE=BE.∴BE=FE.∴CE平分∠BCD.