14.3.1 提公因式法
学习目标
通过你对本节课的学习，相信你一定能理解公因式概念，能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式。
学习重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式。
学习重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式。
课前预习
把一个 化成几个整式的 的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式，因式分解与整式的乘法是 的变形。
1、下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？
（1）2x2+4=2（x2+2）；
（2）
（3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2； （4）m（x+y）=mx+my；
（5）x2－2xy+y2=（x－y）2、
2、一块场地由三个长方形组成，它们的长分别为
，
，
，宽都是
,求这块场地的面积.
解法一：S=
×
+
×
+
×
=
+
+
=2
解法二：S=
×
+
×
+
×
=
（
+
+
）=
×4=2
从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法.
1、公因式与提公因式法分解因式的概念.
将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m（ + + ），可以用等号来连接.
ma+mb+mc=m（ + + ）
上面的等式，左边的每一项都含有因式 ，等式右边是m与多项式（ ）的乘积，从左边到右边是分解因式.
由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的 .
由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（ ）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（ ），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做 法.
1、公因式：如多项式：
的各项都有一个
，我们把这个
叫做这个多项式的 。
2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有 ，那么就可以把这个公因式 ，从而将多项式化成两个因式 形式，这种分解因式的方法叫做提 ．
课内探究
例1、请同学们指出下列各多项式中各项的公因式：
ax+ay+a 3mx-6mx2 4a2+10ah 4x2－8x6 x2y + xy2 12xyz-9x2y2 16a3b2－4a3b2－8ab4
通过以上学习探究活动，总结一下最大公因式的方法：
①一看系数：公因式的系数取各项系数的 ；
②二看字母：公因式字母取各项 的字母，
③三看指数：公因式字母的指数取相同字母的最 次幂．
例2、将下列多项式分解因式
⑴ 8a3b2+12ab2c ⑵ 2a（b+c）-3（b+c）
⑶ 3x3-6xy+3x ⑷ -4a3+16a2-18a
例3、将下列多项式分解因式 3a2（x－y）3－4b2（y－x）2
【思路点拨】观察所给多项式可以找出公因式（y－x）2或（x－y）2，于是有两种变形，（x－y）3=－（y－x）3和（x－y）2=（y－x）2，从而得到下面两种分解方法．
解法1：3a2（x－y）3－4b2（y－x）2 解法2：3a2（x－y）3－4b2（y－x）2
练习：1 课本P115 练习1、2、3、
2、简便计算：
123×
+264×
-387×
注意：1、利用提公因式法因式分解，关键是找准 ．在找最大公因式时应注意：
2、因式分解应注意分解彻底，也就是说，分解到不能再分解为止．
当堂检测
1、 把多项式m2（a-2）+m（2-a）分解因式等于（ ）
A、(a-2)（m2+m） B、(a-2)（m2-m） C、m(a-2)（m-1） D、m(a-2)（m+1）
2、把多项式（1+x）（1-x）-（x-1）提公因式（x-1）后，余下的部分是（ ）
A、（x+1） B、-（x+1） C、x D、-（x+2）
3、填空，分解因式：
（1）3mx-6my= ； 15a2+5a= ；
（2）12xyz-9x2y2= ； x2y+xy2-xy= ；
（3）
a2-21a
=
；
-3ma3+6ma2-12ma
=
；
4、把下列各式分解因式：(1) -x3y3-x2y2-xy (2) p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )
（3）x（a-b）-y（b-a） （4）a2（x-3y）2- b（3y-x）2
5、计算：2、186×1、237-1、237 ×1、186
6、已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为
7、习题14、3P119第1题。
课后训练
1、利用分解因式计算：（1）32004－32003; （2）（－2）101+（－2）100.
2、写出一个二项式，使每一项都有公因式2ab：
3、已知：
，
求代数式
的值。