6.4 多边形的内角和与外角和
一、选择题
1．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是 ( )
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
2．已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 ( )
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
3．如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来的多边形的边数是 ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
4．一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是________边形（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．一个多边形的外角和是内角和的一半，则它的边数为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
6．一个多边形的内角和与外角和共为540°，则它的边数为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．不确定
7．若等角n边形的一个外角不大于40°，则n的值为（ ）
A．n＝8 B．n＝9 C．n＞9 D．n≥9
8．中华人
民共和国国旗上的五角星，它的五个锐角的度数和是（
）
A．50° B．100° C．180° D．200°
9．用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是（ ）
A． 4 B．5 C．6 D．8
10．如果只用正三角形作平面镶嵌（要求镶嵌的正三角形的边与另一正三角形有边重合），则在它的每一个顶点周围的正三角形的个数为（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
二、填空题
11．在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，则∠A＝ ．
12．一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，它的边数是
，顶点的个数是 ，对角线的条数是
．
13．若四边形ABCD的相对的两个内角互补，且满足∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，
则∠A＝________°，∠B＝________°，∠C＝________°，∠D＝________°．
14．若一个n边形的内角都相等，且内角的度数与
和它相邻的外角的度数比为3∶1，那么，这个多边形的边数为________．
15．若一个十边形的每个外角都相等，则它的每个外角的度数为________°，每个内角的度数为________°．
16．
如果一个多边形的每个内角都等于108°，那么这个多边形是
_____边形．
17.一个正多边形的内角和为720°，则这
个正多边形的每一个内角等于____
___°．
18．若一个多边形的各边都相等，它的周长是63，且它的内角和为900°，则它的边长是_____．
19．多边形的内角中，最多有________个直角．
20．已知一个多边形的内角和与外角和共2160°，则这个多边形的边数是
21．用正三角形和正方形能够铺满地面，每个顶点周围有_____个正三角形和_____个正方形
三、解答题
2
2．如图4－124所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
23．一个凸多边形的内角的度数从小到大排列起来，恰好依次增加相同的度数，其中最小角是100°，最大角是140°，求这个多边形的边数．
24．已知多边形内角和与外角和的和为2160°，求多边形对角线的条数．
25．在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B与∠D的度数比是3
：2，求∠B，∠D的度数．
26．已知和多边形一个内角相邻的外角与其余各内角度数总和为600°，求该多边形的边数．
27．过n边形的一个顶点有7条对角线，m边形有m条对角线，p边形没有对角线，q边形的内角和与外角和相等，求q(n－m)p的值．
2
8．如图4－125所示，已知六边形ABCDEF中，∠A＝∠B=∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°．试说明AB＋BC=EF＋ED．
29．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行进和旋转，某一指令规定：机器人先向前方行走2 m，然后左转60°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了多少米?
30．我们知道过n边形的一个顶点可以做（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线把三角形分割成（n－2）个三角形，想一想这是为什么？如图1．
图1
如图2，在n边形的边上任意取一点，连结这点与各顶点的线段可以把n边形分成几个三角形？
图2
想一想，利用这两个图形，怎样证明多边形的内角和定理．
参考答案
1．B
2．B
3．C
4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 9．A 10．D
11．120°
12．10 10 35 13．60，90，120，90 14．八 15．36，144 16．五 16．120 17．9 18．四 19．12 20．3，2
21．提示：延长BC交EF于M，所以∠A
＋∠B＋∠BMF＋∠F＝360°，又因为∠DCB＋∠D＋∠E=∠BMF，所以∠A＋∠B＋∠DCB＋∠D＋∠E＋∠F＝360°．
22．解：设这个多边形的边数为n，由题意知
＝(n－2)·180°，解得n=6．答：这个多边形的边数是6．
23．解：设这个多边形的边数为n，由题意，得(n－2)·180°＋360°＝2160°，解得n＝12．∴多边形对角线的条数为
n(n－3)＝
×12×(12－3)=54．即这个多边形对角线的条数为54．
24．解：∵∠A＋∠C＝90°＋90°＝180°，∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－1
80°＝180°．设∠B＝(
3x)°，则∠D＝(2x)°，∴(3x)°＋(2x)°＝180°，解得x＝36，∴3x＝108，2x＝72．即∠B＝108°，∠D＝72°．
25．解：设边数为n，这个内角为α，依题意有(n－2)·180°－α＋180°－α＝600°，∴α＝90°n－390°，又∵0°＜α＜180°，°0°＜90°n－390°＜180°，∴4
＜n＜6
，∵n为正整数，∴n＝5或n＝6．答：边数为5或6．
26．解：由已知可得
所以n＝1
0，m＝5，p＝3，q＝4，所以q(n－m)p=4×(10－5)3＝500．
27．解：如图4－126所示，向
两方分别延长AB，CD，EF，得△PQR．∵∠PAF＝180°－∠BAF＝180°－120°＝60°，同理∠AFP＝60°，∴∠P＝60°，∴△PAF为等边三角形．同理△BCQ，△DER均为等边三角形．∴△PQR也为等边三角形，∴PQ＝PR，AP＝PF，BC＝BQ，DE＝RE，∴PQ－PA＝RP－PF，即AQ＝FR，∴AB＋BQ＝FE＋RE，∴AB＋BC＝EF＋ED．
29．解：如图4－127所示，由题意可知机器人从出发到第一次回到原处的行走路线是一个正多边形，设边数为n，则60°·n＝360°，解得n＝6．又2×6＝12(m)，∴机器人共走
了12
m.
30．略