【329684】4.3一次函数的图象

4.3 一次函数的图象

教学目标

知识与技能

理解一次函数和正比例函数的图象是一条直线；能熟练地作出一次函数和正比例函数的图象，会求一次函数与坐标轴的交点坐标；了解一次函数的性质；会作出实际问题中的一次函数的图象.

过程与方法

经历一次函数的作图过程，探索某些一次函数图象的异同点；体会用类比的思想研究一次函数，体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般，由简单到复杂.

情感、态度与价值观

通过画一次函数图象和实际问题中的一次函数图象，感受数学来源于生活又应用于生活；体会用数形结合思想解决数学问题.

教学重点

画一次函数与正比例函数的图象，理解一次函数的性质.

教学难点

运用一次函数的性质解决实际问题.

教学设计

一、情境导入

已知A、B两人在一次百米赛跑中，路程s(米)与赛跑的时间t(秒)的关系如下图所示，你知道A、B两人所跑的路程s(米)与时间t(秒)之间属于哪种函数关系吗？

S(米)

O t(秒)

二、课前热身

在未知函数图象的具体形状的情况下，怎样画出一个给定的函数的图象？一般可以分为哪几个步骤？

答案:用“描点法”画函数图象，可以分成“列表、描点、连线”三个步骤.

三、合作探究

1.整体感知

上节课我们主要学习了一次函数、正比例函数的概念，这节课我们将着重探讨一次函数与正比例函数图象的主要特征及其图象的画法.

2.师生互动

互动1

师:利用多媒体演示幻灯片“做一做”内容.

做一做:在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象.

(1)y= x；(2)y= +2；(3)y=3x；(4)y=3x+2.

通过画图，你发现一次函数、正比例函数的图象的形状分别是什么？

生:动手操作，在几何练习簿上建立坐标系，用描点法画出上述函数的图象，在小组之间展开交流讨论，推选代表表达小组归纳的结论.

明确师生共同概括:根据以上实践、观察与讨论，我们发现一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线.通常也称为直线y=kx+b.特别地，正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过原点(0，0)的一条直线.值得注意的是:一次函数的图象不可能与坐标轴平行.

互动2

师:利用多媒体演示幻灯片.

认真观察上题画出的四个函数图象的特点，比较下列各对函数图象的相同点和不同点：

(1)y=3x与y=3x+2；(2)y= 与y= +2；(3)y=3x+2与y= +2.

由此你发现什么规律？

生:在小组之间展开交流与讨论，各组推选代表发言.

师:利用多媒体演示“一次函数图象的平移”课件，验证同学们的猜想.

明确在第(1)组和第(2)组中的两个函数图象平行，但位置不同，可以通过相互平移得到；在第(3)组的两个函数图象相交，且交点在y轴上.

概括归纳可知:对于一次函数y=kx+b和y=k₁x+b₁.

(1)当k=k₁，b≠b₁时，两条直线平行，可以通过平移其中一条直线得到另一条直线；

(2)当k≠k₁，b=b₁时，两条直线相交，且交点在y轴上，是(0，b).

互动3

例1 画出真正比例函数y=-2x的图像.

例3 画出一次函数y=-2x-3的图像.

师:(点拨)画一次函数和正比例函数的图象，我们还需要用描点法吗？只要在图象上分别找到几点就可以确定其图象的位置？

生:动手操作，并交流操作的结果.

明确教师利用多媒体演示操作的过程和结果.

归纳：由于一次函数是直线，因此在画其图象时，只要在图象上找到两点，便可以画出它的图象，通常所取的两点是图象与坐标轴的两个交点；特别地，由于正比例函数的图象是经过原点的一条直线，因此画其图象时，只要找到异于原点(0，0)的一点的坐标即可，通常所取的点是(1，k).

互动4

1．请你在图中的坐标系中画出一次函数y＝2x+3和 的图像．

2．请你在图中的坐标系中画出一次函数y=－2x+4和 的图像

观察在图中所示的坐标系中画出的上述四个函数的图像，其中的哪些函数y的值是随x值的增大而增大的？而哪些函数y的值是随x值的增大而减小的？这两类函数的区别和自变量的系数的符号有什么关系？

由此，我们得到：一次函数y=kx+b的性质

当k>0时，y的值随x值得增大而增大；

当k<0时，y的值随x值得增大而减小．

注：1．注意引导学生观察图像趋势：从左向右看是上升还是下降．尤应解释清“从左向右即表示x的值增大”．

2．注意引导学生进行图像与解析式的对照，从而把对解析式的分类(k>0或k<0)与对图像的分类(上升或下降)联系起来．

3.例题解析

例4 如课本第126页图4-13描述了某一天小亮从家骑车去书店购书，然后又骑车回家的情况.你能说出小亮在路上的情形吗？

四、达标反馈

1.正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过(_，_)和点(_，_)的一条直线.

2.一次函数：y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(_，_)且与直线y=kx___的直线.

3.画出下列各组一次函数的图象，并说出它们有什么关系.

(l)y=﹣2x﹣1与y=﹣2x+6.(3)y=x+3与y=﹣3x+3.

答案:(1)平行，位置不同；(2)相交，交点在y轴上.

4.已知两个函数：y₁＝2x＋30，y₂=4x．

1．不画出它们的图像，说出当x的值增大时，y₁，y₂的值怎样变化．

2．当x从1开始增大时，预测哪个函数的值先达到80．

3．函数值增大的快慢与k(这里k>0)的值有什么关系？

注：1．当x值增大时，y₁，y₂的值均增大．

五、学习小结

1.内容总结

一次函数、正比例函数：图象的特征、图象的画法、一次函数的性质.

2.方法归纳

画一次函数图象时，只要在图象上找到两点的坐标，在坐标系中描出这两点，再经过这两点画直线即可.

六、拓展延伸

1.链接生活

画出问题“拖拉机油箱中装油20升，使用时每小时耗油4升，油箱中的剩余油量y(升)与使用时间t(时)之间的关系”中函数图象.

提示:图象为线段.

2.实践探索

(1)实践活动

对于一次函数y=kx+b(k≠0)，分别取k、b的四组不同值：①都是正数；②k为正，b为负；③k为负，b为正；④都是负数，分别画出这四个一次函数的图象，并探讨直线y=kx+b(k≠0)所经过的象限与k、b取值正、负的关系.